数值分析法求正弦余弦积分函数

天津职业技术师范大学课程设计任务书理学院数学1403班学生张群课程设计课题：用数值积分法计算正弦积分函数和余弦积分函数一、课程设计工作日自2016年7月4日至2016年7月5日二、同组学生：无三、课程设计任务要求（包括课题来源、类型、目的和意义、基本要求、完成时间、主要参考资料等）：课题来源：教师自拟类型：理论研究目的和意义：培养学生对数值分析中主要算法的应用能力，探索相关算法之间的内在联系。基本要求：根据数值分析课程所学的知识，应用Matlab软件编写程序，完成对算法及其内在原理的实验研究。完成时间：参考资料：《数值分析》李庆扬等清华大学出版社指导教师签字：教研室主任签字：一、问题叙述用数值积分法计算正弦积分函数和余弦积分函数提示：正弦积分，余弦0sin()xtsixdtt函数cos()xtcixdtt要求：（1）编写函数，对任意给定的x，可求出值。（2）使用尽可能少的正余弦函数的调用，计算更精确的值。（用多种方法，创新方法）二、问题分析1、数值积分基本原理：用数值分析求解积分的数值方法有很多，如简单的梯形法、矩形法、辛普森（Simpson）法、牛顿-科斯特（Newton-Cotes）法等都是常用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间[a，b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1，2，…，n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。2、本题要求用数值积分法计算正弦积分函数和余弦函数积分，那么应该从编写函数的入手，建立function的m文件，通过对函数的调用，对任意跟定的x值，求出积分函数的值。三、数值积分法求解问题1、梯形公式、矩形公式首先，积分中值定理告诉我们，在积分区间[a，b]内存在一点，成立baxf）（dx=（b-a）f（），就是说，底为b-a而高为f（）的矩形面积恰等于所求区边梯形的面积。如果我们用两端点“高度”f（a）与f（b）的算术平均值作为平均高度f（）的近似值，这样导出的求积公式baxf）（dx≈2a-b[f（a）+f（b）]便是我们熟悉的梯形公式。将积分区间[a,b]n等分，每个小区间宽度均为h=na-b）（，h称为积布步长。记a=x0＜x1＜…＜xk…＜xo=b，在小区间上用小矩形面积近似小曲边梯形的面积,若分别取左端点和右端点的函数值为小矩形的高,则分别得到两个曲边梯形面积的近似计算公式。具体程序如下：clearx=linspace(0,pi);dx=x(2);y=sin(x);s1=sum(y)*dxs2=trapz(y)*dxsc1=cumsum(y)*dx;sc2=cumtrapz(y)*dx;plot(x,-cos(x)+1,x,sc1,'.',x,sc2,'o')holdon00.511.522.533.500.20.40.60.811.21.41.61.82由图可知这种方法精度太低，应选择其他方法。2、quad函数、quan1函数正弦：functiony=si(t)a=1e-8;%函数在0点无界，去掉0点y=quad('sin(x)./x',a,t)y=quadl('sin(x)./x',a,t)余弦：functiony=ci(t)a=-1e1;%函数在0点无界，去掉0点y=quad('cos(x)./x',a,t)y=quadl('cos(x)./x',a,t)图像:x=1:100;fori=1:100y2(i)=si(x(i));endplot(x,y2,'r')title('辛普森')01020304050607080901000.911.11.21.31.41.51.61.71.81.9辛普森x=1:100;fori=1:100y2(i)=ci(x(i));endplot(x,y2,'b')title('辛普森')0102030405060708090100-400-2000200400600800100012001400辛普森给定任意x值，均可计算出对应的正弦、余弦函数积分。但从结果可以看出精度不是很高。3、复合求积公式由于牛顿-科特斯公式在n≥8时不具有稳定性，故不可能通过提高阶的方法来提高求积精度。为了提高精度通常可把积分区间分成若干子区间（通常是等分），再在每个子区间上用低级求积公式。这种方法为复合求积法。3.3.1复合梯形公式将区间ba,划分为n等分，分点,,,1,0,,nknabhkhaxk在每个子区间,1,,1,0,1nkxxkk上采用梯形公式，则得)()()(2)()(110101fRxfxfhdxxfdxxfInknkkbankxxkk记11110222nkbkknkknxfxfafhxfxfhT，称为复合梯形公式。复合梯形公式的余项110''3,12kkknkknnxxfhTIfR由于,,)(2baCxf且,max1min1010''''10nkknkknkfnf所以ba,使knkfnf10''''1于是复合梯形公式的余项为''212fhabfRn事实上只要设baCxf,，则可得收敛性，只要把nT改写成为nkknkknxfnabxfnabT11021程序如下：正弦：functionT_n=fhtxs(a,b,n)h=(b-a)/n;fork=0:nx(k+1)=a+k*h;ifx(k+1)==0x(k+1)=10^(-10);endendT_1=h/2*(SS(x(1))+SS(x(n+1)));fori=2:nF(i)=h*SS(x(i));endT_2=sum(F);T_n=T_1+T_2;余弦：functionT_n=fhtxc(a,b,n)h=(b-a)/n;fork=0:nx(k+1)=a+k*h;ifx(k+1)==0x(k+1)=10^(-10);endendT_1=h/2*(CC(x(1))+CC(x(n+1)));fori=2:nF(i)=h*CC(x(i));endT_2=sum(F);T_n=T_1+T_2;图像：正弦余弦010203040500.811.21.41.61.82复化梯形020406080100-20246810x10103.3.2复合新普斯求积公式将区间],[ba划分为n等分，在每个子区间1,kkxx上采用辛普森公式，若记,2121hxxkk则得10)()(nkbadxxfdxxfI).()]()(4)([61021fRxfxfxfhnnkkkk称为复合辛普森求积公式。程序如下：正弦functionS_n=fhxpss(a,b,n)h=(b-a)/n;fork=0:nx(k+1)=a+k*h;x_k(k+1)=x(k+1)+1/2*h;if(x(k+1)==0)||(x_k(k+1)==0)x(k+1)=10^(-10);x_k(k+1)=10^(-10);endendS_1=h/6*(SS(x(1))+SS(x(n+1)));fori=2:nF_1(i)=h/3*SS(x(i));endforj=1:nF_2(j)=2*h/3*SS(x_k(j));endS_2=sum(F_1)+sum(F_2);S_n=S_1+S_2;余弦：functionS_n=fhxpsc(a,b,n)h=(b-a)/n;fork=0:nx(k+1)=a+k*h;x_k(k+1)=x(k+1)+1/2*h;if(x(k+1)==0)||(x_k(k+1)==0)x(k+1)=10^(-10);x_k(k+1)=10^(-10);endendS_1=h/6*(CC(x(1))+CC(x(n+1)));fori=2:nF_1(i)=h/3*CC(x(i));endforj=1:nF_2(j)=2*h/3*CC(x_k(j));endS_2=sum(F_1)+sum(F_2);S_n=S_1+S_2;图像与复合梯形所得图像基本相同，深入分析两只复合函数的优劣，对于积分函数0sin()xtsixdtt假设x=1，则将区间[0,1]划分为8等份，应用复合梯形求得T8=0.9456909而如果将[0，1]分为4等份，应用复合辛普森有S4=0.9460832通过参考数值分析（李庆阳）的结论，发现无论是复合梯形公式还是复合辛普森公式，最终结果都会随着h值的减小而更加精确。对复合梯形公式和复合辛普森公式计算出的结果进行比较，发现复合梯形法的结果T8只有两位有效数字，而复合辛普森的结果却有六位有效数字，所以复合辛普森公式计算出的结果更加的精确。4、插值型的求积公式clc,clearx0=0:0.5:5;y0=[Inf1.75520.54030.0472-0.2081-0.3205-0.3300-0.2676-0.1634-0.04680.0567];%所求积分函数的数值pp=csape(x0,y0);%默认的边界条件，Lagrange边界条件formatlonggchazhi=pp.coefs%显示每个区间上三次多项式的系数s=quadl(@(t)ppval(pp,t),0,5)%求积分format%恢复短小数的显示格式x=0:0.1:5;y=cos(x)/x;y1=spline(x0,y0,x);z=0*x;holdonplot(x,z,x,y,'k--',x,y1,'r')plot(x0,y0,'*')holdoffclearx0=0:0.5:5;y0=[Inf1.75520.54030.0472-0.2081-0.3205-0.3300-0.2676-0.1634-0.04680.0567];%所求积分函数的数值pp=csape(x0,y0);%默认的边界条件，Lagrange边界条件formatlonggchazhi=pp.coefs%显示每个区间上三次多项式的系数s=quadl(@(t)ppval(pp,t),0,5)%求积分format%恢复短小数的显示格式x=0:0.1:5;y=cos(x)/x;y1=spline(x0,y0,x);z=0*x;holdonplot(x,z,x,y,'k--',x,y1,'r')plot(x0,y0,'*')holdoff如图所示：5、高斯求积公式function[ql,Ak,xk]=gsqj(fun,a,b,n,tol)ifnargin==1a=-1;b=1;n=7;tol=1e-8;elseifnargin==3n=7;tol=1e-8;elseifnargin==4tol=1e-8;elseifnargin==2||nargin5error('TheNumberofInputArgumentsIsWrong!');end%计算求积节点symsxp=sym2poly(diff((x^2-1)^(n+1),n+1))/(2^n*factorial(n));tk=roots(p);%求积节点%计算求积系数Ak=zeros(n+1,1);fori=1:n+1xkt=tk;xkt(i)=[];pn=poly(xkt);fp=@(x)polyval(pn,x)/polyval(pn,tk(i));Ak(i)=quadl(fp,-1,1,tol);%求积系数end%积分变量代换，将[a,b]变换到[-1,1]xk=(b-a)/2*tk+(b+a)/2;%检验积分函数fun有效性fun=fcnchk(fun,'vectorize');%计算变量代换之后积分函数的值SS=fun(xk)*(b-a)/2;%计算积分值ql=sum(Ak.*SS);计划表7月3号熟悉问题，准备工作，借阅相应的资料，搞清楚题目的用意题目要求多种方法计算，并尽量减少函数的调用。7.4归纳总结多种数值求积的方法，找到各种方法对应的matlab程序。①梯形