数值分析第七章学习小结

第七章学习小结姓名：张亚杰班级：机械1505班学号：S20150232一、本章学习体会1、科学技术中很多问题都可用常微分方程的定解问题来描述，主要有初值问题和边值问题。2、对于变系数的微分方程的求解就有困难，一般的线性微分方程求解更为困难，因此只能给出其近似解，即由解在一些离散点上的近似值，用数值解法解出。3、解的存在唯一性是常微分方程理论的基本理论，也是数值方法的出发点。4、本章重点是欧拉公式及其几种变形公式，还有就是N级龙格库塔法我觉得比较难。二、知识构图：..常微分方程初值问题数值解法一般形式注意其存在条件。基本思想：将初值问题离散化（方法主要有差商代替导数的方法，Taylor级数法，数值积分法）。数值微分法：显式欧拉公式：隐式欧拉公式：注意区别两种公式几何意义。数值积分法，隐式欧拉公式：（1）式由左矩形公式得出，（2）式由右矩形公式得出。梯形公式：一般形式：单步法的局部误差：整体误差：，了解两种误差的关系，了解单步法的阶。龙格库塔法几种常用的欧拉公式，两步欧拉公式：梯形公式：改进欧拉公式：用f(t,y)在不同点的数值加权代替而使截断误差的阶数尽可能高。即取不同点的加权平均作为平均斜率，从而提高方法的阶数。初值问题Taylor级数法，显式欧拉公式：基本思想一般形式：N级R-K方法了解二级三级四级龙格库塔方法的一般形式及其应用。相容性：描述差分方程与微分方程的逼近情况。收敛性：反映计算公式本身的截断误差对结果的影响。绝对稳定性：描述步长固定时，初始值的误差和计算过程中的舍入误差对计算结果的影响。二/三级龙格库塔法和相容性收敛性等。显式单步法三、思考题1、什么是欧拉法和后退欧拉法？它们是怎样导出的？并给出局部截断误差。答：由00(,)xy出发按递推公式1(,)nnnnyynfxy求解微分方程的方法称为欧拉法后退欧拉法的递推公式为111(,)nnnnyyhfxy两种方法分别用均差11nnnnyyxx近似导数'()nyx和1'()nyx导出的。欧拉法的局部截断误差为211()()2nnnhyxyy后退欧拉法的截断误差为211()()2nnnhyxyy2、显式方法与隐式方法的根本区别是什么？如何求解隐式方程？应如何给出迭代初始值？答：显式方法与隐式方法有本质的区别，显式方法是关于1ny的一个直接的计算公式，隐式方法的右端含有未知的1ny，实际上是关于1ny的一个函数方程。隐式方法通常用迭代法求解，而迭代过程的实质是逐步显式化初始值通常由显式方法给出。四、测验题1、用欧拉法解初值问题22'100,(0)0.yxyy取步长0.1,h计算到0.3x（保留到小数点后4位）解：因为22'100yxy即22(,)100fxyxy，因为欧拉公式为1(,)nnnnyyhfxy取000000.1,0,()0,(,)0hxyxyfxy所以10000.1(,)0yyfxy11(,)(0.1,0)0.01fxyf21110.1(,)0.001yyfxy22(,)(0.2,0.001)0.0401fxyf3222(,)0.00501yyhfxy