数值分析第四章学习小结

第4章非线性方程与非线性方程组的迭代解法--------学习小结一、本章学习体会通过本章的学习，我了解了怎么求出非线性方程和非线性方程组的根，只是有很少类型的非线性方程能解出根的解析表达式，对于大多数非线性方程，只能用数值方法求出它的根的近似值。我学习了非线性方程与非线性方程组的迭代解法。我感到要想求非线性方程组的精确解是不容易的，困难程度远远超过线性方程组的求解。首先要了解迭代公式的基本思想，迭代法是一种逐次逼近法,用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐步精确化,最后得到满足精度要求的解，实质上是一个逐步显示化的过程。最基本的就是在高中学过的二分法，需要在给定的区域选择根，然后在二分，在从中舍弃一个，再选，直到所选的根符合题目所给的条件，但是二分法只能求实根，并且只能求单根和奇数重根，不能求偶数重根和复数根，所以又有它的缺陷，后面又学了斯蒂芬森加速法和牛顿法。算法都是离不开模型的，我们在学习某种算法时，一定要结合数学模型才能把知识理解到位，比如本章结合几何思想能够很好的理解算法公式的推导说明。运用这么多的算法去求解非线性方程组，只是能最大程度的求解线性方程组的精确解，但不是精确解。我们在今后的学习工作中，也可以自己去创造一种算法，使求解更加精确容易。在求解非线性方程的解的时候，我们要有如下思路：1.如何选取迭代公式；2.如何判断迭代公式的收敛速度；3.如何进行迭代公式的修正，以加速收敛；4.如何选取最适合的迭代方法二、本章知识梳理1、非线性方程的迭代解法1.1简单迭代法及其收敛性1.1.1简单迭代法的基本思想)(0)(xxxf迭代法的基本思想是将隐式方程)(xx的求根问题归结为计算一组显式公式)(1kkxx1.1.2一般形式：,2,1,0),(1kxxkk1.1.3收敛条件：a、非局部收敛定理b、局部收敛定理1.2简单迭代法的收敛速度1.2.1线性收敛的条件1.2.2m阶收敛的条件1.3迭代过程的加速1.3.1加权法迭代：)(1kkxx改进：kkkxLLxLx111111.3.2埃特金(Aitken)加速法设序列}{kx线性收敛到s112212)(kkkkkkkxxxxxxxs1.4Newton法（切线法）1.4.1.基本思想:(1)构造法:0)(s(2)几何上:逐步线性化方法(3)Taylor展开))((')()(kkkxxxfxfxf1.4.2.迭代函数：)(')()(xfxfxx1.4.3.迭代公式：,2,1,0,)(')(1kxfxfxxkkkk1.4.4.几何意义1.4.5.收敛性（1）局部收敛定理（2）非局部收敛定理1.4.6.牛顿下山法)(')(1kkkkxfxfxx)(')(1kkkkxfxfxxkkkxxx)1(11其中10称为下山因子通过适当选取下山因子保证函数值)(kxf能单调下降。下山因子的选择是逐步进行的，从1开始反复将的值减半进行试算，一旦单调下降条件成立，则称下山成功，反之，如果在上述过程中找不到使单调下降条件成立的下山因子，则称下山失败，这时需另选初值0x重算。1.5求m重根的Newton法设S是方程（4.1）的m重根（m2），f(x)在s的某邻域内有m阶连续导数，则0)(,0)()()()()1(sfsfsfsfmm)(')()(~)1(xfxmfxx至少平方收敛)(')()()2(xfxfxu)()()]([)()()(')()(2xfxfxfxfxfxxuxuxxg至少二阶收敛1.6割线法)(')(1kkkkxfxfxx1.6.1基本思想：用割线代替切线1.6.2.迭代公式,2,1,0,)()())((111kxfxfxxxfxxkkkkkkk1.7单点割线法)()())((111kkkkkkkxfxfxxxfxx迭代公式：,2,1,0,)()())((001kxfxfxxxfxxkkkkk2、非线性方程组的迭代解法2.1一般概念非线性方程组的一般形式0),,,(0),,,(0),,,(21212211xxxfxxxfxxxfnnnn)()()()(21xfxfxfxFnnxxxx21向量形式：0)(xF2.2简单迭代法2.2.1.迭代公式：,2,1,0),()()1(kxGxkk2.2.2.收敛性(1)非局部收敛定理（压缩映象原理）(2)局部收敛定理2.3Newton法基本思想：将非线性方程线性化（利用Taylor展开），构造迭代格式。2.4离散Newton法基本思想：用差商代替导数。三、本章思考题迭代法求解线性方程组的本质是什么？优缺点是什么？前提条件是什么？答：本质就是计算极限的过程，一般不能得到精确解。迭代法的优点是程序简单，适合于大型方程组求解，但缺点是要判断迭代是否收敛和收敛速度的问题。迭代解法的前提条件是迭代解出的近似解序列必须具有收敛性。如果近似解序列是发散的，迭代法则不能获得解。四、本章测验题用迭代法求方程5310xx的最小正根。计算过程保留4位小数。解：容易判断[1,2]是方程的有根区间。迭代格式为531xx5()31xx4533()(12)55(31)xxx所以收敛取01x，则55103141.3195xx5521314.95851.3774xx5532315.13221.3869xx5543315.16071.3885xx因此所求近似根为：*1.3885x