数值分析题目

第一章误差1．写程序计算Stirling近似：nennn)/(2!的绝对误差和相对误差。分别讨论其绝对误差和相对误差随n增加的变化情况。2．利用公式nnne)/11(lim求e的近似值。计算近似值与真值的误差，讨论误差随n增加的变化情况，试对你计算的结果作出解释。3．（选做）分别求xexx/)1(lim0，)log(/)1(lim0xxxee，可取...2,1,10kxk，根据你的计算结果，那个公式给出较好的近似，为什么？4．（选做）用如下迭代公式求出第n项的值：12/1,3/15.025.22111xxxxxkkk画出计算值关于k的曲线（纵轴可用对数值画出），并与真值3/41kkx比较。5．（选做）用如下迭代公式求出第n项的值：11/61,2/11/)/30001130(1112111xxxxxkkk其真值为kx单调增加收敛到6，你能否解释你所得到的计算结果？（本章习题可以用Matlab完成。）第二章插值法与数值微分1.对一个给定系数的多项式p(x),利用Horner公式编写如下程序:1)在给定点x*求函数值p(x*)2)在给定点x*求导数值p’(x*)3)在给定积分区间[a,b]上求p(x)的定积分.2.编写用Lagrange型和Newton型插值多项式求函数在某个给定点的近似值的程序,并比较这两种算法的计算量。已知：某个函数在n+1个不同节点ix上的值iy，及某个求值点x3.（选做）对定义在区间[-5,5]上的函数：41)(xxxh取等距节点，对不同的结点数，用你所编写的Newton插值多项式程序给出近似函数，画图比较。对你的结果给出解释。若插值节点取为区间[-5,5]上的切比雪夫点，可得另一个近似函数，同样画图比较并解释。（区间[a,b]上的切比雪夫点定义为：nknkabbaxk,,1,0,)1(2)12(cos22）第三章函数逼近与数据拟合某行星在一个椭圆轨道上运动,可以用如下方程描述:22xedycxbxyay请根据如下观测数据，确定参数a,b,c,e,d的取值：x1.020.950.870.770.670.560.440.300.160.01y0.390.320.270.220.180.150.130.120.130.15根据你得到的参数在(x,y)平面上画出轨迹曲线及上列观测点。对表中数据任意做小扰动（如将y(1)=0.39改为y(1)=0.389等），用同样方法再求轨迹方程，并在同一张图上画出相应曲线，讨论你所发现的现象。（因本题涉及到方程组的求解，可以用Matlab完成。）第五章数值积分根据公式dxx10214，利用数值求积公式求π的近似值1）分别编写复化中点公式、复化梯形公式和复化抛物线公式的程序，对不同的步长h求π的近似值及相应误差。画出三种算法的误差关于步长h的变化曲线，误差是否随着h的减小总是下降的？为什么？2）编写Romberg求积公式的程序，对相同误差时与1）中各算法的步长进行比较。第十章非线性方程及非线性方程组解法1．编写二分法、Newton法、弦位法的算法程序，自选算例进行计算，比较三种格式的计算量与收敛速度。2．(选做)Newton下山法的算法程序。第十一章常微分方程初值问题的数值解法1．编写4阶经典R-K法和4阶Adams预估-校正算法程序,并求解常微分方程初值问题eeyxxexxyxy12)1()21()cos())sin()(12((其精确解为)sin()()(2xeexxyx)比较两种方法的计算时间与精度。2．(选做)编写变步长经典R-K法程序，仍求解上面的初值问题，比较计算时间。补充:第一章：误差三种求ln2的算法比较按下列三种方法构造逼近ln2的数列，用以求出ln2的近似值，要求精度:观察和比较三种计算方案的收敛速度。方法1:利用级数11)1(41312112lnkkk,设nkknkS11)1(,则可取nS2ln方法2:利用方法1中的数据，按下列公式生成新数列}ˆ{nS:则可取nSˆ2ln方法3:利用级数1432212412312212112lnkkk设nkknkS121,则可取nS2ln第三章插值法与数值微分样条插值的应用用三次样条插值函数去逼近飞机头部的外型曲线，其型值点数据由下表给出。x0701302103375787761012114214621841y05778103135182214244256272275设给定下述两种边界条件，试分别计算插值函数在点)36,,2,1(50kkxk的值，并画出飞机头部外型曲线。（1）自然边界条件；（2）0)1841(,1)0(yy