数值逼近答案以及试题

第一章误差1.试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差.解:例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式24Ar计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生的误差即为模型误差.在计算过程中,要用到,我们利用无穷乘积公式计算的值:12222...qq其中112,2,2,3,...nnqqqn我们取前9项的乘积作为的近似值,得3.141587725...这个去掉的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差.2.按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字:816.95676.00001517.322501.23565193.182130.01523623解:816.966.000017.3231.235793.1820.0152363.下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字?81.8970.008136.320050.1800解:五位三位六位四位4.若1/4用0.25表示,问有多少位有效数字?解:两位5.若1.1062,0.947ab,是经过舍入后得到的近似值,问:,abab各有几位有效数字?解:已知4311d10,d1022ab,又0.2053210ab,433211110100.551010222dabdadbdadb,所以ab有三位有效数字;因为0.1047571410ab,43321110.947101.1062100.600451010222dabbdaadb所以ab有三位有效数字.6.设120.9863,0.0062yy,是经过舍入后作为12,xx的近似值.求1211,yy的计算值与真值的相对误差限及12yy与真值的相对误差限.解:已知-4-41112221211d,d,d=10,d1022xyxxyxxx,44111111110dd12drdr0.50100.9863xxxxxy;42222222110dd12drdr0.81100.0062xxxxxy;4221212drdrdr0.50100.81100.8210xxxx.7.正方形的边长约为100cm,应该怎样测量,才能使其面积的误差不超过1cm2.解:设正方形面积为S,边长为a,则S=a2.所以要使:2dd2d1saaa,则要求211d0.5102200aa.所以边长的误差不能超过20.510cm.8.用观测恒星的方法求得某地维度为4502(读到秒),试问:计算sin将有多大误差?解:1dsincosdcos45022.9.真空中自由落体运动距离s与时间的关系由公式212sgt确定,g是重力加速度.现在假设g是准确的,而对t的测量有0.1s的误差,证明t增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小.证明:因为:221ddddddd;2.122sgttgtttsgtgttsstgtds与t成正比,dss与t成反比,所以当dt固定的时候,t增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小.10.设0x,x的相对误差为,求lnx的绝对误差.解:已知dxx,所以lnx的绝对误差ddlnxxx.11.设x的相对误差为%,求nx的相对误差.解:1ddd%nnnnxnxxnxnxxx.12.计算球的体积,为了使相对误差限为1%,问度量半径R时允许的相对误差限如何?解:已知343VR,设ddrRRaR,则要使得3ddrdlndln3dln3dln3dr31%VVVRRRRaV,则11%3a.第二章函数的插值2．给定的函数值如表19所示，用3种途径求3次插值多项式。解：（1）用牛顿方法。先作差商表：所以：（2）用Lagrange方法化简得：（3）用内维尔方法再由：得：4．求，利用，取节点作插值，并估计截断误差。解：先作差商表：所以，。故：其截断误差：由于，所以5．证明：在两个节点：上作线性插值，当时，余项为证：因为其中：7．证明。证：设，则11．用拉格朗日途径导出如下的次埃尔米特插值，满足：。解：先构造次数不高于的多项式满足下列2n个条件：满足上述条件的的多项式可以写成：其中A为待定系数，再由条件得：即：再构造次数不高于的多项式满足下列2n个条件：，令：它满足上述条件中除外的所有其他条件，于是再由所以，于是：于是所求的埃尔米特插值多项式为三样条插值和曲线拟合12．若是实轴上个由小到大排列的点，考虑一个上的函数，它在上是一个二次多项式，并且是已知值，又在内节点上连续，这样的称为二次样条插值。试证这样的二次样条插值有很多，并问加上何种条件才能使它唯一，给出求的方程。解：由于在每个小区间上，有3个待定系数，于是在上共有个待定系数，。要满足的条件是：通过型值点：，共有个方程；的一阶导数连续，即共有个方程。这样总共有个方程，而待定系数有个，于是可以有很多。若要使它唯一确定，加上即可。事实上：考虑在上是一个二次多项式，可以写成：，若记为未知量，则：，再由得，故，再由得：再由为已知，从而由，可求得，且由递推关系知是唯一确定的。16．证明：贝齐尔曲线。证：因19．证明：。证：因为：，两边求导得：故：。四最佳逼近6．证明的最佳一致逼近次多项式就是在上的某个次拉格朗日插值多项式。证明：（1）若，则的最佳一致逼近次多项式就是自身。这时在上任取个不同的点，就可以看作以这个点为插值节点的关于自身的拉格朗日插值多项式。（2）若，且是的最佳一致逼近次多项式，则由契比雪夫定理知，误差曲线在上有至少由个点组成的交错点组，从而由介值定理知在上至少有个零点，于是就是以这个零点为插值节点的次拉格朗日插值多项式。12．构造区间上的最小零偏差次代数多项式。解：已知在[的最小零偏差次代数多项式为，即它是次首一多项式，且在[-1，1]上的个点处轮流取得其最大值与最小值。对于区间，作变换，则当时，，以代入得，其首项系数为，于是是在上的次首一多项式，且在个点处轮流取得其最大值与最小值，故上的最小零偏差次代数多项式为。15．假设是上的个互不相同的点，证明：对于任意向量，方程组有唯一解。证明：原方程组的矩阵形式为：为证明上述方程组有唯一解，仅需证明对应的齐次方程组只有零解。用反证法，假设对应的齐次方程组有非零解，由此令，于是对应的齐次方程组相当于，注意到已知且互不相同以及在中为奇函数，故，再加上，从而次三角多项式在中有个零点，这与引理3的性质6相矛盾。于是原方程组有唯一解。17．证明许瓦兹不等式，并借此证明内积范数满足范数的3条性质。证：取，则故：。并由内积的性质：推出：（1）且（2）（3）由于：所以：20．若连续函数列在上带权正交，且恒正，证明：对任意个数，广义多项式在上至少有一个零点。证明：用反证法。若存在个数，使广义多项式在上没有零点，由于为连续函数，故在上恒正，或恒负。不妨设，又由恒正，故。但由于在上带权正交，故，这与上式矛盾。因此，对任意个数，广义多项式在上至少有一个零点。第五章数值积分1.若求积公式（2）具有m次代数精度，试证明对于任意次数不超过m的代数多项式，都有。证明：因为对，都有，从而由的线性性质以及任意有：。结论成立。2.证明柯特斯系数满足。证明：（1）由，令，则故（2）由于牛顿-柯特斯公式的代数精度，故对零次多项式，有，即，也就是，即，由得。3.证明柯特斯系数满足方程组：证明：由于牛顿-柯特斯公式的代数精度，故在区间上使用牛顿-柯特斯公式对精确成立，即：，也就是：或，写成矩阵形式即为：4．证明，若不是整数，且，则；若不是整数，且，则。证明：因为，所以：若不是整数，且时，有成立，所以：，于是。再由：和得：。同理当时，，两边再减有：，即，所以若不是整数，且时，。证毕5.假设在上连续，。证明：存在成立证明：因在上连续，故在上必取得最大值和最小值，即当时。又若令，则由得：。故由连续函数的介值定理知：必存在，使，即。6.若用复化梯形公式求积分，则积分区间要多少等分才能保证计算结果有五位有效数字？解：欲使，其中，只须，即积分区间要68等分才能保证计算结果有五位有效数字。8．验证复化柯特斯公式和复化辛卜生公式之间存在递推关系。解：将区间n等分，其节点，在每个小区间上采用辛卜生公式得：，以及：，于是：即：。证毕。13．假定在上有二阶连续导数，求证，证明：因在上有二阶连续导数，则：，两边积分得：，因在上连续，故存在，使，即：。证毕14．给定求积公式，试决定求积系数，使之代数精确度尽可能高。解：若求积公式对精确成立，则必满足方程组：，解之得：，由于当时，求积公式仍精确成立，但当时，求积公式不再精确成立，故该求积公式具有3次代数精度。第二章函数的插值2．给定的函数值如表19所示，用3种途径求3次插值多项式。解：（1）用牛顿方法。先作差商表：所以：（2）用Lagrange方法化简得：（3）用内维尔方法再由：得：4．求，利用，取节点作插值，并估计截断误差。解：先作差商表：所以，。故：其截断误差：由于，所以5．证明：在两个节点：上作线性插值，当时，余项为证：因为其中：7．证明。证：设，则11．用拉格朗日途径导出如下的次埃尔米特插值，满足：。解：先构造次数不高于的多项式满足下列2n个条件：满足上述条件的的多项式可以写成：其中A为待定系数，再由条件得：即：再构造次数不高于的多项式满足下列2n个条件：，令：它满足上述条件中除外的所有其他条件，于是再由所以，于是：于是所求的埃尔米特插值多项式为三样条插值和曲线拟合12．若是实轴上个由小到大排列的点，考虑一个上的函数，它在上是一个二次多项式，并且是已知值，又在内节点上连续，这样的称为二次样条插值。试证这样的二次样条插值有很多，并问加上何种条件才能使它唯一，给出求的方程。解：由于在每个小区间上，有3个待定系数，于是在上共有个待定系数，。要满足的条件是：通过型值点：，共有个方程；的一阶导数连续，即共有个方程。这样总共有个方程，而待定系数有个，于是可以有很多。若要使它唯一确定，加上即可。事实上：考虑在上是一个二次多项式，可以写成：，若记为未知量，则：，再由得，故，再由得：再由为已知，从而由，可求得，且由递推关系知是唯一确定的。16．证明：贝齐尔曲线。证：因19．证明：。证：因为：，两边求导得：故：。四最佳逼近6．证明的最佳一致逼近次多项式就是在上的某个次拉格朗日插值多项式。证明：（1）若，则的最佳一致逼近次多项式就是自身。这时在上任取个不同的点，就可以看作以这个点为插值节点的关于自身的拉格朗日插值多项式。（2）若，且是的最佳一致逼近次多项式，则由契比雪夫定理知，误差曲线在上有至少由个点组成的交错点组，从而由介值定理知在上至少有个零点，于是就是以这个零点为插值节点的次拉格朗日插值多项式。12．构造区间上的最小零偏差次代数多项式。解：已知在[的最小零偏差次代数多项式为，即它是次首一多项式，且在[-1，1]上的个点处轮流取得其最大值与最小值。对于区间，作变换，则当时，，以代入得，其首项系数为，于是是在上的次首一多项式，且在个点处轮流取得其最大值与最小值，故上的最小零偏差次代数多项式为。15．假设是上的个互不相同的点，证明：对于任意向量，方程组有唯一解。证明：原方程组的矩阵形式为：为证明上述方程组有唯一解，仅需证明对应的齐次方程组只有零解。用反证法，假设对应的齐次方程组有非零解，由此令，于是对应的齐次方程组相当于，注意到已知且互不相同以及在中为奇函数，故，再加上，从而次三角多项式在中有个零点，这与引理3的性质6相矛盾。于是原方程组有唯一解。17．证明许瓦兹不等式，并借此证明内积范数满足范数的3条性质。证：取，则故：。并由内积的性质：推出：（1）且（2）（3）由于：所以：20．若连续函数列在上带权正交，且恒正，证明：对任意