数分平面曲线的弧长与曲率.

§10.3平面曲线的弧长xoy0MAnMB1M2M1nM设A、B是曲线弧上的两个端点，在弧上插入分点BMMMMMAnni,,,,,110并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时，此折线的长||11niiiMM的极限存在，则称此极限为曲线弧AB的弧长.平面曲线弧长的概念并称曲线是可求长的，并称极限为曲线的弧长1、参数方程情形C)(txx)(tyy],[t)(tx)(ty],[Cdttytxs)()(22定理10.1设没有自交点的非闭平面曲线若是可求长的，且弧长为的参数方程为与在上连续可微，则ABDABADDBABADDB性质设是一条没有自交点的非闭的是上一点，则和也是可求长的，并且的弧长等于的弧长与弧长的和可求长的平面曲线.如果ABABDABADDBABADDBAB定义2设是一条没有自交点的闭的任取一点将分成两段非闭曲线，如果和都是可求长的，则称闭的平面曲线是可求长的，并把的弧长与弧长的和定义为的弧长平面曲线.在ABDABDdttytxs)()(22注1根据性质，显然定义2中是否可求点的选择无关，并且当可求长时，其弧长也与注2公式也可以直接推广到有自交点的（非）闭的长与点的选择无关.平面曲线的情形C)(txx)(tyy],[t)(tx)(ty],[)(tx)(tyC设平面曲线的参数方程为.若与在上连续可微，且与不同时为零，则称为一条光滑曲线定义3C)(txx)(tyy],[tCdttytxs)()(22推论设平面曲线为一光滑曲线，则是可求长的，且弧长为的参数方程为若C)sin(ttax)cos1(tay0a)cos1()(tatxtatysin)(dttadttytxs2022022)cos1(2)()(adtta82sin220例1求摆线一拱的弧长.由公式得解C)(xfy],[bax)(xf],[badxxfsba)(12若曲线则当在上连续可微时，此曲线为的方程为一光滑曲线，它的弧长公式为2、直角坐标情形2xxeey0x0ax2xxeey4122xxeey22)(1002aaaxxaeedxeedxxfs例2求悬链线从到一段的弧长.由公式得解曲线弧为)()(rr其中)(在],[上具有连续导数.sin)(cos)(ryrx)(22)()(dydxds,)()(22drr.)()(22drrs3、极坐标情形弧长)0()cos1(aardadrrs022022)cos1(22)()(ada82cos40例3求心形线的周长.解由公式得dttytxs)()(22t0P)(),(tytxPdyxtst)()()(22若将定理1中公式的上限改为变量，就得到曲线由端点到动点的弧长,即由于被积函数连续，所以有)()()(22tytxts与dttytxds)()(22称为弧微分.dttytxds)()(22)(txx)(tyy],[tCPQQRCPQQR考察由参数方程给出的光滑曲线我们看到弧段与而其弯曲程度却很不一样.从点移动至时，切线转比动点从移动至时切线转过的角度要大得多.二曲率曲线上各点处的弯曲程度是描述曲线局部性态的又一重要标志.的长度相差不多曲线过的角度这反映为当动点沿()t((),())Pxtyt()()tttP((),())QxttyttPQsksPQ设表示曲线在点处切线的倾角，表示动点由沿曲线移至时切线倾角的增量.若之长为则称为弧段的平均曲率曲率的定义00limlimtsdKssdsKCP如果存在有限极限则称此极限为曲线在点处的曲率曲率计算公式C()()arctan()yttxt()()arccot()xttyt()xt()ytdttytxds)()(22由于假设为光滑曲线，故总有或又若与二阶可导，则由弧微分可得3222()()()()()()[()()]dtxtytxtytdsstxtyt3222()()()()[()()]xtytxtytKxtyt()yfx322(1)yKy所以曲率计算公式为若曲线由表示，则相应的曲率公式为cosxatsinybt02tsinxatcosxatcosybtsinybt3222()()()()[()()]xtytxtytKxtyt332222222222(sincos)[()sin)]ababKatbtabtb例4求椭圆解由于因此按公式得椭圆上任意点处的曲率为上曲率最大和最小的点.0ab0,t3,22tmax2aKbmin2bKaabR1KR当时，在（长轴端点）处曲率最大，而在（短轴端点）处曲率最小，且若椭圆成为圆时，显然有即在圆上各点处的曲率相同，其值为半径的倒数.容易知道，直线上处处曲率为零CP0KP1KPP设曲线在其上一点处的曲率若过点作一个半径为的圆，使它处有相同的切线，并在点近旁与曲线位于切线的同侧.在点CP我们把这个圆在点处的曲率圆或密切圆.称为曲线CPP曲率圆的半径和圆心称为曲线在点处的曲率半径和曲率中心.由曲率圆的定义与曲率圆既有相同可以知道，曲线在点的切线，又有相同的曲率和凸性.平面曲线弧长的概念小结求弧长的公式弧微分的概念极坐标系下参数方程情形下直角坐标系下思考题闭区间],[ba上的连续曲线)(xfy是否一定可求长？思考题解答不一定．仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长．作业:P2521;3.