数列全章知识点总结

1数列知识点题型方法总复习一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如（1）已知*2()156nnanNn，则在数列{}na的最大项为__（125）；（2）数列}{na的通项为1bnanan，其中ba,均为正数，则na与1na的大小关系为___（na1na）；（3）已知数列{}na中，2nann，且{}na是递增数列，求实数的取值范围（3）；（4）一给定函数)(xfy的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1a，由关系式)(1nnafa得到的数列}{na满足)(*1Nnaann，则该函数的图象是（A）ABCD二．等差数列的有关概念：1．等差数列的判断方法：定义法1(nnaadd为常数）或11(2)nnnnaaaan。如设{}na是等差数列，求证：以bn=naaan21*nN为通项公式的数列{}nb为等差数列。2．等差数列的通项：1(1)naand或()nmaanmd。如(1)等差数列{}na中，1030a，2050a，则通项na210n；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______833d3．等差数列的前n和：1()2nnnaaS，1(1)2nnnSnad。如（1）数列{}na中，*11(2,)2nnaannN，32na，前n项和152nS，则13a，10n；（2）已知数列{}na的前n项和212nSnn，求数列{||}na的前n项和nT（答：2*2*12(6,)1272(6,)nnnnnNTnnnnN）.4．等差中项：若,,aAb成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且2abA。提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：1a、d、n、na及nS，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2adadaadad…（公差为d）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3adadadad,…（公差为2d）三．等差数列的性质：1．当公差0d时，等差数列的通项公式11(1)naanddnad是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和211(1)()222nnnddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为0.2．若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。23．当mnpq时,则有qpnmaaaa，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa如（1）等差数列{}na中，12318,3,1nnnnSaaaS，则n＝__27__（2）在等差数列na中，10110,0aa，且1110||aa，nS是其前n项和，则BA、1210,SSS都小于0，1112,SS都大于0B、1219,SSS都小于0，2021,SS都大于0C、125,SSS都小于0，67,SS都大于0D、1220,SSS都小于0，2122,SS都大于04．若{}na、{}nb是等差数列，则{}nka、{}nnkapb(k、p是非零常数)、*{}(,)pnqapqN、232,,nnnnnSSSSS，…也成等差数列，而{}naa成等比数列；若{}na是等比数列，且0na，则{lg}na是等差数列.如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为225。5．在等差数列{}na中，当项数为偶数2n时，SSnd偶奇－；项数为奇数21n时，SSa奇偶中，21(21)nSna中（这里a中即na）；:(1):奇偶SSkk。如（1）在等差数列中，S11＝22，则6a＝__2____（2）项数为奇数的等差数列{}na中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.6．若等差数列{}na、{}nb的前n和分别为nA、nB，且()nnAfnB，则2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB.如设{na}与{nb}是两个等差数列，它们的前n项和分别为nS和nT，若3413nnTSnn，那么nnba___________（答：6287nn）7．“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组000011nnnnaaaa或确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*nN。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（1）等差数列{}na中，125a，917SS，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若{}na是等差数列，首项10,a200320040aa，200320040aa，则使前n项和0nS成立的最大正整数n是（答：4006）8．如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究nmab.四．等比数列的有关概念：1．等比数列的判断方法：定义法1(nnaqqa为常数），其中0,0nqa或11nnnnaaaa(2)n。如（1）一个等比数列{na}共有21n项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则1na为____（答：56）；（2）数列{}na中，nS=41na+1(2n)且1a=1，若nnnaab21，求证：数列｛nb｝是等比数列。2．等比数列的通项：11nnaaq或nmnmaaq。如设等比数列{}na中，166naa，21128naa，前n项和nS＝126，求n和公比q.（答：6n，12q或2）33．等比数列的前n和：当1q时，1nSna；当1q时，1(1)1nnaqSq11naaqq。如（1）等比数列中，q＝2，S99=77，求9963aaa=44（2）)(1010nnkknC的值为__________（答：2046）；特别提醒：等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分1q和1q两种情形讨论求解。4．等比中项：若,,aAb成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个ab。如已知两个正数,()abab的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______（答：A＞B）提醒：（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：1a、q、n、na及nS，其中1a、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，22,,,,aaaaqaqqq…（公比为q）；但偶数个数成等比时，不能设为…33,,,aqaqqaqa，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为2q。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）等比数列的性质：1.当mnpq时，则有mnpqaaaa，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa.如（1）在等比数列{}na中，3847124,512aaaa，公比q是整数，则10a=___（答512）；（2）各项均为正数的等比数列{}na中，若569aa，则3132310logloglogaaa102.若{}na是等比数列，则{||}na、*{}(,)pnqapqN、{}nka成等比数列；若{}{}nnab、成等比数列，则{}nnab、{}nnab成等比数列；若{}na是等比数列，且公比1q，则数列232,,nnnnnSSSSS，…也是等比数列。当1q，且n为偶数时，数列232,,nnnnnSSSSS，…是常数数列0，它不是等比数列.如（1）已知0a且1a，设数列{}nx满足1log1logananxx(*)nN，且12100100xxx，则101102200xxx.（答：100100a）；（2）在等比数列}{na中，nS为其前n项和，若140,1330101030SSSS，则20S的值为______（答：40）3.若10,1aq，则{}na为递增数列；若10,1aq,则{}na为递减数列；若10,01aq，则{}na为递减数列；若10,01aq,则{}na为递增数列；若0q，则{}na为摆动数列；若1q，则{}na为常数列.4.当1q时，baqqaqqaSnnn1111，这里0ab，但0,0ab，这是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据nS，判断数列{}na是否为等比数列。如若{}na是等比数列，且3nnSr，则r＝（答：－1）5.mnmnmnnmSSqSSqS.如设等比数列}{na的公比为q，前n项和为nS，若12,,nnnSSS成等差数列，则q的值为_____（答：－2）6.在等比数列{}na中，当项数为偶数2n时，SqS偶奇；项数为奇数21n时，1SaqS奇偶.47.如果数列{}na既成等差数列又成等比数列，那么数列{}na是非零常数数列，故常数数列{}na仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。如设数列na的前n项和为nS（Nn），关于数列na有下列三个命题：①若)(1Nnaann，则na既是等差数列又是等比数列；②若RbanbnaSn、2，则na是等差数列；③若nnS11，则na是等比数列。这些命题中，真命题的序号是（答：②③）五.数列的通项的求法：类型一：1nnapaq（1p）（构造法）：设1nnapa，即1pq得1qp，数列na是以1a为首项、p为公比的等比数列，则1111nnqqaappp，即1111nnqqaappp。例1已知数列na满足123nnaa且11a，求数列na的通项公式。解：（构造法）：设12nnaa，即3，数列3na是以134a为首项、2为公比的等比数列，则113422nnna，即123nna。类型二：1()nnaafn（叠加法）：1(1)nnaafn，依次类推有：12(2)nnaafn、23(3)nnaafn、…、21(1)aaf，将各式叠加并整理得111()nniaafn，即111()nniaafn。例2已知11a，1nnaan，求na。解：（叠加法）：1nnaan，依次类推有：121nnaan、232nnaan、…、212aa，将各式叠加并整理得12nniaan，121(1)2nnniinnaann。类型三：1()nnafna（叠乘法）：1(1)nnafna，依次类推有：12(2)nnafna、23(3