数列和三角函数

数列和三角函数1丶数列和三角函数的重要知识点①数列1.等差数列、等比数列公式、性质的综合及实际应用2.掌握常见的求数列通项的一般方法3.能综合应用等差、等比数列的公式和性质.4.用数列知识分析解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题.②三角函数1.三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）2.三角函数线3.三角函数的定义域4.同角三角函数的基本关系式5.诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”①基本关系②角与角之间的互换6.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质等2丶数列和三角函数的一些公式和性质①数列㈠等差数列通项公式等差数列前n项和公式⑴1(1)naand,()nmaanmd1()2nnnaaS，1(1)2nnnSnad，21()22nddSnan⑵等差数列中的重要性质：22pqmnspqmnsaaaaa等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍为等差数列。㈡等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．（1）11nnaaqnmmaq；111(1)(1)(1)11nnnnaqSaaqaqqqq.（2）等比数列中的重要性质：22pqmnspqmnsaaaaa等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍为等比数列。②三角函数⑴1.任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P(,)xy是的终边上的任意一（异于原点），它与原点的距离是220rxy，那么sinyr，cos,xrtan,0yxx.2：三角函数在各象限的符号3.同角三角函数的基本关系式22sincos1，tan=cossin，tan1cot.4.正弦、余弦的诱导公式5.和角与差角公式sin()sincoscossin;cos()coscossinsin;tantantan()1tantan奎屯王新敞新疆sincosab=22sin()ab(辅助角公式)奎屯王新敞新疆特别地:4sin2cossin3sin2cos3sin6.二倍角公式sin2sincos奎屯王新敞新疆2222cos2cossin2cos112sin奎屯王新敞新疆（变形222sin1cos2,cos1cos2）22tantan21tan⑵⒈研究函数sin()yAx性质的方法：类比于研究sinyx的性质，1:函数+xAsin=y是奇函数kZk．函数+xAsin=y是偶函数Zkk2．函数+xAcos=y是奇函数Zkk2．函数+xAcos=y是偶函数Zkk2求sin()yAx的对称轴的方法：先令)(2Zkkx后求出x即可。3.三角函数的周期公式：函数sin()yx，x∈R及函数cos()yx的周期2||T；函数tan()yx的周期||T⑶正弦定理：2sinsinsinabcRABC（R为ABC外接圆的半径）奎屯王新敞新疆2sin,2sin,2sinaRAbRBcRC::sin:sin:sinabcABC⑷余弦定理2222cosabcbcA;2222cosbcacaB;2222coscababC奎屯王新敞新疆⑸面积定理（1）111222abcSahbhch（abchhh、、分别表示a、b、c边上的高）奎屯王新敞新疆（2）111sinsinsin222SabCbcAcaB奎屯王新敞新疆⑹三角形内角和定理在△ABC中，有()ABCCAB222CAB三、数列与函数的解题方法掌握1.数列数列的求和方法(1)直接利用等差、等比数列求和公式；(2)通过适当变形(构造)将未知数列转化为等差、等比数列，再用公式求和；(3)根据数列特征，采用累加、累乘、错位相减、逆序相加等方法求和；(4)通过分组、拆项、裂项等手段分别求和；(5)在证明有关数列和的不等式时要能用放缩的思想来解题(如n(n－1)n2n(n＋1)，能用函数的单调性(定义法)来求数列和的最值问题及恒成立问题．2.数列是特殊的函数，这部分内容中蕴含的数学思想方法有：函数与方程思想、分类讨论思想、化归转化思想、数形结合思想等，高考题中所涉及的知识综合性很强，既有较繁的运算又有一定的技巧，在解题时要注意从整体去把握2.三角函数三角函数问题的题型主要有：三角函数式的化简、求值、证明，方法诸多，如切化弦、升降幂、常数与三角函数互化、公式的顺用、逆用、变用等，解题中心是“变角”、“变名”、“变式”，基本思路是从“角”“名”“形”入手，根据问题的目标，对其变换或通过对“角”“名”“形”的变换，确立变形目标，使问题向有利解决的方向转化。㈠、三角函数式的化简化简三角函数的基本方法：统一角、统一名通过观察“角”“名”“次幂”，找出突破口，利用切化弦、降幂、逆用公式等手段将其化简。㈡、三角函数的求值。⑴、给角求值。利用和、差公式变形，使其出现特殊角，若非特殊角，则可能出现正负抵消或约分的情况，从而求出其值。一般来说，三角式的化简，应首先考虑角，其次是函数名，再次是代数上的结构特点。本题也可用倍角公式，降幂求解。⑵给值求值。已知某三角函数值、求其它三角函数的值。一般先化简，再求值。主要方法有：三角变换法、消元法、解方程法、逆用公式等㈢、三角恒等式的证明三角恒等式的证明可分为条件恒等式和绝对恒等式，它的证明方法灵活多变。常用思路有：（1）根据式子特征，化繁为简、左右归一，使等式两边化异为同。（2）条件恒等式，注意观察已知条件与求证的等式间的关系，选择适当途径。常用方法有：代入法、消元法、分析法、综合法等。三丶数列和三角函数的例题1丶数列①已知数列{an}的通项公式为an=3n+2n+(2n-1),求前n项和。解：Sn=a1+a2+…+an=(31+21+1)+(32+22+3)+…+[3n+2n+(2n-1)]=(31+32+…+3n)+(21+22+…2n)++[1+3+…+(2n-1)]=272232)121(21)21(231)31(3211nnnnnnn②设｛an｝是首项为1的正项数列，且（n＋1）21na－na2n＋an+1an=0（n=1，2，3，…），则它的通项公式是an=__________解：所给条件式即（an＋1an）[（n＋1）an＋1－nan]=0，由于an＋1an＞0，所以（n＋1）an＋1=nan，又a1=1，故nan=（n－1）an－1=（n－2）an－2=…=2a2=a1=1，∴an=n1．2丶三角函数①化简22222sinsin2coscoscos2cos2分析本题中出现的角的形式多，故应先变角。解：原式=2222222sinsin2coscos(2cos1)(2cos1)=2222222sinsin2coscos2cos2cos1=222222sinsin2cos(1cos)2cos1=22222sin(sincos)2cos1=222sin2cos1=1.[点评]化简三角函数的基本方法：统一角、统一名通过观察“角”“名”“次幂”，找出突破口，利用切化弦、降幂、逆用公式等手段将其化简。②已知3cos()45,177124，求2sin22sin1tan的值。解：原式=2sincos2sin1tan=2sin(cossin)1tansin2(1tan)1tan。22sin2cos(2)cos[2()][2cos()1]24425。而tantan1tan4tan()1tan41tantan4，由177124,5234，所以234sin()1().455即4tan()43，故原式7428()25375。[点评]：“变角”是解三角函数问题一种常用手段。常用方法：将已知角拆（合）成已知角、特殊角或与已知角有互余、互补关系的角。如2()()，，754530,706010。