数列的极限与运算

考点183数列的极限运算1.（12安徽T21）数列{}nx满足：2110,()nnnxxxxcn*N.（I）证明：数列{}nx是单调递减数列的充分必要条件是0c；（II）求c的取值范围，使数列{}nx是单调递增数列.【测量目标】数列概念及其性质，不等式及其性质，充要条件，数列极限与运算.【难易程度】较难【试题解析】（I）必要条件当0c时，21nnnnxxxcx数列{}nx是单调递减数列；（步骤1）充分条件数列{}nx是单调递减数列22121110xxxxccx.（步骤2）得：数列{}nx是单调递减数列的充分必要条件是0c.（II）由（I）得：0c….①当0c时，10naa，不合题意；（步骤3）②当0c时，22132,201xcxxccxcc，2211010nnnnnxxcxxcxxc„，（步骤4）22211111()()()(1)nnnnnnnnnnxxxxxxxxxx.（步骤5）当14c„时，1211102nnnnnxcxxxx„与1nnxx同号，由211100nnnnxxcxxxx，21limlim()limnnnnnnnxxxcxc.（步骤6）当14c时，存在N，使121112NNNNNxxxxx与1NNxx异号.（步骤7）与数列{}nx是单调递减数列矛盾得：当104c„时，数列{}nx是单调递增数列.（步骤8）2.（11上海T14）已知点(0,0)O、0(0,1)Q和0(3,1)R，记00QR的中点为1P，取01QP和10PR中的一条，记其端点为1Q、1R，使之满足11(||2)(||2)0OQOR；记11QR的中点为2P，取12QP和21PR中的一条，记其端点为2Q、2R，使之满足22(||2)(||2)0OQOR；依次下去，得到点12,,,,nPPP……，则0lim||nnQP.【测量目标】数列的极限与运算.【难易程度】中等【参考答案】3【试题解析】由题意11(||2)(||2)0OQOR，所以第一次只能取10PR一条，22(||2)(||2)0OQOR．依次下去，则1122;QRQR、、…中必有一点在(3,1)的左侧，一点在右侧，由于12n,,,,PPP，……是中点，根据题意推出12n,PPP，…,，…，的极限为：3,1（），所以001lim3nnQPQP.3.（10湖北T7）如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去.设nS为前n个圆的面积之和，则limnxS（）A.22πrB.28π3rC.24πrD.26πr第7题图SYY58【测量目标】数列的极限与运算.【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】依题意分析可知，图形中内切圆半径分别为：r，cos30,(cos30)cos30,(cos30cos30)cos30,rrr…即3333,,,,248rrrr…（步骤1）则面积依次为：22223927π,π,π,π,41664rrrr…所以223limlim(ππ)4nxxSrr…23927πlim(1)41664xr…221π4π314rr，故C正确.（步骤2）4.（10江西T4）2111lim1333nn=（）A.53B.32C.2D.不存在【测量目标】等比数列求和、数列的极限与运算.【考查方式】先求和，然后对和取极限.【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】1133lim()1213nn.5.（10全国（II）T18）不等式261xxx＞0的解集为()A.2,3xxx＜或＞B.213xxx＜，或＜＜C.213xxx＜＜，或＞D.2113xxx＜＜，或＜＜【测量目标】解不等式，穿根法.【难易程度】中等【参考答案】C.【试题解析】26(3)(2)0(3)(2)(1)0,1(1)xxxxxxxxx＞0＞＞利用数轴穿根法得23xx＜＜1或＞，故选C.4.（10四川T8）已知数列na的首项10a，其前n项的和为nS，且112nnSSa，则limnnnaS()A.0B.12C.1D.2【测量目标】数列求极限.【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】由112nnSSa,且2112nnSSao*m作差得an＋2＝2an＋1（步骤1）又S2＝2S1＋a1，即a2＋a1＝2a1＋a1a2＝2a1w_ww.k#s5_u.co*m故{an}是公比为2的等比数列（步骤2）Sn＝a1＋2a1＋22a1＋……＋2n－1a1＝(2n－1)a1则11121limlim(21)2nnnnnnaaSa（步骤3）6.（09陕西T13）设等差数列na的前n项和为nS,若6312aS,则2limnnSn.【测量目标】等差数列的通项公式和前n项和、数列的极限.【难易程度】容易【参考答案】1【试题解析】611311251221233122aadaSadd（步骤1）2211limlim1nnnnSSnnnnnn（步骤2）7.（09湖北T6）设222120122122)2nnnnnxaaxaxaxax（…，则22024213521lim[()()]nnnaaaaaaaa……（）A.1B.0C.1D.22【测量目标】二项式定理，数列的极限与运算.【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】令0x得2021()22nna（步骤1）令1x时201222(1)2nnaaaa令1x时201222(1)2nnaaaa（步骤2）两式相加得：2202222(1)(1)222nnnaaa两式相减得：22132122(1)(1)222nnnaaa（步骤3）代入极限式可得，故选B（步骤4）