数列错位相减

数列练习题1.（裂项）nS为数列{}na的前n项和.已知20,243nnnnaaaS，（Ⅰ）求{}na的通项公式：（Ⅱ）设11nnnbaa,求数列{}nb的前n项和。2.（错位相减）已知{na}是等差数列，其前n项和为nS，{nb}是等比数列,且1a=1=2b，44+=27ab，44=10Sb.(Ⅰ)求数列{na}与{nb}的通项公式；(Ⅱ)记1121=+++nnnnTababab，+nN，证明+12=2+10nnnTab+()nN.3.（裂项）在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作nT，再令nnTalg，n≥1.（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）设1tantannnnaab，求数列nb的前n项和nS.4.（绝对值型）已知等差数列{}na的公差为2，前n项和为nS，且124,,SSS成等比数列.（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）令114(1)nnnnnbaa，求数列{}nb的前n项和nT.参考答案1.解：（Ⅰ）由2243nnnaaS，可知2111243nnnaaS可得221112()4nnnnnaaaaa，即2211112()()()nnnnnnnnaaaaaaaa由于0na，可得12nnaa又2111243aaa，解得11a（舍去），13a所以{}na是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为21nan（Ⅱ）由21nan可知111111()(21)(23)22123nnnbaannnn设数列{}nb的前n项和为nT，则12...nnTbbb1111111[()()...()]235572123nn3(23)nn2.（2012天津理科）解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d．由条件，得方程组3323227,86210,dqdq解得3,2.dq所以an＝3n－1，bn＝2n，n∈N*．(2)证明：由(1)得Tn＝2an＋22an－1＋23an－2＋…＋2na1，①2Tn＝22an＋23an－1＋…＋2na2＋2n＋1a1．②由②－①，得Tn＝－2(3n－1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n＋2n＋2＝112(12)12n＋2n＋2－6n＋2＝10×2n－6n－10．而－2an＋10bn－12＝－2(3n－1)＋10×2n－12＝10×2n－6n－10，故Tn＋12＝－2an＋10bn，n∈N*．3.（18）本题考查等比和等差数列，对数和指数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用基本知识解决问题的能力，创新思维能力和运算求解能力。解：（Ⅰ）设221,,,nttt构成等比数列，其中100,121ntt，则2121nnnttttT①1212ttttTnnn②①×②并利用)21(,102213nittttnini，得)2(2210nnT.1,2lgnnTann（Ⅱ）由题意和（Ⅰ）中计算结果，知1),3tan()2tan(nnnbn另一方面，利用kkkkkktan)1tan(1tan)1tan())1tan((1tan得11tantan)1tan(tan)1tan(kkkk所以nnkkkkbSnininiin1tan3tan)3tan()11tantan)1tan((tan)1tan(232314.解：（Ⅰ）因为1121121,22222SaSaa41143424122Saa由题意得2111(22)(412)aaa解得11a所以21nan（Ⅱ）11144(1)(1)(21)21nnnnnnnbaann111(1)2121nnn当n为偶数时，11111111...33523212121nTnnnn1121n221nn当n为奇数时，11111111...33523212121nTnnnn1121n2221nn综上所述，22,21,nnnnTn为奇数2n为偶数2n+1