数字信号处理IIR数字滤波器

第六章IIR数字滤波器的设计方法数字滤波器：是指输入输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。高精度、稳定、体积小、重量轻、灵活，不要求阻抗匹配，可实现特殊滤波功能优点：一、数字滤波器的基本概念1、数字滤波器的分类经典滤波器：现代滤波器：选频滤波器维纳滤波器卡尔曼滤波器自适应滤波器等按实现的网络结构或单位抽样响应分：01()1MkkkNkkkbzHzaz10()()NnnHzhnzFIR滤波器（N-1阶）IIR滤波器（N阶）2、数字滤波器的设计过程用一个因果稳定的离散LSI系统的系统函数H(z)逼近此性能指标按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术指标利用有限精度算法实现此系统函数：如运算结构、字长的选择等实际技术实现：软件法、硬件法或DSP芯片法3、数字滤波器的技术要求选频滤波器的频率响应：()()()jjjjHeHee为幅频特性：表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况()jHe为相频特性：反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况()j：通带截止频率c：阻带截止频率st：通带容限1：阻带容限2st2()jHe阻带：cst过渡带：c11()1jHe通带：理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近通带最大衰减：1011()20lg20lg()20lg(1)()ccjjjHeHeHe阻带最小衰减：2022()20lg20lg()20lg()ststjjjHeHeHe其中：0()1jHe当时，()2/20.707cjHe称为3dB通带截止频率13dBc4、表征滤波器频率响应的特征参量幅度平方响应2*()()()jjjHeHeHe1()()()()jjjzeHeHeHzHz的极点既是共轭的，又是以单位圆成镜像对称的1()()HzHzRe[]zIm[]jz01aa*a*1/aH(z)的极点：单位圆内的极点相位响应()()()Re()Im()jjjjejjHeHeeHejHe*()()()jjjjeHeHee*1()()ln2()jjjHeejHe11()ln2()jzeHzjHz()jHe2()*()()jjjejHeeHeIm[()]()arctanRe[()]jjjHeeHe相位响应：()()jjdeed()1Re()jzedHzzdzHz群延迟响应相位对角频率的导数的负值()je若滤波器通带内=常数，则为线性相位滤波器5、IIR数字滤波器的设计方法先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器01()1MkkkNkkkbzHzaz用一因果稳定的离散LSI系统逼近给定的性能要求：,kkab即为求滤波器的各系数：计算机辅助设计法s平面逼近：模拟滤波器z平面逼近：数字滤波器二、用模拟滤波器设计IIR数字滤波器设计思想：s平面z平面模拟系统数字系统()()aHsHzH(z)的频率响应要能模仿Ha(s)的频率响应，即s平面的虚轴映射到z平面的单位圆因果稳定的Ha(s)映射到因果稳定的H(z)，即s平面的左半平面Re[s]0映射到z平面的单位圆内|z|1设计方法：-冲激响应不变法-阶跃响应不变法-双线性变换法三、冲激响应不变法()()atnThnht数字滤波器的单位冲激响应模仿模拟滤波器的单位冲激响应()hn()aht12akHsjkTT1、变换原理ˆ()()sTazeHzHsT—抽样周期()Hz()aHs12akHsjkTTˆ()()sTazeHzHs2、混迭失真12()jakkHeHjTT仅当()02sahjT1()jaHeHjTT数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真：数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓，周期为2/T,sfTTTTccTT2ssfTT混迭实际系统不可能严格限带，都会混迭失真，在处衰减越快，失真越小/2s当滤波器的设计指标以数字域频率给定时，不能通过提高抽样频率来改善混迭现象c3、模拟滤波器的数字化方法1()NkakkAHsss111kNksTkAez()()()()()aaaHshthnThnHz11()[()]()kNstaakkhtLHsAeut1()()()kNsnTakkhnhnTAeunT1()kNnsTkkAeun()()nnHzhnz01kNnsTnknkAez110kNnsTkknAez系数相同：kA1()NkakkAHsss11()1kNksTkAHzez极点：s平面z平面kssksTze稳定性不变：s平面z平面Re[]0ks1ksTe1()jaHeHjTT11()1kNksTkTAHzez当T很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正()()ahnThnT令：2()jakkHeHjT则：aHjT2211()4313aHsssss试用冲激响应不变法，设计IIR数字滤波器例：设模拟滤波器的系统函数为解：据题意，得数字滤波器的系统函数：131()11TTTTHzezez3131421TTTTTTeezeezez1()NkakkAHsss11()1kNksTkTAHzez1120.318()10.41770.01831zHzzz设T=1s，则1120.318()10.41770.01831zHzzz模拟滤波器的频率响应：数字滤波器的频率响应：20.318()10.41770.01831jjjjeHeee22()(3)4aHjj4、优缺点优点：缺点：T–保持线性关系：线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器–频率响应混迭只适用于限带的低通、带通滤波器–h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好()aht四、双线性变换法1、变换原理使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似。冲激响应不变法、阶跃响应不变法：时域模仿逼近缺点是产生频率响应的混叠失真:[,]1:,TT12Ttg1sTze11sin2cos2TT1111sTsTee1111zsz11szs12Ttg1111222222TTjjTTjjeejee11112222TTjjTTjjeesjee11112222sTsTsTsTeeee1111zz1sTzesj11sj12sTe为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系，引入系数c12Tctg1111zsczcszcs2、变换常数c的选择12Tctg2cT2）某一特定频率严格相对应：cc122cccTctgctg2cccctg11）低频处有较确切的对应关系：特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地控制截止频率位置112Tc3、逼近情况2222()()czc01z1111112jjzesccjctgjze1）s平面虚轴z平面单位圆cscjzcscj2）01z01z左半平面单位圆内s平面z平面右半平面单位圆外虚轴单位圆上4、优缺点优点：2ctg00避免了频率响应的混迭现象s平面与z平面为单值变换00缺点：除了零频率附近，与之间严重非线性11/T1112tgc2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会产生畸变1）线性相位模拟滤波器非线性相位数字滤波器分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器，但临界频率点产生畸变预畸变给定数字滤波器的截止频率，则1112ctg按设计模拟滤波器，经双线性变换后，即可得到为截止频率的数字滤波器116、模拟滤波器的数字化方法1111111()()1aazsczzHzHsHcz可分解成级联的低阶子系统可分解成并联的低阶子系统1111()()1,2,...,iiazsczHzHsim其中：12()()()()maaaaHsHsHsHs12()()()()mHzHzHzHz12()()()()maaaaHsHsHsHs12()()()()mHzHzHzHz1111()()1,2,...,iiazsczHzHsim其中：五、常用模拟低通滤波器特性将数字滤波器技术指标转变成模拟滤波器技术指标，设计模拟滤波器，再转换成数字滤波器模拟滤波器–巴特沃斯Butterworth滤波器–切比雪夫Chebyshev滤波器–椭圆Ellipse滤波器–贝塞尔Bessel滤波器1、由幅度平方函数确定模拟滤波器的系统函数2*()()()aaaHjHjHj()()aasjHsHsh(t)是实函数2()aHj()aHs()()aaHjHj将左半平面的的极点归()aHs将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为的零点，虚轴上的零点一半归()aHs()aHs由幅度平方函数得象限对称的s平面函数将因式分解，得到各零极点()()aaHsHs对比和，确定增益常数()aHj()aHs由零极点及增益常数，得()aHs2()()aaHjHs由确定的方法2222216(25)()()(49)(36)aaHjHs已知幅度平方函数：，求系统函数例：解：222222216(25)()()()(49)(36)aaassHsHsHjss7,6ss极点：零点：（二阶）5sj零点：5sj7,6ss的极点：()aHs设增益常数为K020(25)()(7)(6)aKsHsss000()()4asaHsHjK由，得2224(25)4100()(7)(6)1342assHsssss2、Butterworth低通逼近幅度平方函数：221()1aNcHj当2()1/2acHj时称为Butterworth低通滤波器的3分贝带宽c1(0)20lg3()aacHjdBHjN为滤波器的阶数c为通带截止频率1）幅度函数特点：221()1aNcHj20()1aHj21()1/23caHjdB3dB不变性c通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小c过渡带及阻带内快速单调减小st当（阻带截止频率）时，衰减为阻带最小衰减2Butterworth滤波器是一个全极点滤波器，其极点：22/1()()()1aaaNsjcHjHsHssj1211222(1)1,2,...,2kjNNkccsjekN2）幅度平方特性的极点分布：•极点在s平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上