数字信号处理_第二章.

第2章时域离散信号和系统的频域分析Discrete-TimeSignalsandSystemsintheTransform-Domain22019/12/30本章主要内容序列的傅里叶变换（DTFT）离散傅里叶级数（DFS）周期序列的傅里叶变换序列的Z变换（ZT）逆Z变换时域离散时不变系统的变换域分析32019/12/302.1引言信号和系统的描述方法和分析工具时域——信号序列、系统单位脉冲响应、差分方程直观求解难，分析困难特征不易把握设计难频域——信号频谱、系统频率响应、离散时间傅里叶变换（DTFT）、Z变换、便于求解分析、设计易2.2时域离散信号的傅里叶变换52019/12/30连续信号的傅里叶变换连续信号的傅里叶变换定义如下正变换反变换时域非周期绝对可积信号，在频域中为连续的频谱j()()tXjxtedtj1()()2txtXjed62019/12/302.2.1时域离散信号的傅里叶变换的定义若序列绝对可和，或者说序列能量有限，即则：时域离散信号的傅里叶变换(离散时间傅立叶变换DTFT)为正变换（DTFT）其中：，T是采样间隔。表示序列的频率特性。幅频特性：相频特性：注意：求和上下限、变换的条件、n取整数、DTFT是连续的，且以2为周期。()()jjnnXexne()xn()xn()nxn()jXe[()r]agjXearg[()]()jjjXeXeeT()jXe()jXe72019/12/30反变换（IDTFT）定义：证明：由于于是1()()2jjnxnXeed1()2jljnlxleed右边1()2jljnlxleedsin()()()lnlxlnl1sin()()0nlnlnlnl()nlsin()()()lnlxlnl右边()()()lxlnlxn＃82019/12/30DTFT举例例2.2.1求矩形序列的傅里叶变换解：()NRn10Njnne/2/2/2/2/2/2(1)/21()1()sin(/2)sin(/2)jNjNjNjNjjjjjNeeeeeeeeNenjnNNjenRnRDTFTeX)()]([)(92019/12/302.2.2时域离散信号傅里叶变换的性质时域离散信号的傅里叶变换以为周期2(2()()jjMXeXeM为整数(2)(2)2()()()()()jMjMnnjnjMnnjnjnXexnexneexneXe证明：1.周期性102019/12/30周期性的意义对信号进行频域分析时，只需分析一个周期即可；在处，表示直流分量；在附近为低频分量在附近为高频分量0,2,4,0,2,4,,3,ω()jXe-2π-π2ππ0*即满足均匀性与叠加性2.线性)()()]()([2121jjebXeaXnbxnaxFT)]([)()]([)(2211nxFTeXnxFTeXjj3.时移和频移如果则有：)]([)(nxFTeXj)()]([)()]([)(0000jnjjnjeXnxeFTeXennxFT132019/12/304.傅里叶变换的对称性一般，序列为复序列()xn()()()rixnxnjxn共轭对称序列()(),()(),()()eeerereieixnxnxnxnxnxn共轭反对称序列()(),()(),()()ooororoioixnxnxnxnxnxn()()()rixnxnjxn将序列分成共轭对称部分和共轭反对称部分()()()eoxnxnxn()()()()()eoeoxnxnxnxnxn有：11()[()()]()[()()]22eoxnxnxnxnxnxn因为142019/12/30傅里叶变换的对称性（续）频域共轭对称性()(),()(),()()jjjjjjeeerereieiXeXeXeXeXeXe()(),()(),()()jjjjjjooororoioiXeXeXeXeXeXe频域共轭反对称性将频域函数分成共轭对称分量和共轭反对称分量有：因为()()()jjjeoXeXeXe***()()()()()jjjjjeoeoXeXeXeXeXe*1()[()()]2jjjeXeXeXe*1()[()()]2jjjoXeXeXe152019/12/30序列分解为实部和虚部()()()rixnxnjxnDTFT[()]()()jnrrnjeXxnxnee()())()(jnjnjrrenjenxnexnXeeXe——实部（实序列）的傅里叶变换具有共轭对称性质序列的对称性与频域的对称性之间的关系？——傅里叶变换的对称性考虑到****DTFT[()]()()()jnjnjnnxnxnexneXe11DTFT[()]DTFT[()()]()()()22jjjrexnxnxnXeXeXe实际上有：对实部：162019/12/30DTFT[()]DTFT())[()()(]jjireojxnxnXXexen()DTFT[()]()()()())(jniinjnjnjijoionnjxnjxnejxnejxneXeXe——纯虚数序列的傅里叶变换具有共轭反对称性质而对：()ijxn1DTFT[()][()()]()2jjjiojxnXeXeXe所以：11DTFT[()]DTFT[[()()]][()()]()22jjjiojxnxnxnXeXeXe实际上有：)()]()([21)]([*jejjreXeXeXnxDTFT172019/12/30R1DTFT[()][()()]Re()()2jjjjexnXeXeXeXeI1DTFT[()][()()]Im()()2jjjjoxnXeXejXejXeIRDTFT[()]DTFT()()()]()[joejxnjXxnXxnee因DTFT[()]DTFT[()()][()()][()()][()()]()jnririnjmjmjririmmxnxnjxnxnjxnexmjxmexmjxmeXe可以得到：11DTFT[()]DTFT[[()()]][()()]22jjexnxnxnXeXe即有：将序列分成共轭对称部分和共轭反对称部分()()()eoxnxnxnmn182019/12/30如果将序列傅里叶变换写成：()()()()()rieoxnjxnxnxnxneoRI()()()()()jjjjjXeXeXeXejXearg[()]IR()()(),arg[()]arctan()jjjjjXejjXeXeXeeXeXe当为实序列，则为偶对称，为奇对称()xn()jXearg[()]jXe当为实序列，则其傅里叶变换具有共轭对称性质；当为实偶对称序列，则其傅里叶变换为实偶对称的；当为实奇对称序列，则其傅里叶变换为虚奇对称的。()xn()xn()xn192019/12/305.时域卷积定理设则()DTFT[()],()DTFT[()],()()()()()jjmXexnHehnynxnhnxmhnm()DTFT[()]()()jjjYeynXeHe时域卷积频域相乘。202019/12/30证明()()DTFT[()][()()]()()()()()()()()()jjnnmjjnmnjnmjmmnjmjmjjYeynxmhnmeYexmhnmexmhnmeexmeHeXeHe212019/12/30该定理说明，两序列卷积的DTFT，结果服从相乘的关系。对于线性时不变系统输出的DTFT，等于输入信号的DTFT乘以单位脉冲响应的DTFT。因此求系统的输出信号，可以在时域用卷积公式计算，也可以在频域按照前式作乘积，求出输出的DTFT，再作IDTFT求出输出信号。222019/12/306.频域卷积定理设则()DTFT[()],()DTFT[()],()()()jjXexnHehnynxnhn时域相乘频域卷积deXeHeXeHeYjjjjj)()(21)(*)(21)()(232019/12/30证明()()()1()()2jjnnjjnjnnYexnhnexnHeede时域相乘，频域卷积。亦称为调制定理denxeHnjnj])()[(21)(deXeHjj)()(21)()(*)(21jjeXeH7.parsevaldeXnxjn22)(21)(252019/12/302.3周期信号的离散傅里叶级数（DFS）周期为基频正变换反变换0T0,1,2,n连续周期信号的傅里叶级数（FS）000j20021()()TntTXjnxtedtT00022fT0j0()()ntnxtXjne262019/12/30表明：时域周期信号频域离散序列；任意周期信号x(t)可分解为许多不同频率的复指数信号之和。X(jnΩ0)是频率为nΩ0的分量的系数，X(j0)是直流分量。连续周期信号的傅里叶级数（FS）()xt---0Tt00()Xjn0---002T272019/12/30周期序列的离散傅里叶级数（DFS）周期信号不存在傅里叶变换设为以N为周期的周期序列，则可展成傅里叶级数为什么是有限项之和？如何求？0211000022(),NNjknjknNkkkkxnaeaeTTNTN()xnka282019/12/30周期序列的离散傅里叶级数（续）222111000()NNNjmnjknjmnNNNknnkxneaee2()22()1()22()()011011jkmNjkmNNjkmnNjkmjkmnNNNkmeeekmee2101()NjknNknaxneN221100NNjknjmnNNknkaee211()00NNjkmnNkknae210()0NjmnkNnaNmkxnemk292019/12/30k、n均取整数；是周期函数，周期为N是周期为N的周期序列令离散傅里叶级数对：2101()Nj