数字信号处理_陈后金_第3章快速Fourier变换1

离散傅里叶变换快速算法(FFT)问题的提出解决问题的思路与方法基2时间抽取FFT算法基2时间抽取FFT算法的计算复杂度基2时间抽取FFT算法流图规律基2频率抽取FFT算法FFT算法的实际应用学习要求1.掌握基2时间抽取和基2频率抽取FFT算法原理和方法。2.了解基4时间抽取FFT算法的基本原理。3.掌握实序列FFT计算方法。4.掌握由N点序列FFT计算2N点序列FFT的方法。5.掌握利用FFT计算IDFT的原理及过程。重点和难点本章的重点是基2时间抽取FFT算法的基本原理，FFT蝶形运算流图本章的难点是由短序列的DFT表达相应长序列的DFT的基本原理及方法问题的提出4点序列{2，3，3，2}DFT的计算复杂度1,1,0,][][10NmWkxmXkmNNk102332]0[0000NNNN12332]1[321002332]2[6420NNNN12332]3[9630复数加法N(N-1)复数乘法N2如何提高DFT的运算效率?解决问题的思路1.将长序列DFT分解为短序列的DFT2.利用旋转因子的周期性、对称性、可约性。kmNW旋转因子的性质kmNWkmNNmkNmNkN)()((1)周期性(2)对称性mkNkmNWW(3)可约性mkNNmkNWW2nmknNmkNWW为整数nNWWnmknNmkN/,//解决问题的方法将时域序列逐次分解为一组子序列，利用旋转因子的特性，由子序列的DFT来实现整个序列的DFT。基2时间抽取(Decimationintime)FFT算法12,,1,0]12[]2[][Nrrxrxkx基2频率抽取(Decimationinfrequency)FFT算法]12[]2[][mXmXmX基2时间抽取FFT算法推导kmNNkWkxmX][][10mrNNrrmNNrWrxWrx)12(12/0212/0]12[]2[rmNNrmNrmNNrWrxWWrx2/12/02/12/0]12[]2[mrNNrmrNNrWrxmXWrxmX2/12/022/12/01]12[][]2[][记基2时间抽取FFT算法推导][][][21mXWmXmXmN][][]2/[21mXWmXNmXmN12/1,0Nm因此有:基2时间抽取FFT算法流图N=2x[k]={x[0],x[1]}]1[]0[]0[02xWxX]1[]0[]1[12xWxX]0[x]1[x]0[X-102W]1[X]1[]0[02xWx4点基2时间抽取FFT算法流图x[0]x[2]x[1]x[3]X1[0]X1[1]X2[0]X2[1]2点DFT2点DFT111104W14W02W02WX[0]X[1]X[2]X[3]1,0],[][]2[241mmXWmXmXm1,0],[][][241mmXWmXmXm4点基2时间抽取FFT算法流图x[0]x[2]x[1]x[3]1111X[0]X[2]X[1]X[3]X1[0]X2[0]X1[1]X2[1]04W14W04W04W8点基2时间抽取FFT算法流图4点DFT4点DFTx[0]x[2]x[4]x[6]x[1]x[3]x[5]x[7]X1[0]X1[1]X1[2]X1[3]X2[0]X2[1]X2[2]X2[3]X[0]X[1]X[2]X[3]X[4]X[5]X[6]X[7]111108W18W28W38W3,2,1,0],[][]4[281mmXWmXmXm3,2,1,0],[][][281mmXWmXmXm4点DFT4点DFTx[0]x[2]x[4]x[6]x[1]x[3]x[5]x[7]X1[0]X1[1]X1[2]X1[3]X2[0]X2[1]X2[2]X2[3]X[0]X[1]X[2]X[3]X[4]X[5]X[6]X[7]111108W18W28W38W2点DFT2点DFTx[0]x[4]x[2]x[6]114WX11[0]X11[1]X12[0]X12[1]04W2点DFT2点DFT11X21[0]X21[1]X22[0]X22[1]x[1]x[5]x[3]x[7]14W04W1111x[0]x[4]x[2]x[6]28W08W08W08WX11[0]X11[1]X12[0]X12[1]1111x[1]x[5]x[3]x[7]28W08W08W08WX21[0]X21[1]X22[0]X22[1]8点基2时间抽取FFT算法流图x[0]x[4]x[2]x[6]X[0]X[2]X[1]X[3]111108W08W08Wx[1]x[5]x[3]x[7]X[4]X[6]X[5]X[7]111108W08W08W18W08W38W28W28W28W1111第一级第二级第三级8点基2时间抽取FFT算法流图算法的计算复杂度复乘次数NN2log2复乘次数NN2NN2log2基2时间抽取FFT算法流图x[0]x[4]x[2]x[6]X[0]X[2]X[1]X[3]111108W08W08Wx[1]x[5]x[3]x[7]X[4]X[6]X[5]X[7]111108W08W08W18W08W38W28W28W28W1111第一级第二级第三级FFT算法流图旋转因子规律PNW第二级的蝶形系数为，蝶形节点的距离为2。4/0,NNNWW第一级的蝶形系数均为，蝶形节点的距离为1。0NW第三级的蝶形系数为，蝶形节点的距离为4。8/38/28/0,,,NNNNNNN级的蝶形系数为，蝶形节点的距离为N/2。)12/(10,,,NNNN倒序k0k1k2x[k2k1k0]x[000]x[100]x[010]01011]12x[kk0]x[k2k101x[110]x[001]x[101]x[011]x[111]01010101例：试利用N=4基2时间抽取的FFT流图计算8点序列x[k]={1,-1,1,-1,2,1,1,2}的DFT。解：根据基2时间抽取FFT算法原理，8点序列的DFTX[m]可由两个4点序列的DFTX1[m]和X2[m]表达。如果按照序列x[k]序号的奇偶分解为x1[k]和x2[k]，则存在3,2,1,0][][]4[][][][281281mmXWmXmXmXWmXmXmm其中x1[k]={1,1,2,1}，x2[k]={-1,-1,1,2}，X1[m]和X2[m]可通过4点的FFT来计算。例：试利用N=4基2时间抽取的FFT流图计算8点序列x[k]={1,-1,1,-1,2,1,1,2}的DFT。解：-1-1-1-j12115-11-13-120-1-1-1-1-j-11-121-2+3j1-2-3j0-21-3-1X1[m]={5,-1,1,-1},X2[m]={1,-2+3j,1,-2-3j}利用上述公式，可得序列x[k]的DFTX[m]为X[m]={6,-0.293+3.535j,1+j,-1.707+3.535j,4,-1.707-3.535j,1-j,-0.293-3.535j}