数字信号处理复习(2013级).

数字信号处理第一章离散时间信号与系统一、离散信号（序列）的表示（T表示抽样间隔）表示方法：（1）数学表达式（2）图形表示)()()(nTxtxnxnTt1.1离散时间信号——序列二、信号的运算1、信号的移位：x(n)→x(n-m)2、线性卷积：mmnhmxnhxny)()()(*)n()(上式中，若序列x(n)和h(n)的长度分别是M和L,则y(n)的长度为L+M-1。三、几种常用序列1、单位抽样序列δ(n))0(0)0(1)(nnn（1）定义式)(0)(1)(mnmnmn（2）δ(n)的性质)()(*(n)nxnx)()(*)(mnxmnnx)()0()((n)nxnx)()()((n)mnmxmnx2、单位阶跃序列u(n))0(0)0(1)(nnnu（1）定义式)(0)(1)(mnmnmnu3、矩形序列RN(n))(0)10(1)(nNnnRN其它（1）定义式（2）RN(n)用来截断序列例：序列x(n)=δ(n)-3δ(n-1)+2δ(n-2),若序列y(n)=x(n-1)R3(n),求y(n)的数学表达式。4、正弦型序列)sin()n(nx四、正弦序列的周期性)sin()n(nx的周期有三种情况：N21、是整数，则x(n)是周期序列，周期为N；QP22、是有理数，（其中P、Q为互质整数)，则x(n)是周期序列，周期为P；23、是无理数，则x(n)不是周期序列。要求：会判断正弦型序列的周期性例1：序列)494sin()n(nx是否周期序列？若是，周期是多少？五、用δ(n)表示任意序列例1：已知序列x(n)=δ(n)-4δ(n-1)+3δ(n-2),y(n)=x(n-1),求y(n)的数学表达式。画图表示x(n)和y(n).例2：已知f(n)如图，写出f(n)表达式nf(n)2-11-21321.2线性、移不变（LSI）系统一、线性系统：若y1(n)=T[x1(n)]、y2(n)=T[x2(n)]，则a1y1(n)+a2y2(n)=T[a1x1(n)+a2x2(n)]二、移不变系统：若y(n)=T[x(n)]，则y(n-m)=T[x(n-m)]。例：判断下列系统是否线性移不变系统。y(n)=x(n)+1y(n)=x(n+5)y(n)=x(3n)三、LSI系统的单位抽样响应h(n)（1）定义：当输入信号为δ(n)，系统的零状态响应称为单位抽样响应，用h(n)表示。（2）h(n)只能用来描述线性移不变系统。（3）若线性移不变系统的单位抽样响应为h(n)，当输入信号为x(n)时，系统的输出为：y(n)=x(n)*h(n)例：系统h(n)=δ(n)-2δ(n-1)，则当激励为e-9nu(n)时，系统响应为1.4连续时间信号的抽样1、对连续信号进行时域抽样会使信号的频谱产生周期延拓。2、奈奎斯特抽样定理：若信号频率上限为fc，要想对其抽样后由抽样信号恢复出原信号，则抽样率fs应满足csff2csff2cfT21称为奈奎斯特抽样频率，称为乃奎斯特抽样间隔。3、抽样信号的恢复：若连续信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特条件，则只要将抽样信号通过理想低通滤波器即可完全不失真恢复原信号。第二章Z变换与离散时间傅里叶变换2.2z变换定义与收敛域一、z变换公式nnznxzX)()(例：序列x(n)=δ(n)+2δ(n-1)-5δ(n-2).求x(n)的z变换X(z)解：21521)]2(5)1(2)([)(zzznnnzXnnn掌握X(z)收敛域与序列x(n)的关系az若X(z)收敛域为，则x(n)为右边序列（因果序列），反之亦然az，则x(n)为左边序列（逆因果序列），反之亦然；若X(z)收敛域为bza，则x(n)为双边序列，反之亦然；若X(z)收敛域为z0，则x(n)为有限长序列，反之亦然。若X(z)收敛域为二、z变换的收敛域：使X(z)收敛的z的范围。2.3Z反变换1、极点：使的z的值称为X(z)的极点。收敛域内不可能有极点。极点决定收敛域的边界。)(zX)8.01)(212)(11zzzX（例：求的极点。X（z）有几种可能的收敛域？2、X(z)有几种收敛域，就对应几种x(n)。一、掌握收敛域在Z反变换中的作用。二、掌握求Z反变换的方法例：已知)2.11)(21(1)(X11zzz求X(z)的反变换x(n)。2.6序列的傅里叶变换一、序列的傅里叶变公式：jeznnjjzXenxeX)()()(例：序列x(n)=δ(n)+2δ(n-1)-5δ(n-2).求x(n)的频谱X(ejω)解：jjnnnjjeeennneX2521)]2(5)1(2)([)(二、序列x(n)的直流分量njnxeX)()(0例：若x(n)=δ(n)-3δ(n-1)+9δ(n-2),则x(n)的直流分量X(ej0)=。2.9傅里叶变换的一些对称性质3、实偶序列的傅里叶变换是实偶函数。1、实序列的傅里叶变换的幅度是偶函数，相位是奇函数。4、实奇序列的傅里叶变换是虚奇函数。2、实序列的傅里叶变换的实部是偶函数，虚部是奇函数。一、系统函数H(z)与单位抽样响应h(n)的关系系统函数H(z)是单位抽样响应h(n)的z变换，h(n)是H(z)的逆z变换。需要注意，已知h(n)，可以描述唯一的系统。但由于一个H(z)可能对应多个h(n),因此已知H(z)，如果不确定收敛域，就可能对应多个系统。262.10离散系统的系统函数，系统的频率响应二、因果稳定系统的H(z)的收敛域特征：az因果系统H(z)的收敛域包含∞，即稳定系统H(z)的收敛域包含单位圆1z因果稳定系统的H(z)的收敛域同时包含∞和单位圆，即)1(aaz因果稳定系统的H(z)的全部极点都在单位圆内。例：因果系统)9.01)(21(2)(11zzzH的收敛域是)21(1)(1azzH例：已知线性时不变系统的系统函数若该系统因果稳定，则（）21.aA、21Ba、21Ca、21Da、例：稳定系统)2.01)(5.11(1)(11zzzH的收敛域是三、系统函数与差分方程的关系1、差分方程的形式：例：y(n)+2y(n-1)+5y(n-2)=2x(n)2、由差分方程求系统函数H(z)例：一个线性移不变系统由方程y(n)-3.2y(n-1)+2.4y(n-2)=x(n)描述，(1)求系统函数H(z)；（2）该方程可以描述几种不同的系统？(3)若系统是因果系统，求其单位抽样响应。四、系统频率响应的几何确定法1、系统频率响应的定义nnjjenheH)()(称为系统的频率响应。2、频率响应曲线与H（z）零、极点的关系靠近单位圆的零点位置对应幅频响曲线的谷值位置，靠近单位圆的极点位置对应幅频响曲线的峰值位置。例：某系统的系统函数为：1.画出H(z)的零、极点分布图；2.粗略画出系统的幅频响应曲线。64.081.0)(22zzzHxxRe()zIm()z0.9-0.90.8j-0.8j()jHe3/2/2第三章离散傅里叶变换DFT3.2傅里叶变换的几种可能形式信号时域与频域特性的对应关系时域：离散连续周期非周期频域：周期非周期离散连续例：连续非周期信号的傅里叶变换是A.连续、非周期函数B.连续、周期函数C.离散、周期函数D.离散、非周期函数3.5离散傅里叶变换一、掌握DFT公式102)10()()(NnknNjNkenxkX例：序列x(n)=δ(n)+2δ(n-1)-5δ(n-2).求x(n)的DFT解：)20(521)]2(5)1(2)([)(34322032keeennnkXkjkjnnknj二、DFT的物理含义(X(k)与X(ejω)的关系：X(k)是X(ejω)在[0,2π]上的抽样))10()()(2NkeXkXkNj3.6DFT的性质一、序列的补零以及补零序列的DFT例：序列x(n)=2δ(n)+3δ(n-1)-4δ(n-2),求x(n)的3点和5点DFT；并指出两者在物理意义上的差别。二、序列的圆周移位)())(()(nRmnxnyNN表示y(n)是x(n)的圆周移位，掌握圆周移位的过程。例：序列x(n)=2δ(n)+3δ(n-1)-4δ(n-2),若序列y(n)=x（(n-1)）3R3(n),试分别画图表示x(n)和y(n)；三、序列的圆周卷积与线性卷积的关系例：序列x(n)和h(n)的长度分别是8和9,为使x(n)※h(n)=x(n)Nh(n),N的长度至少为.3.8利用DFT计算模拟信号的傅立叶变换对1、频谱混叠：是指信号频谱周期延拓时发生混叠的现象。产生原因：时域抽样不满足抽样定理。改善方法：减小抽样间隔。一、利用DFT计算连续时间信号的傅立叶变换可能出现的三个主要问题：2、频谱泄露：是指信号频谱分布加宽，高频含量增加的现象。产生原因：时域信号截断。改善方法：增加时域信号长度或采用更平滑的截断方式。3、栅栏效应：是指对连续时间信号的连续频谱进行频谱分析时，其中部分频谱未被抽样、未能观察到的现象。产生原因：是由于采用DFT对连续信号进行离散傅里叶变换，对频谱进行了抽样。改善方法：通过时域补零，可以增加频域抽样点，改善“栅栏效应”。二、谱分析主要参数的计算若谱分析处理器要求最高频率为fc,频率分辨率为Fo,请确定以下参数：（1）最小记录长度001FTcfT21（2）最大抽样间隔TTN0（3）一个记录中的最少抽样点数,N通常取2的整数次幂。例：已知某FFT谱分析处理器要求最高频率≤1kHz,频率分辨率≤2Hz,请确定以下参数：（1）最小记录长度；（2）最大抽样间隔；（3）一个记录中的最少抽样点数。sFT.5021100解：（1）最小记录长度sfTc3105.010002121（2）最大抽样间隔1000105.05.030TTN（3）一个记录中的最少抽样点数N取1024。一、FFT的基本运算单元是碟形运算二、用基2时间抽取FFT计算N点DFT所需的复数乘法次数与成正比NN22log4.3按时间抽取的基2FFT算法第四章快速傅里叶变换FFT4.2直接计算DFT的问题及改善途径一、FFT是DFT的快速算法二、直接计算N点DFT所需的复数乘法次数与N2成正比用FFT实现线性卷积（滤波）的步骤设序列x(n)和h(n)的长度分别为M和L，则用FFT实现线性卷积的步骤是（令N=L+M-1）：)(*)()(ynhnxn（1）对x(n)计算N点FFT：X(k)=DFT[x(n)]；（2）对h(n)计算N点FFT：H(k)=DFT[h(n)]；（3）计算Y(k)=X(k)H(k)；（4）对Y(k)计算N点IFFT：y(n)=DFT[Y(k)]。4.10线性卷积的FFT算法第五章数字滤波器结构数字滤波器的三个基本运算单元：加法器、标量乘法器、单位延时器5.1引言5.2IIR滤波器的基本结构一、IIR滤波器的三种基本结构包括：1、直接型（典范性）2、级联型3、并联型二、IIR滤波器的结构特点：IIR滤波器采用递归结构45三、掌握IIR滤波器的典范性（直接Ⅱ型）结构：4621215.05.11z5.22)(zzzzHx(n)y(n)2.521.5z-1z-1-0.51例：已知IIR滤波器的系统函数如下，请画出典范性结构。例：已知IIR滤波器的系统函数如下，请画出典范性结构。12531)(22zzzzzH21122251z313112531)(zzzzzzzH解：解：x(n)y(n)1/31/35/2z-1z-1-1第六章IIR滤波器设计方法6.1引言数字滤波器的指标表