数值模拟第四讲平面问题(一)基本知识与离散化

4弹性力学基本知识与平面问题离散化目标:掌握弹性力学平面问题的基本理论和离散化的基本概念。4.1弹性力学的基本概念4.1.1弹性力学的任务•弹性力学是固体力学的分支学科，研究一般弹性体在外部因素（力、温度变化等）作用下产生的应力、变形；并为机械零件、工程结构的强度、刚度、稳定性分析提供理论工具。•弹性力学与材料力学和结构力学的比较：1）基本任务相同2）研究对象和范围有所区别材料力学：研究杆状构件结构力学：研究杆件系统弹性力学：研究一般弹性体的一般行为。如二、三维实体，板壳结构，应力集中体，无限、半无限体等。4.1.2弹性力学的基本假设•为什么要作基本假设基本假设？对实际研究对象根据所研究的层次和范围，进行科学抽象和假设，突出主要矛盾，以建立可用的模型。1)连续性假设2)均匀性假设3）各向同性假设假设物体所占的空间被组成该物体的介质所充满，不留任何空隙。不考虑介质的微观物质结构。物体内的物理量就能用空间坐标的连续函数来描述。认为物体由同一种材料组成，内部的物理性质处处完全相同。假设物体内每一点沿各不同方向的物理性质相同，如弹性常数，导热系数等。4)完全弹性假设假设物体在外加因素去除后能完全恢复原来形状，没有剩余变形。同时认为应力与应变呈线性关系，即服从虎克定律。5）微小变形假设假设物体在载荷作用下产生的位移远远小于物体的特征尺寸，应变分量和转角均远小于1。•上述5项假设中，前四个属于物理假设，符合前四个基本假设的称为理想弹性体。第五个假设属于几何假设，符合该假设的理想弹性体的问题称为线性弹性力学。4.1.3弹性力学的研究方法(1)与材料力学研究方法的比较材料力学：除了引入“基本假设”，还根据不同对象引入补充假设，如：直梁弯曲的“平面假设”，“纵向纤维无挤压”假设；扭转理论中的“刚性平面”假设等。弹性力学：除了必要的基本假设外，不再引入补充假设，而是严格按照静力学、几何学、物理学三方面的条件建立基本方程和边界条件，求得精确结果。因而可以对材料力学的理论和解答进行验证考核。(2)弹性力学研究方法概述1）研究弹性体内微分单元体的平衡，写出一组平衡微分方程；2）由于平衡方程数少于未知应力数，必须考虑几何方面的关系：应变分量和位移分量之间的微分方程。3）再引入应力和应变之间的物理关系——广义虎克定律。4）边界上单元体的内部应力和外部载荷之间的平衡，得到应力边界条件；考虑边界位移约束得到位移边界条件。由上述基本方程和边界条件可以确定弹性体中的应力、应变、位移场。(3)弹性力学问题的求解策略1）解析法—精确解a.应力解法b.位移解法2）能量法（变分法）—近似解3）数值法—近似解a.有限差分法b.有限元法c.边界元法4.1.4弹性力学中的基本量•弹性力学中用以描述研究对象状态的基本力学量包括：外力、应力、应变、位移。外力1)体积力（体力）：物体内部单位体积上所受外力称为体力（矢量）。如：重力、惯性力等。2)表面力（面力）：物体表面单位面积上所受外力称为面力（矢量）。如：静水压力、接触力等。在弹性力学中体力、面力均为空间坐标的函数。应力xzxyx,,yxyzy,,zyzxz,,弹性体中某一点的应力状态用9个应力分量表示：其中由于剪应力互等，只有6个独立分量。应变zyx,,zxyzxy,,空间问题的一点应变分量包括3个正应变：3个剪应变：弹性体受力变形后任意一点都产生位置的变化，形成一个位移矢量，其在坐标轴上的投影（位移分量）用u，v，w表示。位移•一般情况下，各点的应力、应变、位移分量是其空间坐标的函数。4.2弹性力学平面问题基础•任何实际变形体的力学问题都是空间问题（三维问题），所受的外力一般都是空间力系。•在某些特殊情况下，比如物体具有特殊形状，受特殊的外力，特殊的位移约束时，空间问题就可以简化成平面问题。此时，问题的几何和力学量仅仅是二维坐标的函数。所求未知力学量只是二维空间内的分量。•这种平面问题模型下，所得到的结果能满足工程上的精度要求，而分析计算工作量大大减少。•大量的固体力学问题都可以简化为平面问题。•平面问题包括：平面应力问题和平面应变问题。4.2.1平面应力问题___高速旋转的薄圆盘、土建中的剪力墙(1)平面应力问题的基本特征平面应力问题模型1）几何特征2）受力特征薄板的两个侧面上无载荷作用；边缘上受到平行于板面且沿板厚均匀分布的面力作用；体力平行于板面且不沿板厚变化（x,y的函数）。物体在一个方向（z)的尺寸远远小于其它两个方向（x,y)的尺寸。几何为均匀薄板。应力分量：xyyx,,——x,y的函数应变分量：xyyx,,——x,y的函数位移分量：),(),(yxvvyxuu0zyzxz（非独立）(2)平面应力问题的应力、应变、位移分量平面应力问题的例子由基本特征推出：4.2.2平面应变问题——水坝，火炮身管平面应变问题的例子(1)平面应变问题的基本特征1）几何特征一个方向（z)尺寸远远大于其它两个方向（x,y)的尺寸,呈现为无限长等截面柱体，或任何横截面可以看作对称面：z方向无位移；2）受力特征外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿纵向不变化。(2)平面应变问题的应力、应变、位移分量0zxzyz0z（非独立）应变分量：xyyx,,——x,y的函数xyyx,,——x,y的函数应力分量：位移分量：),(),(yxvvyxuu平面应变问题的例子由基本特征推出：4.2.3平面问题基本方程和边界条件•平面应力和平面应变问题都归结为求解平面内的3个应力分量、3个应变分量、2个位移分量。•要求解这些未知力学量，需要通过研究弹性体的平衡、几何、物理关系得到足够的方程。(1)平面问题几何方程——应变~位移关系xvyuyvxuxyyxvuxyyxxyyx00算子矩阵几何方程对于平面应力和平面应变问题相同(2)平面问题的物理方程——应力~应变关系对于平面应力问题，应用虎克定律可导出应力与应变之间的关系。xyyxxyyxE2100010112平面应变问题弹性矩阵按如下办法得到D平面应力弹性矩阵，对称方阵。2100010112ED21EEu1因此，对于平面问题的推导和编程，只按平面应力问题处理。将平面应力弹性矩阵中的弹性常数作如下变换(参见P23)(3)平面问题的平衡方程通过研究微分单元体平衡，得到下列平衡微分方程：00yyxyxxyxfyxfyx为体力分量。，yxff(4)平面问题边界条件平面弹性体的边界分为位移边界和应力边界uStS用前面的基本方程求解弹性力学问题时，必须考虑上述边界上位移的协调和力的平衡。边界条件描述如下：vvuu,在上uS2）应力边界条件yxyyxxyxtlmtml为边界上面力分量。，。为边界外法线方向余弦，yxttml1）位移边界条件4.3.1结构离散化的基本任务4.3平面问题离散化连续体结构平面问题用x-y坐标系下的一个二维区域表示有限大小单元的结合体（单元+节点）可用不同形状的单元，单元只在节点处相互连接（铰接）代替原连续体网格剖分4.3.2结构离散化过程将无限个质点的连续体转化为有限个单元集合体的处理方法就称为结构离散化。离散化的基本任务就是建立一个用仅靠节点铰接并传递力的有限个单元组成的集合体从力学意义上替代原有结构的有限元计算模型。实体模型离散化为有限元模型离散化几何实体模型有限元模型4.3.3离散化系统的描述连续体结构离散化以后，就转变为有限个小单元组成的离散结构——“有限单元”概念的由来；iiivu离散化系统中的载荷只有节点载荷（集中力），原来的分布载荷和非节点位置上的集中力都要近似等效到节点上。离散结构某节点i的载荷表示为：iiiYXQ离散化系统的位移边界条件只施加在节点上。问题的基本未知量从未知场函数（位移）转变为离散节点上的未知位移分量。平面问题离散结构中某节点i有2个位移分量，表示为：•上述包括结构、未知量、边界条件的离散化过程称为问题的离散化。这里采用了直观的、按物理观点的理解，也称为物理（模型）离散化。4.3.4边界条件离散化的原则当结构离散化后，原先连续的边界被多个单元的边界所形成的折线所代替，这时边界位移和边界外载荷等边界条件也需作相应的离散化处理，并规定如下：（1）原结构某段边界在某个方向上受到约束或可认为某个方向上的位移忽略不计，则离散此段边界后需在相关边界节点的该方向上加上一个连杆支座约束，即单向约束。（2）原结构某段边界的位移为零，则离散此段边界后需在相关边界节点上加上一个固定铰链支座约束，即双向约束。（3）所有作用在结构上的外载荷，包括集中力、面力和体力(或重力)，都要按静力等效或虚功等效的原则移到有关单元的就近节点上而成为节点等效载荷载荷离散化（1）单元分类在弹性力学平面问题中用以进行结构离散化的单元形式有许多种，这样就构成了多种单元的形式。1）从单元的几何形态来分三角形、矩形、任意四边形等；2）从单元的边界形状来分直边和曲边等；3）从单元的节点选来分顶点、边上点和形内点等。4.3.5单元划分的原则（2）单元举例（二维）其中最简单的单元是仅取顶点作节点的三节点直边三角形单元，这种单元又称为简单三角形单元。（3）单元大小的确定•由有限元误差分析可知，在收敛的前提下，应力误差与单元的尺寸成正比，位移的误差与单元的尺寸平方成正比。单元划分愈大，位移的误差愈显著。•从有限元本身来看，单元划分得越细，节点布置得越多，计算结果越精确，但随之而来的是计算量越多，计算时间越长，计算费用越高，对计算机存贮量的要求也越大，而且输入输出的数据越多，数据准备和结果整理的工作量也就越大。•大量有限元计算结果表明，当单元网格划分细密程度超过了一定的限度，不但不能提高计算结果的精度，有时反而会使精度有所下降。因为过分加密网格，会使计算量激增从而导致累积计算误差增大。•合理地布置单元的大小——对于应力和位移状态需要详细了解的重要部位，以及如结构上的凹槽、裂纹等应力和位移变化比较剧烈的部位，单元应分得细一些，网格加密一些。对于次要部位，或应力和位移变化平缓的部位，以及边界比较平滑的部位，单元可放大一些，网格可稀疏一些。但单元由小到大应逐渐过渡，相邻单元的尺寸不宜相差悬殊，否则会引起较大的计算误差。两端受弯矩的板梁离散化例子带凹槽结构的单元划分例子ABCD(a)DCAB(b)（4）单元形状的确定•根据误差分析，应力和位移的误差都和单元最小内角的正弦成反比。例sin45/sin60=1/1.22。显然，等边三角形单元的精度要好些。•但通常情况下，为了适应结构边界以及单元由大到小的逐渐过度，是不大可能使所有的单元都接近于等腰三角形，而常采用直角三角形单元，这种单元使坐标数据的准备和计算结果的整理与分析变得方便些。•对于三角形单元，三条边长应尽量接近，不应出现钝角，以免计算结果出现大的偏差。对于矩形单元，其长度与宽度越接近越好。（5）单元的过渡•在单元由大到小过渡时，必须特别注意任一单元的节点必须同时也是相邻单元的节点，而不能是相邻单元边上的内点。不正确正确(a)(b)（6）曲边的单元划分与单元的大小过渡需要指出的是：矩形单元不仅不大适合边界曲折的结构，也不便在不同的部位采用大小不同的单元，通常采有的三角形单元和矩形单元混合的方式实现单元大小的过渡。（7）结构厚度或弹性常数突变时的单元划分•当结构厚度或弹性常数发生突变时，在结构相应部位应力也有突变。•由后续单元分析的结论可知，由于通常假定三角形单元的厚度及材料常数在一个单元内均为常量，从而得出三角形单元