数字信号处理教案(第3次课)

第1章离散时间信号与系统1.2离散信号的DTFT与z变换一、离散信号的DTFT变换离散信号（数字序列）的DTFT定义数字序列的IDTFT变换定义DTFT中的级数求和不一定总是收敛的，若x(n)绝对可和，则该级数绝对收敛(充分条件)。另外,平方可和序列的DTFT也存在,要强调的是平方可和序列不一定满足绝对可和的条件值得指出：（1）由于，所以是以2π为周期的周期函数。（2）DTFT正是周期函数的付氏级数展开，而x(n)是付氏级数的系数。这一概念在以后滤波器设计中有用。DTFT的一些主要性质见表1.2。二、z变换定义利用差分方程可求离散系统的结构及瞬态解，为了分析系统的另外一些重要特性，如稳定性和频率响应等，需要研究离散时间系统的z变换（类似于模拟系统的拉氏变换），它是分析离散系统和离散信号的重要工具。一个离散序列x（n）的Z变换定义为其中z为复变量，以其实部为横坐标，虚部为纵坐标构成的平面为z平面。这种变换也称为双边z变换，与此相应还有单边z变换，单边z变换只是对单边序列（n=0部分）进行变换的z变换，其定义为单边z变换只在少数情况下与双边z变换有所区别，即序列的起始条件不同，可以把单边z变换看成是双边z变换的一种特例，即因果序列情况下的双边z变换。三、z变换的收敛域一般，序列的Z变换并不一定对任何z值都收敛，z平面上使上述级数收敛的区域称为“收敛域”。我们知道，级数一致收敛的条件是绝对值可和，因nnjjenxeX)()(deeXnxnjj)(21)()2(jjee)(jeXnjnjenxeX)()()(jeXnnznxzX)()(0)()(nnznxzXnnznxzx)()(此z平面的收敛域应满足因为对于实数序列，因此，|z|值在一定范围内才能满足绝对可和条件，这个范围一般表示为Rx-〈|z|〈Rx+这就是收敛域，一个以Rx-和Rx+为半径的两个圆所围成的环形区域，Rx-和Rx+称为收敛半径，Rx-和Rx+的大小，即收敛域的位置与具体序列有关，特殊情况为Rx-等于0，Rx+为无穷大，这时圆环变成圆或空心圆。四种常用序列的收敛域：有限序列、左边序列、右边序列、双边序列。例：z变换及收敛域的求法(1)序列x(n)=anu(n)的z变换及收敛域。当|az-1|1，即：|z||a|时，(az-1)=0，此时X(z)为：Z变换小结•Z变换收敛域的特点：1）收敛域是一个圆环，有时可向内收缩到原点，有时可向外扩展到∞，只有x（n）=δ（n）的收敛域是整个z平面。2）在收敛域内没有极点，X（z）在收敛域内每一点上都是解析函数。•Z变换表示法：级数形式解析表达式（注意:只表示收敛域上的函数，要同时注明收敛域）四、逆z变换已知函数X(z)及其收敛域，反过来求序列x(n)的变换称为逆z变换，常用Z-1[x(z)]表示。若则逆z变换为：逆z变换是一个对X（z）zn-1进行的围线积分，积分路径C是一条在X（z）收敛环域（Rx-，Rx+）以内反时针方向绕原点一周的单围线。nnznx)(nnnnznxznx)()(010)()(nnnnnazzazX1111011])(1[1])(1[)(azazazazaz111)(azzXxxnnRzRznxzX||)()(cndzzzXjnx1)(21)(),(xxRRc直接计算围线积分比较麻烦，一般不采用此法求z反变换，求解逆z变换的常用方法有：1、幂级数2、留数定律法3、部分分式法比较：首先，围线积分法、部分分式法和长除法均可以用来计算z的反变换。围线积分法虽然概念清晰，但计算复杂，所以并不常用；相比之下，部分分式法计算起来就容易许多，但前提是X(z)是一个较容易被因式分解的有理分式；长除法大多用在工程实践中，当X(z)很难被因式分解，且工程不要求反变换的结果很精确或能用解析式表示时，则通常选择长除法。常用序列z变换（可直接使用）五、Z变换的基本性质和定理1、线性(满足比例性和可加性)2、序列移位3、乘以指数序列(z域尺度变换)4、序列的线性加权(z域求导数)5、共轭序列6、反褶序列7、序列的卷积和六、DTFT与z变换部分分式展开法1、概念：一般，X(z)都是z的有理分式，可表示成：)()()(zAzBzX我们可以将X(z)展开成部分分式的形式，然后求每个部分分式的z变换。)()()()()()(21zXzXzXzAzBzXk即：)]([)]([)]([)(12111zXZzXZzXZnxk||||)(||011)(||11)(1zaazznuazzznRzzznunNNnjnjenxeX)()(njnezjenxzXeXj)()()(