数字信号处理教案(第8次课)

2.5离散时间信号的抽取与内插在传送或处理信号时，为了减少数据量，需要降低信号的采样速率(例如音频系统)。如果要把采样速率减小M倍(M是整数)，可以把原始的采样序列每隔M-1个点取一个点，形成新的采样序列，该过程称为M倍抽取，M为抽取因子，实现这一过程的器件称为M-抽取器。该式的含意是，将信号作M倍的抽取后，所得信号的频谱等于原信号的频谱先作M倍的扩展，再在轴上作的移位，幅度降为原来的后再迭加。↓M()xn()yn()xn()yn2kM1但是，如果csMff2的条件不能得到满足，那么)(jeY中将发生混迭，因此也就无法重建出)(tx。如图5.2.3（a）所示，()jXe的频谱在2的范围内仍有值，因此，即使作M＝2倍的抽取，也必然发生混迭，如图（b）所示。由于M是可变的，所以很难要求在不同的M下都能保证csMff2。为此，防止抽取后在)(jeY中出现混迭的方法是在对)(nx抽取前先作低通滤波，压缩其频带，如图（c）所示。令)(nh为一理想低通滤波器，即01)(jeH其它M2||令滤波后的输出为)(n，则kknxkhn)()()(令对)(n抽取后的序列为)(ny，则kkMnxkhMnny)()()()(kkMnhkx)()(由前面的推导不难得出：1011)()(1)(MkkMMkMMWzHWzXMzY及10)2()2()()(1)(MkMkjMkjjeHeXMeY在一个多抽样率系统中，不同位置处的信号往往工作在不同的抽样频率下，因此，标注该信号频率的变量“”也就具有不同的含义。例如，若令相对)(jeY的圆周频率为y，相对对()jXe的圆周频率为x，则y和x有如下关系：22()2yyssxffffMMffM若要求y，则必须有xM，这正是对()jHe频带所提要求的原因。同时使用y和x两个变量固然能指出抽取前后信号频率的内涵，但使用起来非常不方便。故在本书中，除非特别说明，在抽取前后及下一节要讨论的插值前后，信号的圆周频率统一用表示之。只要搞清了抽取和插值前后的频率关系，一般是不会混淆的。5.3信号的插值如果希望将)(nx的抽样频率sf增加L倍，即变成sLf，那么，最简单的方法是将)(nx每两个点之间补L-1个零。设补零后的信号为)(n，则0)()(Lnxn其它,2,,0LLn现在来分析)(nx、)(n各自DTFT之间的关系。由于nnnjnjeLnxeneVj)()()(kkLjekx)(即)()(LjjeXeV同理)()(LzXzV式中，)(jeV和)(jeX都是周期的，)(jeX的周期是2，但)(LjeX的周期是L2。这样，)(jeV的周期也是L2。含意是：在~的范围内，)(jeX的带宽被压缩了L倍，因此，)(jeV在~内包含了L个)(jeX的压缩样本。插值以后，在原来的一个周期（~）内，)(jeV出现了L个周期，多余的L-1个周期称为)(jeX的映像，我们应当设法去除这些映像。实际上，用塞进零的方法实现插值是毫无意义的，因为补零不可能增加信息。自然，我们需要用)(nx中的点对这些为零的点作出插值。实现插值的方法是用)(n和一低通滤波器作卷积。为此，令0)(ceHj其它L||(5.3.4)式中c为常数，是一定标因子。令)(n通过)(nh后的输出为)(ny，。这样，滤波器的作用即是去除了)(jeV中多余的映像，另一方面，也实现了对)(n中零值点的插值。因为)()()(jjjecXeHeY||L及deYyj)(21)0(所以LLjLdeXcy)(2)0()0()(2xLcdeXLcj这样，若取Lc，则可保证)0()0(xy。kknhknhnny)()()(*)()(kknhLkx)()(即kkLnhkxny)()()(5.4抽取与插值相结合的抽样率转换对给定的信号)(nx，若希望将抽样率转变为ML/倍，可以按以上两节讨论的方法，先将)(nx作M倍的抽取，再作L倍的插值来实现，或是先作L倍的插值，再作M倍的抽取。一般来说，抽取使)(nx的数据点减少，会产生信息的丢失，因此，合理的方法是先对信号作插值，然后再抽取。图中插值和抽取工作在级联状态。滤波器)(1nh，)(2nh所处理的信号的抽样率都是sLf，因此可以将它们合起来变成一个滤波器。令0)(LeHj其它),min(||0ML则该滤波器既去除了插值后的映像又防止了抽取后的混迭。现在分析一下各部分信号的关系。由上两节的讨论可知，有0)()(Lnxn其它LLn2,,0及)()(Mnuny~n因为)(*)()(nhnnukkknh)()(正是单独抽取和单独插值时域关系的结合()()()kunhnkxkL()()khnLkxk()()()kynxkhMnLk