数字信号处理知识点整理Chapter2

第二章维纳滤波和卡尔曼滤波2.1引言只考虑加性噪声影响，即观测数据xn是信号sn和噪声vn之和，即xnsnvn不含噪声的信号sn称为期望信号，乃滤波之目的，亦可用dyn表示。系统实际输出ˆynsn是对期望信号的估计。维纳滤波从信号估计的角度讲：估计过去的信号值snN叫做平滑；估计当前的信号值sn叫做滤波；估计将来的信号值snN叫做预测。这些估计都采用相同的准则：误差均方值最小,2nEe。2.2维纳滤波器的时域解（费时费力，更多考虑用Z域解）设计维纳滤波器实际就是选择系统函数h(n)，使得输出信号x(n)与期望信号d(n)的误差均方值最小。考虑线性时不变系统，设单位脉冲响应012,,,hnanjbnn2.2.1时域求解根据系统输出*ynxnhn和均方误差函数22EenEdnyn令2Een关于hj的导数为0，即20012,,,,jEenjh可以推得0*Exnjen结论：正交性原理．．．．．——均方误差值达到最小的充要条件是误差信号．．．．．．．．．．．．．．．．．．．e．(．n．)．与任意输入的待估计信号．．．．．．．．．．．x．(．n．)．正交．．。2.2.2维纳-霍夫方程由上一式子展开可以得到维纳．．——．．霍夫方程．．．．的形式：0012*,,,xdxxxxmrkhmrkmhkrkk维纳——霍夫方程表明，输入信号x(n)（待处理信号）与期望信号d(n)的互相关函数等于系统函数（维纳滤波器的时域解）与输入信号的互相关函数rxx(n)卷积。若．h．(．n．)．为有限长．．．．M．的因果序列，对．．．．．．．k=．．0,1,．．．．…．,．M．-．1．可以得到．．．．M．个方程的方程组，写成．．．．．．．．．．矩阵形式．．．．为．：1xdxxxxxdRRhhRR时域求解维纳滤波器不是一个有效的方法，做了解。最小均方误差：22*minTdxdoptEenRh2d为期望信号方差。2.3离散维纳滤波器的z域解2.3.1由时域解得z域解离散维纳滤波的z域解形式可以由时域解经z变换得到。*xsxdxxrkrkhkrk若信号与噪声不相关，则,xsssxxssvvSzSzSzSzSz对时域解进行z变换，可以得到z．域解．．xsssoptxxssvvSzSzHzSzSzSz2.3.2从另一角度分析下面将从另一个角度．．．．．得到z域解：考虑信号x(n)及其信号模型B(z)，其模型逆系统B-1(z)。将信号x(n)作为逆系统B-1(z)的输入，则输出为白噪声w(n)，这一过程叫做白化。将白噪声w(n)作为另一滤波器的输入，得到维纳滤波器的输出信号ˆsn，即为信号s(n)的估计值。由图可知维纳滤波器的传输函数为GzHzBz利用均方误差最小可以得到非因果．．．维纳滤波器的最佳解21optwsoptwGzSzHzBzBz由*snsnn和*xnwnbn，根据相关卷积定理得1xswsSzSzBz可得最佳解2111xsxsoptxxwSzSzHzBzSzBz仍然假设信号与噪声无关，同样可以得到z．域解．．ssoptssvvSzHzSzSz由最佳解可以推得最小均方误差2220minwssskwrkEenr2.3.3因果系统求解对于实际系统，都是因果系统，即00,gnn相应的最佳解变为2111xsoptwSzHzBzBz最小均方误差值22201012minwssskwssoptxsCrkEenrdzSzHzSzjz因此可得最佳维纳滤波器的设计步骤．．．．．．．．．．．．为：（1）先根据观测信号xn利用理谱分解的方法得到相应的信号模型Bz和白噪声方差2w；（2）求1xsSzBz的表达式，进而求其Z逆变换，再通过其逆变换求单边Z变换得到1xsSzBz。2.4维纳预测维纳预测是根据以前时刻的．．．．．．．．．．．．p个数据．．．12,,,xnxnxnp，估计当前时刻．．．．．．．的．xn或者未来．．．．nN时刻的信号值，即估计信号．．．．．．．．．．．．0,ˆsnNN，同样满足均方误差值最小．．．．．．．．．．．．的原则。．．．．2.4.1维纳预测的计算维纳预测和维纳滤波很相似。在维纳滤波中期望的输出信号dynsn，实际输出则为ˆynsn；在维纳预测中期望的输出信号dynsnN，实际输出则为ˆynsnN。利用均方误差最小原则可以得到维纳预测．．．．的最佳解．．．．dNxyxsoptxxxxSzzSzHzSzSz相应的最小均方误差2112minNssoptxsCdzEenNSzHzSzzjz如果为因果系统，最佳解为．．．．．．．．．2111NxsoptwzSzHzBzBz2.4.2纯预测输入信号．．．．xn不存在噪声．．．．．，期望信号．．．．．0,snNN的情况称为．．．．．纯预测．．．。此时有21ssxsxxwSzSzSzBzBz由此可得纯预测．．．的．最佳解．．．21111NxsNoptwzSzHzzBzBzBzBz最小均方误差22112minNNwCdzEenNBzBzBzzzBzjz考虑到是因果系统，最小均方误差12220minNwnEenNbn结论：N越大，2minEenN也随之增大，即预测距离越远，预测效果越差。2.4.3一步线性预测及其时域解已知．．12,,,xnxnxnp，预测当前值．．．．．．xn，仍不考虑噪声．．．．．．．vn，这．．样的预测称为．．．．．．一步线性预测．．．．．．。根据线性系统原理，预测输出是输入信号的线性组合，其系数为系统响应，即卷积。预测方法为Yule．．．．-．Walker．．．．．．方程．．210111010100minxxxxxxpxxxxxxppxxxxxxrrrpEenarrrparprpr由除去第一个方程外的1p个方程可以确定12,,,,pkakp，再将pka代入到第一个方程可以求得最小均方误差2minEen。由．Yule．．．．-．Walker．．．．．．方程可以知道．．．．．．，只需知道输入信号的．．．．．．．．．1p各．自相关函数．．．．．即可确定一步线性预测器．．．．．．．．．．．的系数及其最小均方误差．．．．．．．．．．．。2.5卡尔曼滤波2.5.1状态方程和测量方程卡尔曼滤波使用状态空间法描述系统的，由状态方程．．．．和测量方程．．．．组成。卡尔曼滤波器的状态方程和测量方程：1kkkkkkkkkkxAxBwyCxDv通常情况下,kkBD都为1，因此方程变为：1kkkkkkkkxAxwyCxv改写一下：111kkkkkkkkxAxwyCxv2.5.2卡尔曼递推公式卡尔曼滤波器递推公式．．．．．．．．．．：11111''''ˆˆˆkkkkkkkkTTkkkkkkkTkkkkkkkkkxAxHyCAxHPCCPCRPAPAQPIHCP各变量的含义：,kkAC是状态方程和测量方程的系数，,kkQR分别是零均值高斯白噪声,kkwv的方差，kP是校正后状态变量的估计误差的均方值，kP'为未经校正后状态变量的估计误差均方值，kH为增益矩阵，实质上是一个加权矩阵。当给定初始条件11,,,,,,ˆkkkkkkkACQRyxP后，可以通过递推推得下一时刻的相关取值。递推初始条件．．．．．．0000,varˆxExPx。通常给定xn的自相关函数xxrm或频谱xxPz，需要先通过谱分解得到信号模型Bz以及白噪声的方差2w，然后由1zBz写出差分方程，该差分方程即为状态方程，也就得到了方程中相应的参数。（1kkkkkxAxBw）2.6本章总结什么是维纳滤波？什么是卡尔曼滤波？二者有何异同？维纳滤波的求解；卡尔曼滤波的求解。