数字信号处理离散时间信号与系统

第一章离散时间信号与系统第一节离散时间信号——序列离散时间信号：只有在离散的时间点有确定的值。它通常都是通过对连续信号采样而得到的。时间为离散变量，而幅值仍然是连续变化的，即只在离散时间上给出函数值。离散的时间间隔是均匀的，以T表示，通常用x(nT)表示此离散时间信号在nT点上的值。x(nT)通常用x(n)表示，只在n为整数时才有意义，n不是整数时没有意义。一、序列的运算1.序列的移位设某一序列为x(n)，当m为正时，则x(n-m)是指原序列x(n)逐项依次延时（右移）m位而得到的新序列；而x(n＋m)则指原序列x(n)逐项依次超前（左移）m位。2.序列的翻褶如果序列为x(n),则x(-n)是以n=0的纵轴为对称轴将序列x(n)加以翻褶。3.序列的和11(),1()220,1nnxnn2,0()1,0nnynnn2,13()(),1211()1,022nnnxnynnnn4.序列的积(调制)两序列相乘，是指同序号的序列值逐项对应相乘，表示为0,11()(),1211(1)(),022nnxnynnnn5.序列的累加设某序列为x(n),则x(n)的累加序列y(n)定义为()()nkynxk表示y(n)在某一个n0上的值等于x(n0)值以及n0以前的所有n值上的x(n)值之和。【举例】11(),1()220,1nnxnn111(),1()()220,1nnnkknynxkn6.序列的差分运算7.序列的卷积和对离散系统“卷积和”，是求离散移不变系统的输出响应的主要方法。二、几种常用的序列（Kronecker函数）如何表达knknknnnn01][0001][kknnp][][kknkxnx][][][0][][][][]1[][][knkknnuknununun10][][][][0101][NkNNknNnununROtherNnnR单边双边][][nuanxnnanx][njnenAnxnAnxnj0000sincoscos][sin][0复正弦（复指数）余弦序列正弦序列三、序列的周期性如果对于所有的n存在一个最小的正整数N，满足:()()xnxnN则称序列x(n)是周期性序列，周期为N。四、用单位抽样序列来表示任意序列任意序列可表示为单位抽样序列的移位加权和,即任意序列与单位抽样序列作卷积运算仍得到原序列：【教材19页例1-8】(),()(){0,xnmnxmnmm其它()()()()()mxnxmnmxnn第二节线性移不变系统一、线性系统满足叠加原理的系统称为线性系统：即满足可加性和比例性。1、可加性设y1(n)=T[x1(n)]，y2(n)=T[x2(n)]则有y1(n)＋y2(n)=T[x1(n)]＋T[x2(n)]＝T[x1(n)+x2(n)]二、比例性（齐次性）a1y1(n)=a1T[x1(n)]=T[a1x1(n)]a2y2(n)=a2T[x2(n)]=T[a2x2(n)]综合可加性和比例性，叠加原理可表示为：a1y1(n)＋a2y2(n)=a1T[x1(n)]＋a2T[x2(n)]＝T[a1x1(n)＋a2x2(n)]判断下系统是否为线性系统：2()()sin()97ynxnn二、移不变系统若系统响应与激励加于系统的时刻无关，即输入输出的运算关系不随时间而变化，则称移不变系统（或时不变系统），可表示为：若T[x(n)]＝y(n)则T[x(n-m)]=y(n-m)其中m为任意整数。即输入移动任意位，其输出也移动这么多位，而幅值却保持不变。同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为线性移不变系统（linearshiftinvariant,LSI)离散时间系统，简称LSI系统。三、单位抽样响应和卷积和单位抽样响应（也称单位脉冲响应、单位冲激响应）是指输入为单位冲激序列时系统的输出。即已知h(n)后，可得到此线性移不变系统对任意输入的输出。()[()]hnTn()()*()()()mxnxnnxmnm()[()()]()[()]()()()*()mmmynTxmnmxmTnmxmhnmxnhnh(n)x(n)y(n)=x(n)*h(n)线性移不变系统四、线性移不变系统的性质已知两线性移不变系统级联，其单位抽样响应分别为h1(n)=δ(n)-δ(n-4);h2(n)=anu(n),|a|1,当输入x(n)=u(n)时，求输出。解：w(n)=x(n)*h1(n)=∑x(m)h1(n-m)=∑u(m)h1(n-m)=∑u(m)[δ(n-m)-δ(n-m-4)]=u(n)-u(n-4)=δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)+δ(n-3)y(n)=w(n)*h2(n)=[δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)+δ(n-3)]*h2(n)=h2(n)+h2(n-1)+h2(n-2)+h2(n-3)=anu(n)+an-1u(n-1)+an-2u(n-2)+an-3u(n-3)[举例]五、因果系统因果系统是指某时刻的输出只取决于此时刻和此时刻以前时刻的输入的系统，即n=n0的输出y(n0)只取决于n≤n0的输入x(n)|n≤n0线性移不变系统是因果系统的充分必要条件：h(n)=0,n0*实际系统一般是因果系统；*对图象、已记录数据处理以及平均处理的系统不是因果系统；*y(n)=x(-n)是非因果系统;*y(n)=x(n)sin(n+2)是因果系统.六、稳定系统稳定系统是指有界输入产生有界输出（BIBO）的系统。即：若|x(n)|≤M∞则|y(n)|≤P∞一个线性移不变系统是稳定系统的充分且必要条件是结论：因果稳定的线性移不变系统的单位抽样响应是因果的且是绝对可和的。()nhnp举例第三节线性常系数差分方程一.表示法与解法二.用迭代法求解差分方程三.系统结构常系数线性差分方程离散变量n的函数x(n)及其位移函数x(n-m)线性叠加而构成的方程.一.表示法与解法1.表示法NkMmmkmnxbknya00)()(离散时间线性移不变系统(n)y(n)x*常系数：a0,a1,…,aN;b0,b1,…,bM均是常数（不含n）.*阶数：y(n)变量n的最大序号与最小序号之差，如N=N-0.*线性：y(n-k),x(n-m)各项只有一次幂,不含它们的乘积项。2.解法时域：迭代法，卷积和法;变换域：Z变换法.NkMmmkmnxbknya00)()(二.用迭代法求解差分方程1.“松弛”系统的输出起始状态为零的系统，这种系统用的较多，其输出就是因此，已知h(n)就可求出y(n)，所以必须知道h(n)的求法.)()()(nhnxny2.迭代法（以求h(n)为例）例:已知常系数线性差分方程为y(n)-ay(n-1)=x(n)，试求单位抽样响应h(n).解：因果系统有h(n)=0,n0;方程可写作:y(n)=ay(n-1)+x(n)nnaannahnhaaahhaaahhahhnnahnhnhnynnxnxnayny0)()1()(0)2()1()2(01)1()0()1(110)0()1()0(),()1()(),()(),()(),()1()(22因此故当0,00,)(nnanhn是稳定系统1a1.一个常系数线性差分方程并不一定代表因果系统，也不一定表示线性移不变系统。这些都由边界条件（初始）所决定。2.我们讨论的系统都假定：常系数线性差分方程就代表线性移不变系统，且多数代表因果系统。注意：三.系统结构1.指系统的输入与输出的运算关系的表述方法。2.差分方程可直接得到系统结构。例：y(n)=b0x(n)-a1y(n-1)用⊕表示相加器；用表示乘法器；用表示一位延时单元。1Z例：差分方程y(n)=b0x(n)-a1y(n-1)表示的系统结构为：第四节连续时间信号的抽样一.抽样器Tfs1)(txa)(ˆtxa连续时间信号抽样信号二.实际抽样与理想抽样研究的问题：抽样后信号频谱有什么变化？什么条件下可以从抽样数据信号中不失真地恢复出原来信号？1.理想抽样Xa(j)o－ss2sS(j)－sos2s－sos2s)j(ˆaX)j(ˆaX(a)(b)(c)(d)－sos2s………………2T2T时域采样后，频谱的周期延拓（a）原始限带信号频谱;（b）采样函数频谱;（c）已采样信号频谱（Ωs2Ωh）;（d）已采样信号频谱（Ωs2Ωh）2shff时：22shshff即或者2shff时抽样的恢复*低通滤波器的冲激响应h(t)T0)(jH2s2s2,02,TjH*低通滤波器(filter)的输出maamamamaaamTtTSmTxmTthmTxdmTthxdthmTxdthxtxˆ)(输出=原信号抽样点的值与内插函数乘积和。3.内插函数的特性：在抽样点mT上，其值为1;其余抽样点上，其值为0。mTtTSa(m-2)T(m-1)TmT(m+1)T(m+2)TmTtTSa1（1）在抽样点上，信号值不变；（2）抽样点之间的信号则由各抽样函数波形的延伸叠加而成。的两点说明：maaamTtTSmTxtx)(2.实际抽样本章小结离散时间信号——序列几种常用序列单位抽样序列单位阶跃序列矩形序列实指数序列复指数序列正弦型序列序列的运算移位、翻褶、序列和、序列相乘、累加、卷积和线性移不变系统线性系统（齐次性、可加性）移不变系统单位抽样响应与卷积和线性移不变系统性质交换律、结合律、分配律因果系统【h(n)=0,n0】稳定系统本章小结y(n)=x(n)*h(n)()nhnp本章小结常系数线性差分方程方程的表示用迭代法求解差分方程系统结构（系统框图）连续时间信号的抽样理想抽样的抽样定理信号的重建（抽样的恢复）实际抽样