数字信号处理第4章.

1第4章连续时间系统的时域分析4.2线性时不变系统及其分析方法概述4.1系统模型及其分类4.3线性时不变系统响应的经典求解4.4零输入响应与零状态响应4.5冲激响应与阶跃响应4.6系统的卷积积分分析4.7用MATLAB对连续时间系统的时域分析24.1系统模型及其分类本章讨论线性时不变系统的时域分析方法，所谓时域分析法是指对系统的分析求解都在时域进行，不涉及任何变换域。时域的求解方法：经典求解法，零输入响应、零状态响应求解法，卷积积分分析法。对于物理系统的分析方法：物理系统数学模型数学分析、求解物理系统第4章连续时间系统的时域分析34.1系统模型及其分类1、数学模型------是系统基本特性的数学抽象，它是以数学表达式来表征系统的特性的。Cd()()dvtitCt2CCC2d()d()()()ddvtvtLCRCvtxttt一阶微分方程二阶微分方程44.1系统模型及其分类Ri(t)L+-vL(t)Ri(t)Lr+-vL(t)()()()LLditditvtLLdtdt)()()(tridttdiLtvL对于同一物理系统，在不同条件之下，可以得到不同形式的数学模型。数学模型是有条件的，从以下三方面可说明：54.1系统模型及其分类对于不同的物理系统，可能有相同形式的数学模型。()dvtFmamdt()()LditvtLdtmLF)(tvL)(tv)(timv(t)F64.1系统模型及其分类+-x(t)CLRi(t)该系统可建立如下两种数学模型：（2）-----------状态方程（两个一阶微分方程组）（1）-----------输入输出方程（一个二阶微分方程）对于同一物理系统，而且在相同的工作条件之下，数学模型也不唯一。74.1系统模型及其分类2．系统的分类2）线性系统---------线性微分（差分）方程非线性系统----------非线性微分（差分）方程3）时变系统----------变系数微分（差分）方程时不变系统-----------常系数微分（差分）方程4）集总参数系统-----------常微分方程分布参数系统-----------偏微分方程1）连续时间系统-----------微分方程离散时间系统-----------差分方程84.1系统模型及其分类5）因果系统与非因果系统本课程研究的是：线性、时不变、集总参数的连续时间系统-----------常系数线性微分方程线性、时不变、集总参数的离散时间系统-----------常系数线性差分方程如果时系统的激励信号等于零，系统的响应信号在也等于零，这样的系统称为因果系统。0tt0tt因果信号：将时接入系统的信号（即在为零的信号）称为因果信号。0t³0t94.2线性时不变系统及其分析方法概述4.2.1线性时不变系统的基本特性叠加性（superpositionproperty）与均匀性（homogeneity）(1)叠加性若：1122()(),()()xtytxtyt则：1212()()()()xtxtytyt系统系统系统1、线性特性：同时满足叠加性与均匀性104.2线性时不变系统及其分析方法概述系统系统系统系统(2)均匀性(齐次性))()(tytx则：()()kxtkyt®若：将叠加性与均匀性结合起来，则为线性特性：若：)()(),()(2211tytxtytx则：)()()()(22112211tyktyktxktxk系统114.2线性时不变系统及其分析方法概述tETtx(t)系统Ey(t)ET+t0tx(t-t0)t0系统Ety(t-t0)t02.时不变特性)()(tytx则：)()(00ttyttx若：124.2线性时不变系统及其分析方法概述例4.2-1判断下列系统是线性的还是非线性的，是时不变的还是时变的。(2)()()dtytx(1)()()ytxt11221122T[()()]()()kxtkxtkxtkxt解:(1)设两输入信号分别为与1()xt2()xt，输出信号分别为111()T[()]()ytxtxt222()T[()]()ytxtxt11221122T[()()]T[()]T[()]kxtkxtkxtkxt故所以该系统是线性系统。11221122T[()]T[()]()()kxtkxtkxtkxt而134.2线性时不变系统及其分析方法概述000()T[()]()txtttxtyt()()ytxt又因为00()[()]ttttyx而所以该系统是时变系统。因此，综合上述两点，该系统为线性时变系统。144.2线性时不变系统及其分析方法概述11221122T[()()][()()]dtkxtkxtkxkx1122()d()dttkxkx1122()()d,()()dttytxytx（2）按题意有1122T[()]T[()]kxtkxt1122()d()dttkxkx而11221122T[()()]T[()]T[()]kxtkxtkxtkxt即满足所以该系统是线性系统。154.2线性时不变系统及其分析方法概述0000T[()]()d()d()ttttxttxuuxytt()()dtytx00()()dttyttx又因为00T[()]()dtxttxt而0ut做变量置换，令，则有综合上述两点，该系统为线性时不变系统。所以该系统是时不变系统。16系统dttdx)(dttdy)(4.2线性时不变系统及其分析方法概述系统x(t)y(t)系统tdx0)(tdy0)(3.微分与积分特性设系统的起始状态为零)()(tytx若：则：,)()(dttdydttdxttdydx00)()(0()()d()limdtxtxttxttt0()()d()limdtytyttyttt由于174.2线性时不变系统及其分析方法概述4.2.2线性时不变系统分析方法概述输入、输出分析法：一个n阶微（差）分方程，适用于单输入、单输出系统状态变量分析法：n个一阶微（差）分方程组成的方程组（状态方程）和输出方程，适合于多输入、多输出系统从系统的数学描述方法来分：从系统数学模型求解方法来分：{时域分析法：不经过任何变换，在时域中直接求解响应变换域分析法：将信号和系统模型的时间函数变换成相应某变换域的函数，如傅里叶变换、拉普拉斯变换、z变换等线性时不变系统的研究：将信号分解为基本单元，以叠加性、均匀性和时不变为分析一切问题的基准。184.3线性时不变系统响应的经典求解（1）元件特性约束：即表征元件特性的关系式，如电容、电感、电阻各自电压与电流的关系等；对于较复杂的连续时间系统，只要依据电网络的以下两个约束特性，就可列出微分方程。（2）网络拓扑约束：由网络结构决定的电压、电流约束关系，如基尔霍夫电压定律（KVL）和基尔霍夫电流定律（KCL）等。L)(tvL)(tiLdttdiLtvLL)()()(tiRR)()(tRitvRR)(tvR)(tiC)(tvCtCCdiCtv)(1)(C4.3.1线性时不变系统的数学模型及建立194.3线性时不变系统响应的经典求解例4.3-1：如下图所示互感耦合电路，x(t)为电压源激励信号，试列写求电流i2(t)的微分方程式。解：对于初、次级回路分别应用KVL，可以得到一对微分方程式i1(t)i2(t)RRLL+-x(t)M121()()()()ditditLRitMxtdtdt212()()()0ditditLRitMdtdt204.3线性时不变系统响应的经典求解22222222()()()()2()ditditdxtLMRLRitMdtdtdt将式（4）、（5）代入式（3）并整理得：对式（1）两边求导得：2211222()()()()ditditditdxtLRMdtdtdtdt(3)由式（2）得：122()()()ditditLRitdtMdtM(4)对式（4）两边求导得：2212222()()()ditditditLRMMdtdtdt(5)121()()()()ditditLRitMxtdtdt212()()()0ditditLRitMdtdt(1)(2)214.3线性时不变系统响应的经典求解将其推广到一般情况，对于一个线性时不变连续时间系统，其激励信号与响应信号()xt()yt之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述11101d()d()d()()dddnnnnnnytytytaaaaytttt11101d()d()d()()dddmmmmmmxtxtxtbbbbxtttt(4.3-1),ijab均为常数。式中，系数式(4.3-1)为一个常系数n阶线性常微分方程。224.3线性时不变系统响应的经典求解4.3.2微分方程的经典求解hp()()()ytytyt(4.3-2)h()ytp()yt根据常系数线性微分方程的求解方法可知，式(4.3-1)的微分方程的解由齐次解（hom-ogeneoussolution）和特解两部分组成。即(particularsolution)齐次解应满足0)()(...)()(01111tyadttdyadttydadttydannnnnn特征方程为0...0111aaaannnn234.3线性时不变系统响应的经典求解（1）特征根为单根，微分方程的齐次解为1212()...nttthnytAeAeAe这里12,,,nAAA是由初始条件决定的系数。j（2）特征根为共轭复数时，则所对应的齐次解为(j)(j)12eettAAe[cossin]tAtBt，且可以化解为112121(...)tkkkkAtAtAtAe（3）特征根有重根，假设是特征方程的k重根，那么，在齐次解中，相应于的部分将有k项244.3线性时不变系统响应的经典求解例4.3-4：求下列微分方程的齐次解。3232()()()71612()()dytdytdytytxtdtdtdt解：特征方程为012167230)3()2(2特征根221（重根）33齐次解223123()ttthytAteAeAe254.3线性时不变系统响应的经典求解由此可见，齐次解的形式仅取决于特征方程根的性质，而与激励信号无关，所以齐次解有时称为固有解（naturalsolution）（或称自由解）。当然齐次解的系数微分方程的特解是由输入信号产生的，所以也叫做强迫解（forcedsolution）。特解的形式与激励信号的形式有关。将激励信号代入微分方程式的右端，代入后右端的函数式称为自由项。通常，由观察自由项试选特解函数式，代入原方程后求得特解函数式中的待定系数，即可求出特解。12,,,nAAA与激励信号有关。264.3线性时不变系统响应的经典求解自由项特解pt0111...BtBtBtBpppptetBe0cost0sint1020cossinBtBtE(常数)B(常数)几种典型激励信号对应的特解函数形式274.3线性时不变系统响应的经典求解解:（1）列写微分方程式为节点1：节点2：dttdvCRtvtvRtvtvdttdvCRtvtx)()()()()()()()(222212211111例4.3-6：如下图所示电路，已知激励信号x(t)=cos2tu(t),两个电容上的初始电压均为零，求输出信号v2(t)的表达式。+-x(t)v1(t)+-C10.5FR11R21+-C2F31+-v2(t)12284.