数字信号处理第二章

第二章离散系统的频域分析与系统结构学习重点掌握Z变换的定义，性质，反变换的求法。掌握常用的Z变换并理解收敛域的含义。掌握序列傅里叶变换(FT)的定义和性质。掌握离散系统的变换域分析方法。理解Z变换与傅里叶变换的关系。理解系统函数和频率响应的定义和关系。掌握系统特性与系统函数的关系。掌握IIR和FIR系统结构流图的画法。2.1引言离散系统的分析方法通常分为时域分析和变换域分析两大类。其中，时域分析法一般是采用直接解差分方程或者利用线性卷积的方法来求系统的响应，该部分内容在本书前文有所交代，此处不再赘述，本章将重点讲述离散系统的变换域分析方法，这是另一种很常见的系统分析方法，在实际中有很广泛的应用。变换分析方法通常又分为频域分析和Z域分析法。本章前半部分我们将着重学习序列傅里叶变换和Z变换的相关内容，以及基于Z变换的离散系统Z域分析法。Z变换作为序列傅里叶变换的推广，在系统分析中占据着重要地位，这是因为在系统分析中引入Z变换和Z域分析后，可以把离散系统的差分方程转换为代数方程，使求解过程大大简化。另一方面，作为单位脉冲响应的Z变换，系统函数的零极点在Z平面的分布也完整的刻画了系统的稳定性和因果性。因此，序列傅里叶变换，Z变换及其性质是本章的核心内容，是变换域分析的重要数学手段，读者应熟练理解和掌握。本章后半部分将重点介绍如何根据系统的差分方程和系统函数，画出离散系统的多种结构流图。尽管同样的一个系统可以用不同的结构流图去实现，但不同的系统结构图代表着不同的系统算法，不同的算法直接影响系统的运算速度，误差和系统的复杂程度，因此研究实现信号处理的算法和结构是信号分析中一个重要问题。这一部分我们将介绍不同的系统流图结构，分析各自的优缺点，从而为离散系统的具体物理实现提供了依据和方法。2.2序列Z变换的定义和收敛域1.Z变换定义：Z变换（简称为ZT）是一种常用的数学变换,根据求和下限的不同取值，又分为双边和单边两种，其中序列的双边Z变换定义如下：设()xn为任意序列，则（2-2-1）称为序列()xn的双边Z变换。此处z为复数变量，可表示如下：由于实际信号通常为单边序列（有始序列），即自变量0n时，序列的值为零，因此又可以定义序列的单边Z变换为：（2-2-2）显然，若x(n)为因果序列时，双边ZT和单边ZT的结果相同，若无特别说明，本书中的Z变换通常指双边Z变换。要点：双边和单边的Z变换的区别在于定义式中的求和下限不同2.收敛域由上述定义可知，Z变换()Xz是无穷级数，为保证该无穷级数收敛，或者说Z变换存在，则需限定复数变量z的取值范围，这里我们可以把使Z变换()Xz收敛的所有的z值集合称作()Xz的收敛域，通常简记为ROC(regionofconvergence)。下面以例题的形式给出收敛域的含义和求法。【例2-1】求序列的Z变换及收敛域。解：该序列为实指数序列，且为因果序列，由Z变换的定义式得nnznxnxZTzX)()]([)(jsezezsTTj,0)()]([)(nnznxnxZTzX)()(nuanxnnnnnnnnnnazazazazzaznuazX)()(1)()()(1211010()(1)nxnaun显然该式为等比级数，为求其结果，我们需要考虑z的取值范围。只有当11az时，即时，上式为递缩级数，此时即当复数变量z取z平面上以原点为圆心，半径为a的圆以外的区域时，该级数才是收敛的，其结果为111az，而当z取该范围以外的所有值时，级数是发散的。因此收敛域为，在复平面上表示为下图：图2-1()()nxnaun收敛域【例2-2】求反因果序列的Z变换及其收敛域。解：若使上式收敛，则要求11az，即收敛域为，此时：即收敛域应为，在复平面上表示为下图：│a│ojIm[z]Re[z]za101()()1nnnnnnXzaunzazazza1111()(1)()nnnnnnnnnnnXzaunzazazazza1111()11azXzazazza图2-2()(1)nxnaun收敛域3.收敛域与序列特性的关系序列在时域的不同分布情况决定了其Z变换的收敛域在复频域（z域）不同分布情况，现举例分析并总结如下：1.有限长序列：【例2-3】求矩形序列()NRn的Z变换及其收敛域。解：由结果的分母可以看出似乎1z是()Xz的极点，但同时分子多项式在Z=1时也有一个零点，极零点对消，因此收敛域为0z，即除原点外的整个Z平面。2.右边序列：由例2-1的结论可知，一般右边序列的收敛域为XRZ,即复平面上半径为XR的圆的外侧区域，XR称为收敛半径。3.左边序列：│a│ojIm[z]Re[z]12(),()0,xnnnnxnn其他1101()()01NNnnNnnzXzRnzzzz11(),()0,xnnnxnnn22(),()0,xnnnxnnn要点：1.不同的序列可能具有相同的Z变换，但要注意其收敛域是不同的2.收敛域内不会存在极点3.收敛域通常是以极点为边界的环形区域由例2-2结论可知，一般左边序列的收敛域为XZR,即复平面上半径为XR的圆的内部。4.双边序列：一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列之和，其Z变换为因此双边序列的收敛域应为两部分收敛域的交集，即【例2-4】已知()nxnb，01b，求x(n)的Z变换及其收敛域。解：左边序列(1)nbun的Z变换收敛域为1zb，而右边序列()nbun的Z变换收敛zb显然双边序列()nxnb由上述两序列相加得到，其收敛域必为左边序列和右边序列Z变换收敛域的交集，即收敛域为1bzb，如图2-3所示。10()()()()nnnnnnXzxnzxnzxnzxxRzR1010211()1111(1)(1)nnnnnnnnnnnnnnnXzbzbzbzbzbzbzbbzbzbzbz要点：有限长序列z变换收敛域为整个z平面。右边序列z变换收敛域为z平面以原点为圆心的某圆的外侧。左边序列z变换收敛域为z平面以原点为圆心的某圆的内侧。双边序列z变换收敛域为z平面以原点为圆心的某圆环内。图2-3()nxnb的收敛域5.常见序列的Z变换【例2-5】求单位序列()n及其移位序列(8)n和(5)n的Z变换和收敛域。解：由以上可知，无论z取何值，单位序列()n的Z变换恒为常数1，因此其收敛域为整个Z平面（包含原点和无穷远点）。但()n经过向右位移以后，例如本例的(8)n，其Z变换为8z，显然收敛域不能包含原点，因此其收敛域应为除原点外的整个Z平面（包含无穷远点）。而()n经过向左位移以后，例如本例的(5)n，其Z变换为5z，显然收敛域不能包含无穷远点，因此其收敛域应为除无穷远点外的整个Z平面（包含原点）。【例2-6】求单位阶跃序列()un的Z变换和收敛域。解：根据例2-1的结论，令1a,则得到()un的Z变换为Re[z]jIm[z]bo1/b0[()]()1nnZTnnzz8[(8)](8)nnZTnnzz5[(5)](5)nnZTnnzz收敛域为，即Z平面上单位圆的外部区域（不包含单位圆）。图2-4()()xnun收敛域这里将一些常见序列的Z变换和收敛域以表格的形式给出，以便读者查阅使用。表2-1常见序列的Z变换和收敛域序列Z变换收敛域()n1整个Z平面()nm，0mmz0z()nm,0mmz0z()un1111zzz1z()naun111zazzaza()NRn111Nzz0z(1)un1111zzz1z(1)naun111zazzaza1ojIm[z]Re[z]101()()1nnnnXzunzzz1z()nnaun1122(1)()azazazzaza2.3Z变换的基本性质和定理1.线性设X(Z)=ZT［x(n)］,Rx-|Z|Rx+Y(Z)=ZT［y(n)］,Ry-|Z|Ry+则M(Z)=ZT［m(n)］=aX(Z)+bY(Z),Rm-|Z|Rm+Rm+=max［Rx+,Ry+］Rm-=max［Rx,Ry-］2.序列的移位设X(Z)=ZT［x(n)］,Rx-|Z|Rx+则ZT［x(n-n0)］=Z-n0X(Z),Rx-|Z|Rx+3.序列乘以指数序列（Z域尺度变换）设X(Z)=ZT［x(n)］,Rx-|Z|Rx+y(n)=anx(n),a为常数则Y(Z)=ZT［anx(n)］=X(a-1Z)|a|Rx-|Z||a|Rx+4.序列乘以n（Z域微分）若则5.初值和终值定理若则初值终值6.序列反转若()[()]()[()]xxxxXzZTxnRzRdXzZTnxnzRzRdz1()[()](0)lim()()lim()lim[(1)()]znzXzZTxnxXzxxnzXz[()](),xxZxnXzRzR则7.时域卷积定理若：则：下面举例说明如何利用Z变换的性质来计算象函数【例2-7】求下列信号的Z变换并确定收敛域。（1）(5)n（2）3(1)nun（3）(1)(2)nun（4）(0.5)()nnun解：（1）利用移位性质：5()1(5),0nnzz（2）1133()3(1)3(1)333nnnzunununzzz（3）11222121()(2)(2)11(1)2111(1)(2)(1)(1)(1)zdzzzzununnunzzzdzzzznunzzzzz（4）20.50.5(0.5)()(0.5)()0.5(0.5)nnzdzzzunnunzzdzz这里将Z变换的性质以表格的形式给出，以便读者查阅和使用。111[()]();xxZxnXzzRR()()()()[()]()[()]()[()]()()ynxnhnXzZTxnHzZThnYzZTynXzYz表2-2Z变换的性质序号性质名称性质内容1线性()();()();()()()()xnXzynYzaxnbynaXzbYz2移位性质()()()()()()mmxnXzxnmzXzxnmzXz3尺度变换()()()()nxnXzzaxnXa4Z域微分()()()()xnXzdXznxnzdz5初值(0)lim()zxXz6终值1()lim(1)()zxzXz7时域卷积()();()();()()()()()()()()xnXzhnHzynYzynxnhnYzXzHz2.4Z反变换在已知Z变换的象函数X(Z)及其收敛域的条件下，求原序列x(n)的过程，称为Z反变换。前面已经给出了序列Z变换的正变换公式为：()(),nxxnXzxnzRzR（2-3）而其反变换可由下式确定：cXXnRRcdzzzXjnx),(,)(21)(1(2-4)其中C为收敛域内任一条逆时针方向的闭合曲线。由于曲线积分的求解比较复杂，一般很少采用这种方法求Z反变换，通常采用留数法，部分分式法和长除法，这三种方法均可求出Z反变换，但复杂程度不同，可根据需要进行选择。这里将重点介绍部分分式法。1.部分分式法：设x(n)的Z变换X(Z