数字信号处理课件线性移不变系统

系统在数学上定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一性变换或运算。这种映射是广义的，实际上表示的是一种具体的处理，或是变换，或是滤波。一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。以T[•]表示这种运算，则一个离散时间系统可用下图来表示§1.2线性移不变系统LinearShiftInvariantSystem(LSI)离散时间系统T[•](运算)x(n)输入序列y(n)输出序列一、线性系统概念：满足叠加原理的系统为线性系统。(1)可加性设y1(n)=T[x1(n)]，y2(n)=T[x2(n)]如果y1(n)+y2(n)=T[x1(n)]+T[x2(n)]=T[x1(n)+x2(n)]说明系统T[•]满足可加性。(2)比例性(齐次性)设y1(n)=T[x1(n)]如果a1y1(n)=a1T[x1(n)]=T[a1x1(n)]说明系统T[·]满足比例性或齐次性。综合(1)、(2)，得到叠加原理的一般表达式：NiiiNiiinxaTnya11)()(说明：(1)叠加原理的一个直接结果是零输入产生零输出。(2)在证明一个系统是否为线性系统时，应证明系统既满足可加性，又满足比例性。例：验证下面的系统是否为线性系统：y(n)=4x(n)+6方法一：验证系统是否满足叠加原理。可加性分析：若：x1(n)=3，则：y1(n)=43+6=18x2(n)=4，则：y2(n)=44+6=22而：x3(n)=x1(n)+x2(n)=7，有：y3(n)=47+6=34≠40得到：y1(n)+y2(n)=18+22=40得证：由于该系统不满足可加性，故其不是线性系统。方法二：利用线性系统的“零输入产生零输出”的特性验证。因为当x(n)=0时，y(n)=6≠0，这不满足线性系统的“零输入产生零输出”的特性，因此它不是线性系统。例：证明由线性方程表示的系统()()ynaxnb,ab为常数是非线性系统111()[()]()ynTxnaxnb证：设222()[()]()ynTxnaxnb1212[()()][()()]Txnxnaxnxnb12()()ynyn该系统是非线性系统12()()axnaxnb不满足可加性增量线性系统线性系统x(n)y0(n)y(n)()()ynaxnb二、时不变系统(移不变系统)概念：若系统的响应与激励加于系统的时刻无关，则该系统为时不变或移不变系统。即：若有y(n)=T[x(n)]，则y(n-m)=T[x(n-m)]成立。例：证y(n)=4x(n)+6是移不变系统。证：y(n-m)=4x(n-m)+6T[x(n-m)]=4x(n-m)+6∵y(n-m)=T[x(n-m)]∴该系统是移不变系统说明：乍一看该例，似乎y(n-m)和T[x(n-m)]很容易就得到了一样的结果，而实际上它们是通过不同的途径得到的。y(n-m)是将y(n)=4x(n)+6表达式中的所有出现n的地方用n-m去替换；而T[x(n-m)]是将所有x函数的自变量替换为自变量-m。例：验证以下两个系统的移不变特性。(1)nmmxny)()(nmkmxknxT)()(①knmknmmxmxkmm)()'(''令knmmxkny)()(②因为y(n-k)与T[x(n-k)]相同，所以该系统是移不变系统。说明：在该例题中可以清楚地看到，y(n-k)和T[x(n-k)]是从两条不同的途径得到了相同的结果。∵m’=m-k，m从-～n∴m’应从--k～n-k由于-是很大很大的，所以--k就相当于-(2)nmmxny0)()(nmkmxknxT0)()(①knkmknkmmxmxkmm)()'(''令knmmxkny0)()(②因为y(n-k)与T[x(n-k)]不相同，所以该系统不是移不变系统。说明：从上面两个类似的例题中，我们除了知道移不变系统的证明方法外，还可以学习到一些基本的换元方法。∵m’=m-k，m从0～n∴m’应从-k～n-k例：验证系统y(n)=nx(n)的移不变特性。法一：用概念T[x(n-k)]=nx(n-k)y(n-k)=(n-k)x(n-k)因为y(n-k)与T[x(n-k)]不同，故不是移不变系统。法二：找反例设：x1(n)=(n)，则T[x1(n)]=n(n)=0x2(n)=(n-1)，则T[x2(n)]=n(n-1)=(n-1)可以看出，当输入移位[(n)→(n-1)]时，输出并不是也移位了，而是[0→(n-1)]，故不是移不变系统。三、单位抽样(冲激)响应h(n)概念：同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为LSI系统。LSI(LinearShiftInvariant)System线性移不变系统可用它的单位抽样相应来表征。单位抽样(冲激)响应h(n)：当输入为(n)时，系统的输出用h(n)表示。h(n)=T[(n)]卷积：当一个系统是LSI系统时，它的输出y(n)可以用输入x(n)与单位抽样响应h(n)的卷积来表示。y(n)=x(n)*h(n)证明：在前面我们学过，任一序列x(n)可以写成：mmnmxnx)()()(系统的输出为：mmnmxTny)()()()()(mnTmxm利用线性的特性)()(mnhmxm利用移不变的特性)()(nhnx说明：注意在证明y(n)=x(n)*h(n)的过程中用到了线性和移不变的特性，这说明只有LSI系统才有上式。四、线性移不变系统的性质1、交换律y(n)=x(n)*h(n)=h(n)*x(n)h(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)等效于2、结合律x(n)*h1(n)*h2(n)=[x(n)*h1(n)]*h2(n)=[x(n)*h2(n)]*h1(n)=x(n)*[h1(n)*h2(n)]h1(n)x(n)y(n)h2(n)h2(n)x(n)y(n)h1(n)h1(n)*h2(n)x(n)y(n)三者等效3、分配律x(n)*[h1(n)+h2(n)]=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)h1(n)+h2(n)x(n)y(n)两者等效h1(n)x(n)y(n)h2(n)例：x(n)=u(n)，h1(n)=(n)-(n-4)，h2(n)=anu(n)，求：y(n)=x(n)*h1(n)*h2(n)解：)()4()()]4()([)]4()()[()()()()()(4011nRnunumnmnmnmnmumnhmxnhnxnwmmm)3()2()1()()3()2()1()()(*)]3()2()1()([)(*)]4()([)(*)()()()(321222222242nuanuanuanuanhnhnhnhnhnnnnnhnununhnRnhnwnynnnn结果：0n01n=0y(n)=1+an=11+a+a2n=2an+an-1+an-2+an-3n≥3说明：0000)()()()()()()(mmmnmnnnumnnumnmxnx①1)()()()()(*)(00000nmnnnmnnxnmnmxnnnxm时，因为只有当②五、因果系统1、定义因果系统是指：某时刻的输出只取决于此时刻和此时刻以前的输入的系统。即：n=n0时的输出y(n0)只取决于n≤n0的输入x(n)|n≤n0的系统为因果系统，否则为非因果系统。例：判断下面的系统是否为因果系统。(1)y(n)=nx(n)是(2)y(n)=x(n+2)+ax(n)不是(3)y(n)=x(n3)不是(4)y(n)=x(-n)不是(5)y(n)=x(n)sin(n+2)是2、线性移不变系统是因果系统的充分必要条件是：h(n)=0，n0证：①充分条件若n0时，h(n)=0，有：0)()()()()()()()(00nmnmmmnhmxnymnhmxmnhmxny从上式看出，y(n0)只与m≤n0时刻的x(m)有关，这满足因果系统的定义我们将n0，x(n)=0的序列称为因果序列n-m≥0,h(n)≠0∴m=n②必要条件(反证法)若已知一系统是因果系统，但当n0时，至少存在一个n使得：h(n)≠0，则有：1)()()()()(nmnmmnhmxmnhmxny在设定的条件下，第二项至少有一个h(n-m)≠0，故y(n)将至少和mn时的一个x(m)值有关，而这又与设定的另一个条件：因果系统相矛盾，所以说明设定条件有误。∵m≤n∴n-m≥0∵mn∴n-m0注意：当利用该性质验证一个系统为因果系统时，应首先确定系统是LSI系统，并求出其单位冲激响应h(n)。六、稳定系统1、定义稳定系统是指：有界输入产生有界输出的系统。即：如果|x(n)|≤M，则有：|y(n)|≤P。2、一个LSI系统是稳定系统的充分必要条件是：单位抽样响应绝对可和。qnhn)(证明：①充分条件：若|h(n)|≤q，且|x(n)|≤M则y(n)为：MqkhMmnhMmnhmxmnhmxnynknmnmm)()()()()()()(即证：若|h(n)|≤q，且|x(n)|≤M，存在：|y(n)|，即该LSI系统确实为稳定系统。只有LSI系统才有y(n)=x(n)*h(n)②必要条件：(反证法)已知一LSI稳定系统，设存在：mmh)(我们可以找到一个有界的输入x(n)：0)(10)(1)(nhnhnxmmmmhmhmhmxy)()()0()()0(y(n)在n=0时为，即得到无界的输出y(n)，而这不符合稳定系统的假设，所以说明上面的假设不成立，故得证。3、证明一个系统是否稳定的方法：①若LSI系统的h(n)已直接给出，或间接求出，则可以用h(n)是否绝对可和来证明系统的稳定性。②若系统是以y(n)=T[x(n)]的形式给出的，则应该直接利用稳定系统的定义：有界输入得到有界输出来证明。③有时可利用反证法，只要找到一个有界的输入x(n)，若能得到无界的输出，则该系统肯定不稳定。例：验证系统y(n)=nx(n)的稳定性。反证：当x(n)=1时，y(n)=n，当n→，y(n)→，此时，y(n)无界，故系统不稳定。例：验证系统y(n)=ax(n)的稳定性。证：设x(n)有界，|x(n)|A∵-A|x(n)|A∴a-A|y(n)|aA当x(n)有界时，y(n)也有界，故为稳定系统。例：一个LSI系统的h(n)=anu(n)，讨论其因果性和稳定性。①因果性：因为：当n0时，h(n)=0，所以该系统为因果系统。②稳定性：1111)(0aaaanhnnn当|a|1时系统稳定，当|a|≥1时系统不稳定。例：一个LSI系统的h(n)=-anu(-n-1)，讨论其因果性和稳定性。①因果性：因为：当n0时，h(n)≠0，所以该系统不是因果系统。②稳定性：1111)(nnnnnnnaaanh当|a|1时系统稳定，当|a|≤1时系统不稳定。1111111aaaaa