数字信号处理课后习题

第二章2.1判断下列序列是否是周期序列。若是，请确定它的最小周期。（1）x(n)=Acos(685n)（2）x(n)=)8(nej（3）x(n)=Asin(343n)解(1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(n)，得出85。因此5162是有理数，所以是周期序列。最小周期等于N=)5(16516取kk。（2）对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[j]n,得出81。因此162是无理数，所以不是周期序列。（3）对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(n)，又x(n)=Asin(343n)＝Acos(2343n)＝Acos(6143n)，得出43。因此382是有理数，所以是周期序列。最小周期等于N=)3(838取kk2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。(a)1111(b)(c)11111000000-1-1-1-1-1-1-1-122222233333444………nnnnnnx(n)x(n)x(n)h(n)h(n)h(n)21u(n)u(n)u(n)an===22解利用线性卷积公式y(n)=kknhkx)()(按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。(a)y(0)=x(O)h(0)=1y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n≥2(b)x(n)=2(n)-(n-1)h(n)=-(n)+2(n-1)+(n-2)y(n)=-2(n)+5(n-1)=(n-3)(c)y(n)=kknknukua)()(=kkna=aan111u(n)2.3计算线性线性卷积(1)y(n)=u(n)*u(n)(2)y(n)=nu(n)*u(n)解：(1)y(n)=kknuku)()(=0)()(kknuku=(n+1),n≥0即y(n)=(n+1)u(n)(2)y(n)=kkknuku)()(=0)()(kkknuku=111n,n≥0即y(n)=111nu(n)2.4图P2.4所示的是单位取样响应分别为h1(n)和h2(n)的两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n),h1(n)=(n)-(n-4),h2(n)=anu(n),|a|1,求系统的输出y(n).解(n)=x(n)*h1(n)=kku)([(n-k)-(n-k-4)]=u(n)-u(n-4)y(n)=(n)*h2(n)=kkkua)([u(n-k)-u(n-k-4)]=3nkka,n≥32.5已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=anu(-n),0a1用直接计算线性卷积的方法，求系统的单位阶跃响应。2.6试证明线性卷积满足交换率、结合率和加法分配率。证明（1）交换律X(n)*y(n)=kknykx)()(令k=n-t,所以t=n-k,又-k,所以-t,因此线性卷积公式变成`x(n)*y(n)=ttnnytnx)]([)(=ttytnx)()(=y(n)*x(n)交换律得证.(2)结合律[x(n)*y(n)]*z(n)=[kknykx)()(]*z(n)=t[kktykx)()(]z(n-t)=kx(k)ty(t-k)z(n-t)=kx(k)my(m)z(n-k-m)=kx(k)[y(n-k)*z(n-k)]=x(n)*[y(n)*z(n)]结合律得证.(3)加法分配律x(n)*[y(n)+z(n)]=kx(k)[y(n-k)+z(n-k)]=kx(k)y(n-k)+kx(k)z(n-k)=x(n)*y(n)+x(n)*z(n)加法分配律得证.2.7判断下列系统是否为线性系统、非线性系统、稳定系统、因果系统。并加以证明(1)y(n)=2x(n)+3(2)y(n)=x(n)sin[32n+6](3)y(n)=kkx)((4)y(n)=nnkkx0)((5)y(n)=x(n)g(n)解（1）设y1(n)=2x1(n)+3,y2(n)=2x2(n)+3,由于y(n)=2[x1(n)+x2(n)]+3≠y1(n)+y2(n)=2[x1(n)+x2(n)]+6故系统不是线性系统。由于y(n-k)=2x(n-k)+3,T[x(n-k)]=2x(n-k)+3,因而y(n-k)=T[x(n-k)]故该系统是非移变系统。设|x(n)|≤M，则有|y(n)|=|2x(n)+3|≤|2M+3|∞故该系统是稳定系统。因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n)，不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。（2）设y1(n)=ax1(n)sin[32n+6]y2(n)=bx2(n)sin[32n+6]由于y(n)=T[ax1(n)+bx2(n)]=[ax1(n)+bx2(n)]sin[32n+6]=ax1(n)sin[32n+6]+bx2(n)sin[32n+6]=ay1(n)+by2(n)故该系统是线性系统。由于y(n-k)=x(n-k)sin[32(n-k)+6]T[x(n-k)]=x(n-k)sin[32n+6]因而有T[x(n-k)]≠y(n-k)帮该系统是移变系统。设|x(n)|≤M，则有|y(n)|=|x(n)sin[32(n-k)+6]|=|x(n)||sin[32(n-k)+6]|≤M|sin[32(n-k)+6]|≤M故系统是稳定系统。因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n),不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。（3）设y1(n)=nkkx)(1，y2(n)=nkkx)(2，由于y(n)=T[ax1(n)+bx2(n)]=nkkk)](bx)(ax[21=ankkx)(1+bnkkx)(2=ay1(n)+by2(n)故该系统是线性系统。因y(n-k)=tnkkx)(=nmtmx)(=T[x(n-t)]所以该系统是非移变系统。设x(n)=M∞y(n)=nkM=∞，所以该系统是不稳定系统。因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n)，不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。（4）设y1(n)=nnkkx01)(，y2(n)=nnkkx02)(，由于y(n)=T[ax1(n)+bx2(n)]=nnkkk021)](bx)(ax[=annkkx01)(+bnnkkx02)(=ay1(n)+by2(n)故该系统是线性系统。因y(n-k)=tnnkkx0)(=ntnmtmx0)(≠T[x(n-t)]=nnktmx0)(所以该系统是移变系统。设x(n)=M,则limny(n)=limn(n-n0)M=,所以该系统不是稳定系统。显而易见，若n≥n0。则该系统是因果系统；若nn0。则该因果系统是非因果系统。(5)设y1(n)=x1(n)g(n),y2(n)=x2(n)g(n),由于y(n)=T[ax1(n)+bx2(n)]=(ax1(n)+bx2(n))g(n)=ax1(n)g(n)+b2(n)=ay1(n)+by2(n)故系统是线性系统。因y(n-k)=x(n-k),而T[x(n-k)]=x(n-k)g(n)≠y(n-k)所以系统是移变系统。设|x(n)|≤M,则有|y(n)|=|x(n)g(n)|=M|g(n)|所以当g(n)有限时该系统是稳定系统。因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n)，不取决于本来的输入，故该系统是因果系统。2.8讨论下列各线性非移变系统的因果性和稳定性（1）h(n)=2nu(-n)(4)h(n)=(12)nu(n)(2)h(n)=-anu(-n-1)(5)h(n)=1nu(n)(3)h(n)=(n+n0),n0≥0(6)h(n)=2nRnu(n)解（1）因为在n0时，h(n)=2n≠0,故该系统不是因果系统。因为S=n|h(n)|=0n|2n|=1，故该系统是稳定系统。(2)因为在nO时，h(n)≠0，故该系统不是因果系统。因为S=n|h(n)|=1n|an|=nan，故该系统只有在|a|1时才是稳定系统。(3)因为在nO时，h(n)≠0，故该系统不是因果系统。因为S=n|h(n)|=n|(n+n0)|=1，故该系统是稳定系统。(4)因为在nO时，h(n)=0，故该系统是因果系统。因为S=n|h(n)|=0n|(12)n|，故该系统是稳定系统。(5)因为在nO时，h(n)=1nu(n)=0，故该系统是因果系统。因为S=n|h(n)|=n|1nu(n)|=0n1n=，故该系统不是稳定系统。(6)因为在nO时，h(n)=0，故该系统是因果系统。因为S=n|h(n)|=10Nn|2n|=2N-1，故该系统是稳定系统。2.9已知y(n)-2cosy(n-1)+y(n-2)=0,且y(0)=0,y(1)=1,求证y(n)=sin()sinn证明题给齐次差分方程的特征方程为2-2cos·+1=0由特征方程求得特征根1=cos+jsin=ej,2=cos-jsin=ej齐次差分方程的通解为y(n)=c11n+c22n=c1ejn+c2ejn代入初始条件得y(0)=c1+c2=0y(1)=c1ejn+c2ejn=1由上两式得到c1=1jnjnee=12sin，c2=-c1=-12sin将c1和c2代入通解公式，最后得到y(n)=c1ejn+c2ejn=12sin(ejn+ejn)=sin()sinn2.10已知y(n)+2y(n-1)+(n-2)=0,且y(0)=0,y(1)=3,y(2)=6,y(3)=36,求y(n)解首先由初始条件求出方程中得系数a和b由(2)2(1)(0)660(3)2(2)(1)361230yaybyayaybyab可求出a=-1,b=-8于是原方程为y(n)-2y(n-1)-iy(n-2)=0由特征方程2－2－8＝0求得特征根1＝4，2＝-2齐次差分方程得通解为y(n)=c11n+c22n=c14n+c2(-2n)代入初始条件得y(n)=c11+c22=41+22=3由上二式得到c1＝12，c2＝－12将c1和c2代入通解公式，最后得到y(n)=c11n+c22n＝12[4n-(-2)n]2.11用特征根法和递推法求解下列差分方程：y(n)-y(n-1)-y(n-2)=0,且y(0)=1,y(1)=1解由特征方程2－－1＝0求得特征根1＝152，2＝152通解为y(n)=c11n+c22n＝c1（152）n＋c2（152）n代入初始条件得121211515()()122cccc求出c1=1525，c2=1525最后得到通解y(n)=c1(1525)n+c2(1525)n=15[(1525)1n-(1525)1n]2.12一系统的框图如图P2.12所示，试求该系统的单位取样响应h(n)和单位阶跃响应解由图可知＋x-1ßx(n)y(n)=x(n)+y(n-1)为求单位取样响应，令x(n)=(n),于是有h(n)=(n)+h(n-1)由此得到h(