数字信号处理课题设计

通信与信息工程学院**课程设计(综合实验)班级：电子信息工程1204姓名：井何帅学号：1207050421指导教师：柏均设计时间：12.21-1.3成绩：评语：通信与信息工程学院二〇一四年1实验一时域采样与频域采样定理的验证实验1.(1)时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论。要求掌握模拟信号采样前后频谱的变化，以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢失信息；(2)要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念，以及频率域采样定理及其对频域采样点数选择的指导作用。2.时域采样定理的要点是：①对模拟信号()axt以T进行时域等间隔理想采样，形成的采样信号的频谱会以采样角频率Ωs（Ωs=2π/T）为周期进行周期延拓。公式为②采样频率Ωs必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信号的频谱不产生频谱混叠。利用计算机计算上式并不方便，下面我们导出另外一个公式，以便在计算机上进行实验。理想采样信号和模拟信号()axt之间的关系为：对上式进行傅里叶变换，得到：上式中，在数值上xa(nT)＝x(n)，再将ω=ΩT代入，得到：上式的右边就是序列的傅里叶变换，即上式说明采样信号的傅里叶变换可用相应序列的傅里叶变换得到，只要将自变量ω用ΩT代替即可。频域采样定理的要点是：①对信号x(n)的频谱函数在［0，2π］上等间隔采样N点，得到:则N点IDFT［XN(k)］得到的序列就是原序列x(n)以N为周期进行周期延拓后的主值区序列，ˆ(j)aXaaas1ˆˆ(j)FT[()](jj)kXxtXkTaˆ()xtaaˆ()()()nxtxttnTjaaˆ(j)[()()]edtnXxttnTtja()()edtnxttnTt＝jaaˆ(j)()enTnXxnTjaˆ(j)(e)TXXj2π()(e),0,1,2,,1NkNXkXkN()IDFT[()][()]()NNNNixnXkxniNRn2公式为②由上式可知，频域采样点数N必须大于等于时域离散信号的长度M(即N≥M)，才能使时域不产生混叠，则N点IDFT［XN(k)］得到的序列xN(n)就是原序列x(n),即xN(n)=x(n)。如果NM，xN(n)比原序列尾部多N－M个零点；如果NM，则xN(n)=IDFT［XN(k)］发生了时域混叠失真，而且xN(n)的长度N也比x(n)的长度M短，因此,xN(n)与x(n)不相同。对比上面叙述的时域采样原理和频域采样原理，得到一个有用的结论:这两个采样理论具有对偶性，即“时域采样频谱周期延拓，频域采样时域信号周期延拓”。因此,将它们放在一起进行实验。3.实验内容及步骤（1）时域采样理论的验证。给定模拟信号式中,A=444.128，，，它的幅频特性曲线如图1.1所示。现用DFT(FFT)求该模拟信号的幅频特性，以验证时域采样理论。按照xa(t)的幅频特性曲线，选取三种采样频率，即Fs=1kHz，300Hz，200Hz。观测时间选Tp=64ms。为使用DFT，首先用下面的公式产生时域离散信号，对三种采样频率，采样序列按顺序用x1(n)、x2(n)、x3(n)表示。因为采样频率不同，得到的x1(n)、x2(n)、x3(n)的长度不同，长度（点数）用公式N=T图1.1xa(t)的幅频特性曲线a0()sin()()txtAetut502π0502πrad/sa0()()esin()()nTxnxnTAnTunT3p×Fs计算。选FFT的变换点数为M=64，序列长度不够64的尾部加零。X(k)=FFT[x(n)]，k=0,1,2,3,…,M－1式中,k代表的频率为要求：编写实验程序，计算x1(n)、x2(n)和x3(n)的幅度特性，并绘图显示。观察分析频谱混叠失真。（2）频域采样理论的验证。给定信号如下：编写程序分别对频谱函数X(ejω)=FT［x(n)］在区间［0,2π］上等间隔采样32点和16点，得到X32(k)和X16(k)：再分别对X32(k)和X16(k)进行32点和16点IFFT，得到x32(n)和x16(n)：分别画出、X32(k)和Ｘ16(k)的幅度谱，并绘图显示x(n)、x32(n)和x16(n)的波形，进行对比和分析，验证总结频域采样理论。时域：2πkkM1013()2714260nnxnnn其它j322π32()(e),0,1,2,31kXkXkj162π16()(e),0,1,2,15kXkXk323232()IFFT[()],0,1,2,,31xnXkn161616()IFFT[()],0,1,2,,15xnXkn4020406080-2000200(a)Fs=1000HZnx1(n)05101520-2000200(b)Fs=300HZnx2(n)051015-2000200(c)Fs=200HZnx3(n)0500100005001000(a)FT[xa(nT)],Fs=1000Hzf(Hz)幅度01002003000200400(a)FT[xa(nT)],Fs=300Hzf(Hz)幅度05010015020080100120(a)FT[xa(nT)],Fs=200Hzf(Hz)幅度频域：5010203001020(b)三角形序列x(n)nx(n)00.510100200(a)FT[x(n)]pi|X(ej)|024680100200(c)16点频率采样k|X16(k)|010203001020(d)16IDFT|X16(k)|n|X16(n)|0510150100200(e)32点频率采样k|X32(k)|010203001020(f)32点IDFT|X32(k)|n|X32(n)|4．如果序列x(n)的长度为M，希望得到其频谱在［0,2π］上的N点等间隔采样，当NM时，如何用一次最少点数的DFT得到该频谱采样？答：从实验的结果中，可以看出对于求频域采样点数N小于原时域序列长度M的N点离散频谱是，可以先对元序列x(n)以N为周期进行周期延拓后去其主值区序列再计算N点DFT则得到N点频域采样：其所求的N点离散频谱对应的时域离散序列是元序列x(n)以N为周期进行周期延拓后取主值区序列，而不是原序列x(n).()IDFT[()][()]()NNNNixnXkxniNRnj2π()(e),0,1,2,,1NkNXkXkN6设计二正余弦信号的谱分析1．学习用FFT对连续信号和时域离散信号进行谱分析的方法，了解可能出现的分析误差及其原因，以便正确应用FFT。2.实验原理用FFT对信号作频谱分析是学习数字信号处理的重要内容。经常需要进行谱分析的信号是模拟信号和时域离散信号。对信号进行谱分析的重要问题是频谱分辨率F和分析误差。频谱分辨率直接和N有关FFT的变换区间，因为FFT能够实现的频率分辨率是2π/N，因此要求2π/N≤F。可以根据此式选择FFT的变换区间N。误差主要来自于用FFT作频谱分析时，得到的是离散谱，而信号（周期信号除外）是连续谱，只有当N较大时,离散谱的包络才能逼近于连续谱，因此N要适当选择大一些。周期信号的频谱是离散谱，只有用整数倍周期的长度作FFT，得到的离散谱才能代表周对模拟信号进行谱分析时，首先要按照采样定理将其变成时域离散信号。如果是模拟周期信号，也应该选取整数倍周期的长度，经过采样后形成周期序列，按照周期序列的谱分析3．（1）对一个频率为10Hz，采样频率为64Hz的32点余弦序列进行谱分析,画出其频谱图；若将频率改为11Hz，其他参数不变，重新画出该序列的频谱图，观察频率泄漏现象，分析原因。7处理实际信号序列x（n）时，一般总要将它截断为一有限长序列，长为N点，相当于乘以一个矩形窗w(n)=RN(n)。矩形窗函数，其频谱有主瓣，也有许多副瓣，窗口越大，主瓣越窄，当窗口趋于无穷大时，就是一个冲击函数。时域的乘积对应频域的卷积，所以，加窗后的频谱实际是原信号频谱与矩形窗函数频谱的卷积，卷积的结果使频谱延伸到了主瓣以外，且一直延伸到无穷。当窗口无穷大时，与冲击函数的卷积才是其本身，这时无畸变，否则就有畸变.对于频率为fs的正弦序列，它的频谱应该只是在fs处有离散谱。但是，在利用DFT求它的频谱做了截短，结果使信号的频谱不只是在fs处有离散谱，而是在以fs为中心的频带范围内都有谱线出现，它们可以理解为是从fs频率上“泄漏”出去的，这种现象称为频谱“泄漏”。设fs为采样频率，N为采样序列长度，分析频率为：m*fs/N（m=0，1....)，以cos函数为例，设其频率为f0,如果f0不=m*fs/N，就会引起除f0以外的其他m*fs/N点为非零值，即频率成份从Ω0处“泄漏”到其它频率处去了。泄漏的原因:通过图可看出,频率为10Hz的余弦曲线DFT只有两个点不等于零，位于k=5和k=27处，k=5对应于频率10Hz，k=27对应于频率54Hz。这样DFT确实正确的分辨了余弦信号的频率。将频率改为11Hz，采样频率和窗长度依然为32点，计算图像可看出：频谱图上k=5和k=27处都有较大的峰值，而其它的点上幅度不再为零。这两个峰值对应的频率为810Hz和12Hz11Hz频率的能量会分不到许多DFT频率上，这种现象叫频率泄露，来源于截断效应。（2）考察DFT的长度对双频率信号频谱分析的影响。设待分析的信号为12()0.5sin(2)sin(2)015xnfnfnn令两个长度为16的正余弦序列的数字频率为22.01f及34.02f。取N为四个不同值16，32，64，128。画出四个DFT幅频图。分析DFT长度对频谱分辨率的影响。DFT长度对频谱分辨率的影响:DFT样本值就是其DTFT在相应位置的采样。在图中很难看出两个峰值，因此要提高它的分辨率，故把R增大，逐渐可以看出它有两个峰值，将k换算成数字频率f=w/2*pi=k/R.这样可确定峰值的位置大体在f=0.21和0.35的给定频率有一定的误差，这也是截断和泄露带来的问题，在这图上还可以看到一些较小的峰，这是很难判断是输入信号固有的还是由泄露引起的。这说明了增加DFT长度R减小了相邻样本间的频率间距，提高频谱的视在分辨率，因而可以提高样本未知的测定精度。（3）在上题中若把两个正弦波的频率取得较近，令22.01f，25.02f，试问怎样选择9FFT参数才能在频谱分析中分辨出这两个分量？要能分清两个频率，分辨率至少应达到f=0.03。因为此处的数字频率是对采样频率Fs进行归一化，因此总的样本数至少要达到1/0.03=33便于分辨峰值位置和准确的数值，为了提高实际分辨率，应该尽量增加信号的长度N及DF长度R,当受到条件限制不能提高N，则单独提高R可以提高视在分辨率。4．（1）对于周期序列，如果周期不知道，如何用FFT进行谱分析？答：如果X(n)的周期预先不知道，可先截取M点进行DFT，即)()()(~nRnxnxMM)]([)(nXDFTkXMM0=K=M-1再将截取长度扩大一倍，截取)()()(2~2nRnxnxMM)]([)(22nXDFTkXMM0=K=2M-1比较)(kXM和)(2kXM，如果二者的主谱差别满足分析误差要求，则以)(kXM或)(2kXM近似表示~)(nx的频谱，否则继续将截取长度加倍，直至前后再次分析所得主谱频率差别满足误差要求，设最后截取长度为iM，则)(0KXiM表示0)]/(2[kiMw点的谱线强度（2）如何选择FFT的变换区间？（包括非周期信号和周期信号）答：对于非周期信号：有频谱分辨率F，而频谱分辨率直接和FFT的变换区间有关，因为FFT能够实现的频率分辨率是2π/N...因此有最小的N2π/F。就可以根据此式选择FFT的变换区间。对于要求设计在不同N值下，余弦序列进行双频率信号的频谱分析，其中DFT长度对频谱分辨率将产生影响