数字图像处理03Fourier变换

1数字图像处理DigitalImageProcessing2第三章图像变换3.1预备知识3.2数字图像的傅立叶变换3.3其它可分离图像变换33.1预备知识•常见的图像变换：傅立叶变换，DCT变换，沃尔什-哈达玛变换，哈尔变换，小波变换。先看看傅立叶变换4JeanBaptisteJosephFourier(1768-1830)•hadcrazyidea(1807):•Anyperiodicfunctioncanberewrittenasaweightedsumofsinesandcosinesofdifferentfrequencies.•Don’tbelieveit?–NeitherdidLagrange,Laplace,Poissonandotherbigwigs–NottranslatedintoEnglishuntil1878!•Butit’strue!–calledFourierSeries5Fouriertransformbasisfunctions用几个sin函数来近似方波6TimeandFrequency•example:g(t)=sin(2πft)+(1/3)sin(2π(3f)t)7TimeandFrequency•example:g(t)=sin(2πft)+(1/3)sin(2π(3f)t)=+8FrequencySpectra•example:g(t)=sin(2πft)+(1/3)sin(2π(3f)t)=+9FrequencySpectra10Fourier变换f(t)F(u)FourierTransformF(u)f(t)InverseFourierTransform反变换：11•例：为下图所示的简单函数f(x)，求其傅立叶变换F(u)。2220022122sinsinjuxXXjuxjuxjuXjuXjuXjuXjuXFufxedxAAedxejuAAeeeejujuAuXeuuXFuAXuX解：一维连续傅立叶变换(一维Sinc函数)1200.20.40.60.811.21.4-1-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.60.811.21.4x00.20.40.60.8-4-224u矩形函数矩形函数的傅立叶谱XA一维连续傅立叶变换13二维连续傅立叶变换2222122,,,,,,,,,,,,,,,tan,,,,juxvyjuxvyxyfxyFuvfxyedxdyRuvjIuvFuvfxyfxyFuvedudvFuvRuvIuvIuvuvRuvEuvRuvIuv定义实变量的连续可积函数的傅立叶变换为从中恢复，定义为傅立叶反变换幅度相角能量谱14•例：为下图所示的二维函数f(x,y)，求其傅立叶变换F(u,v)。22200,,sinsinsinsin,juxvyXYjuxjuyjuXjvYFuvfxyedxdyAedxedyuXvYAXYeeuXvYuXvYFuvAXYuXvY解：二维连续傅立叶变换1500.511.5-1.5-1-0.50.511.5y-1.5-1-0.50.511.5x00.20.40.60.8-4-224v-4-224u二维矩形函数二维矩形函数的傅立叶谱二维连续傅立叶变换163.2数字图像的傅立叶变换问题是：①数字图像是离散的；空间上和幅度上；②数字图像是二维的；③数字图像大小是有限的。因此需要：离散的、二维的傅立叶变换傅立叶变换如何应用到数字图像处理上？17323240000020222460222369022214,410,00123411,10123412,20123413,301234jjuxxjjejjjjjjNFufxeuFfefefefeuFfefefefeuFfefefefeuFfefefefe取展开为一维离散傅立叶变换18课堂练习•f(0)=1•f(1)=1•f(2)=1•f(3)=1求一维离散傅立叶变换？•F(0)=1•F(1)=1•F(2)=1•F(3)=1求一维逆离散傅立叶变换？10/21)()(NxNxujNexfuF12/0()()NjxuNufxFue19•例：一维离散函数如下,求其离散傅立叶变换.332240001,11,21,3111401,10,20,30uxuxjjNxxfxffffFufxeeNFFFF一维离散傅立叶变换20一维离散傅立叶变换•矩阵表示法000030220233903221,0011122433jjjjjjjjjFWfNeeeeFfFfeeeeFfeeeeFfeeee考虑到记作210000012302020321111111111111024613571,,1,12121212WWjWWjWjWjWjWjN=8时W各元素一维离散傅立叶变换2jWe222-DDiscreteFourierTransform在2维情况下,DFT变换对:1010))//(2exp(),(1),(MxNyNvyMuxjyxfMNvuF1010))//(2exp(),(),(MuNvNvyMuxjvuFyxfu=0,1,2,…,M-1andv=0,1,2,…,N-1x=0,1,2,…,M-1andy=0,1,2,…,N-1and:23•f(x,y)求F(u,v)11111111111111111010)//(21),(),(MxNyNyvMxujMNeyxfvuF1010)//(2),(),(MuNvNyvMxujevuFyxf课堂练习24PolarCoordinateRepresentationofFT•实函数的傅立叶变换通常是复数形式，通常我们可以用极坐标形式表示：221/21(,)(,)(,)(,)[(,)(,)(,)exp((,)(,))](,)(,)tan(,)FuvRuvjIuvFuvRuvIuvIuFuvFuvjuvuvRuvv幅值Magnitude:相位Phase:Polarcoordinate251)可分性一个二维离散傅立叶变换可以用二次一维的离散傅立叶变换来实现。(,){[(,)]}yxFvfxy傅立叶变换的性质1010102101022exp,12exp,2exp12exp,1,NxNxNyNxNyNuxjvxFNNvyjyxfNuxjNNvyuxjyxfNvuF行变换列变换262)线性[(,)(,)][(,)][(,)]fxygxyfxygxy273)比例变换特性4)平移特性[(,)](,)fxyFv1[(,)](,)vfxyF002()00[(,](,)xvyjMNfxxyyFve002()00[(,)](,)xvyjMNfxyeFvv2800.20.40.60.8-4-224t00.20.40.60.811.21.41.6-4-224u00.20.40.60.8-4-224t00.20.40.60.811.21.41.6-4-224u位移定理295)共轭对称性说明离散函数的傅立叶变换是以原点为中心对称的，只要求出半个周期内的值就可以得到真个周期的值。(,)(,)(,)(,)FvFvFvFv(,)fxy(,)Fv306)旋转特性00[(,)](,)frFcos,sin,cos,sinxryruv317)平均值8)能量保持定理9)微分特性离散函数的拉普拉斯算子为：那么(,)(0,0)fxyF1111220000(,)(,)MNMNxyxyfxyFv22222(,)fffxyxy(,)fxy2222{(,)}(2)()(,)fxyvFv(,)(j)(,)nnnfxyuFuvx(,)(j)(,)nnnFuvxfxyu3210)卷积定理为了防止交叠误差（WraparoundError），将扩展为，其二维离散卷积定义为：则二维离散傅立叶卷积如下：(,),(,)fxygxy(,),(,)eefxygxy1100(,)(,)(,)(,)MNeeeemnfxygxyfmngxmyn[(,)(,)](,)(,)eeeefxygxyFxyGxy[(,)(,)](,)(,)eeeefxygxyFvGv33看一些图像傅立叶变换实例,增加其物理意义的感性认识。34傅立叶（Fourier）变换及其意义•二维傅立叶变换物理意义水平方向50Hz正弦信号35傅立叶（Fourier）变换及其意义•二维傅立叶变换物理意义水平方向200Hz正弦信号36傅立叶（Fourier）变换及其意义•二维傅立叶变换物理意义水平方向500Hz正弦信号细节越多，频率越高37对角方向50Hz正弦信号3839傅立叶（Fourier）变换及其意义40FTIFT41IFTIFT42低频区域对应图像的整体概略高频区域对应图像的细节43uvImageDetailGeneralappearanceFrequencyDomain(logmagnitude)4410%5%20%50%45Fourier变换的低通滤波示例46Fourier变换的高通滤波示例47课堂练习•f(0)=1•f(1)=1•f(2)=1•f(3)=1求一维离散傅立叶变换？•F(0)=1•F(1)=1•F(2)=1•F(3)=1求一维逆离散傅立叶变换？如果是4×4全1图像，如何求2维？10/21)()(NxNxujNexfuF12/0()()NjxuNufxFue48FFT•计算DFT有快速算法，而不需要直接按照计算。493.3其它可分离图像变换•如沃尔什变换，哈达玛变换，离散余弦变换(DCT)等。•主要介绍DCT50离散余弦变换（DCT）傅立叶变换的缺点是要进行复数运算。如果我们不采用正、余弦函数构成的完备正交函数系，而又其他合适的完备正交函数系，就可以避免这种复数运算。离散余弦变换就是基于实数的正交变换。一维的离散余弦变换：反变换10101(0)()212()()cos2NxNxFfxNxFfxNN51DCT变换相当于对图像作如下拓展后进行傅里叶变换拓展部分后：是偶函数！52DCT变换1010222])12(cos[])12(cos[),()()(),(MxNyMNMNcyxyxfccF正变换：1010222])12(cos[])12(cos[),()()(),(