数字波束形成递推最小二乘算法研究+源代码

1数字波束形成递推最小二乘算法研究摘要：数字波束形成(DBF)是一门新兴的阵列天线技术，自适应波束形成(ADBF)针对复杂信号环境对波束形成的一个很好的补充。自适应技术的核心思想是优化理论，常用的最佳准则有最小均方误差(MMSE)，最大信噪比(MaxSNR)，线性约束最小方差(LCMv)，最大似然(ML)，最小二乘法(LS)等；本问主要对递推最小二乘算法(RLS)进行了包括了流程设计、性能分析和仿真评价。关键字：DBF、ADBF、RLS、一数字波束形成简介数字波束形成(DBF)[1]是随着数字信号处理方法的发展而建立起来的一门新技术，这种技术不仅能充分保留阵列天线上收集的信息，而且能利用复杂的数字信号信号处理方法对信息进行处理，因此它具有一般雷达不具有的超低分辨率和低副瓣的性能，波束扫描，自适应波束控制等。由于采用了先进的数字信号处理方法和自适应技术，DBF雷达不仅性能优越，而且非常灵活，被认为是下～代雷达系统中广泛使用的一项新技术。相对于一般模拟波束形成技术，数字波束形成技术具有非常多的优点，比如超低分辨率，超低副瓣，抗电子干扰，扫描迅速，多目标处理，高性能并行数字处理等。自适应波束形成(ADBF)针对复杂信号环境对波束形成的一个很好的补充。它的核心思想是采用各种优化算法和自适应算法，根据阵列对不同环境的响应，产生不同的加权系数，己取得最好的信号特征。自适应波束形成可以实现自适应的空一时处理，进行各种非线性处等，波束灵活，抗干扰强，具有较好的自校正和自适应能力。阵列信号处理是现代信号处理[2]的一个分支，其本质是利用空间分散排列的传感器阵列和多通道接收机来获取信号的时域和空域等多维信息，以达到检测信号和提取其参数的目的。阵列信号处理的主要内容可分为波束形成技术，空间谱估计等方面技术，他们都是基于对信号进行空间采样的的数据进行处理，因此这些技术是相互渗透和相互关联的。2二数字波束形成原理和典型波束形成准则2.1数字波束形成原理假设接收天线为N阵元均匀直线阵[3]，目标的来波方向为θ，第k个波束指向为θk，相邻阵元间距为d，信号波长为λ，且各阵元都是各向同性的，对K阵元的加权分别为w1k，w2k,…,wNK，信号是窄带信号。简单地讲，数字多波束形成器就是一个乘加器，如图2-1所示。𝜒𝑖表示第i阵的接收信号经过A/D变换和数字正交后的复数字信号。加权系数𝑤𝑖𝑘=𝑎𝑖exp⁡(−𝑗∆Φ𝑘)，其中∆Φ𝑘=2𝜋𝜆𝑑sin𝜃𝑘表示提供的阵内相位补偿值，𝑎𝑖表示降低天线副瓣所需的幅度加权。进行相位和幅度补偿后，并对各阵列的输出信号相加，即可得：𝐹𝑘(𝜃)=∑𝑤𝑖𝑘𝑥𝑖𝑁−1𝑖=0(2-1)对式(2-1)进行求模，就可以得到第K个波束的天线方向图函数。天线的方向图不是唯一的，根据要求，相同的数据可以用不同方法加权(改变权因子)，以便形成不同形式的波束和任意多的波束。通过数字波束合成后输出的信号(如信号确实投射在该波束内)可以大幅度的提高信号的SNR。最后得到的复输出信号再直接送入后续处理单元。图2-1自适应数字波束形成原理图表示成矩阵形式如下：𝐹𝑘(𝜃)=𝑤𝑘𝑇𝑋𝑘(其中wk为权矢量，Xk为数据矢量，T表示转置，它们都为列矢量。2.2自适应数字波束形成的原理DBF技术是当代雷达的热点技术之一，对于阵列信号处理来说，它往往和自3适应技术相互联系。因为面对非常复杂的环境时候，恶化的工作环境将会使不具备自我适应，自我调整能力的DBF雷达的性能急剧下降。因此，为了提高DBF系统的抗干扰能力，必须求助于自适应数字波束形成(ADBF)技术，自适应阵列是实现ADBF的基础。自适应阵列的结构框图如图2-1示。从图中可以看出自适应阵列是由按一定空间排列的多个阵单元构成，是一种在实际环境下自行控制其方向图的天线系统。它能实时地对外界未知的干扰环境作出反应，在干扰的到达方向形成零点或降低此方向的副瓣电平，这样便可以保证接收所需信号与干扰噪声的信噪比有一个最佳值。自适应阵列正是利用这种空间特性，改善了阵列输出SNR，抑制了强干扰。自适应技术的核心思想是优化理论[4]，我们熟悉的优化理论有拉格朗日求极值函数的变分法，最陡下降法，最小二乘法等。目前常用的最佳准则有最小均方误差(MMSE)，最大信噪比(MaxSNR)，线性约束最小方差(LCMv)，最大似然(ML)，最小二乘法(LS)等，下面简单介绍几种较常使用的准则。2.3最小均方误差准则(MMSE)最小均方误差准则就是使阵列输出𝐹𝑘(𝜃)=𝑤𝑘𝑇𝑋𝑘(K代表K时刻)与参考信号d(k)的均方误差最小，均方误差为：E(𝜀2(𝑘))=𝐸[𝑑(𝑘)]2−2𝑤𝑟𝑇𝑟+𝑊𝑘𝑇𝑅𝑊𝑘(2-2)其中r=E(d(k)Xk),R=E(XXH),一般地将R称为互相关矩阵[5]。将式（2-4）对于权向量求梯度，得到梯度算子：∇𝑊(𝐸(𝜀2(𝑘)))=−2𝑟+2𝑅𝑊𝑘令梯度算子为零，得到最小均方误差准则下的最佳权向量：𝑤𝑜𝑝𝑡𝑅−1𝑟2.4最大信噪比原则（MaxSNR）最大信噪比原则是基于期望信号的功率与噪声功率之比的最大的准则，假设期望信号为S，且Rt=E（ssH），RW=E(uuH),其中u表示噪声，则有：𝜎𝑠2=𝐸(|𝑊𝐻𝑠|2)=𝑊𝐻𝑅𝑠𝑊⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝜎𝑢2=𝐸(|𝑊𝐻𝑢|2)=𝑊𝐻𝑅𝑢𝑊这时，输出的信噪比SNR为：SNR=𝜎𝑠2𝜎𝑢2=𝑊𝐻𝑅𝑠𝑊𝑊𝐻𝑅𝑢𝑊经计算，使得输出信噪比最大的最佳权向量是对应于矩阵𝑅𝑢−1𝑅𝑠的最大特征值的特征值的特征向量，得到的最佳权系数满足：𝑅𝑢−1𝑅𝑠𝑊𝑜𝑝𝑡=𝜆𝑚𝑎𝑥𝑊𝑜𝑝𝑡42.5线性约束最小方差准则（LCMV）在已知期待信号的来波方向和参考信号的条件下，最小方差准则是通过最小化阵列输出的噪声方差，来取得对信号S的较好的增益。经权重后的波束形成器的输出为:y(t)=𝑊𝑇𝑋(𝑡)=𝑊𝑇𝑠+𝑊𝑇𝑢为保证波束形成对信号S增益，必须对波束形成器的权向量加以限制，使其在信号S的方向产生一定的增益，即：𝑊𝐻𝑎𝜃=𝑔其中，𝑎𝜃为期望信号的方向矢量，则最佳权重可以表示为：𝑊𝑜𝑝𝑡=𝑔𝑅𝑢−1𝑎𝜃𝑎𝜃𝐻𝑅𝑢−1𝑎𝜃三递推最小二乘算法（RLS）3.1自适应算法简介自适应算法所采用的最优准则有最小均方误差(LMS)准则[6]，最小二乘(LS)准则、最大信嗓比准则和统计检测准则等，其中最小均方误差(LMS)准则和递推最小二乘法(LS)准则是目前最为流行的自适应算法准则。LMS算法和RLS算法由于采用的最优准则不同，因此这两种算法在性能，复杂度等方面均有许多差别。对于某个自适应算法，衡量其算法性能的指标主要为以下几个：（1）算法的收敛速度。用算法达到稳定状态(即与最优值的接近程度达到一定值)需要迭代的次数表示。（2）算法的跟踪性能。它指信道发生变化时，算法自适应跟踪信道的能力。（3）算法的稳健性。只当输入病态的情况下算法能否正常工作。（4）算法计算的复杂程度。自适应波束形成算法可有多种分类方式，一般的分类方法根据算法是否需要显式的训练序列，可分为非盲算法和盲算法两类，另外，根据权值作用于阵元或波束，还可分为阵元空间和波束空间两类。盲算法一般利用调制信号本身固有的、与具体承载的信息比特无关的一些特征，如恒模、子空间、有限符号集和高阶统计量等。与非盲算法相比，它无需发送已知符号，故可节省系统频谱资源。其缺点是一般收敛速度较慢，且存在相位模糊问题。非盲算法相对盲算法而言，通常误差较小，收敛速度也较快，但需要占用一定的系统资源用于传送参考信号、训练序列等。即使非盲算法收敛速度快，但仍然跟不上快衰落变化的速率要求。对于通信而言，算法的收敛速度是很重要的一个性质。所以本文主要介绍非盲算法中的RLS算法。5非盲算法主要包括最小均方误差算法LMS、采样矩阵求逆法SMI和迭代最小二乘算法RLS。LMS算法由于其收敛速度很慢，因此在信号环境变化很快时其性能不是很好，且算法性能对阵列信号协方差矩阵的特征值散布度很敏感，当散布度很大时，很难收敛。SMI算法收敛速度比LMS快，但是算法复杂了不少，而且在硬件实现中的有限字长效应会给求逆运算带来数值上的不稳定。RLS算法是基于使每一快拍的阵列输出平方和最小的准则，即最小二乘（LS）准则。它利用了从算法初始化后得到的所有阵列数据信息，用递推方法来完成矩阵的求逆运算，因而收敛速度快，对特征值的散布度不敏感，且能实现收敛速度与计算复杂性之间的折衷。一般在大信噪比的情况下，RLS比LMS的收敛速度快一个数量级。3.2递推最小二乘算法(RLS)RLS算法是SMI算法的迭代过程，该算法的性能准则是使参考信号)(nd和阵列输出信号)(ny之间的加权均方误差最小。与LMS不同的是，RLS算法的性能量度准则是使信号的加权平方误差和最小化。RLS算法在权值迭代调整过程中用一个与信号相关的附加矩阵代替LMS算法中的步长，从而提高了收敛速度。RLS算法的权向量迭代式为：)]1()()1([)1()()1()1()()()1(**nXnWndnnPnnnPnWnWXXXT（3-17）)1()()1()()1()1()()]([1)1(**nnPnnPnnnPnPnPXXXXTT（3-18）其中)(nd表示参考信号，)(nP为迭代过程中的过渡矩阵，其中称为遗忘因子(1)。引入遗忘因子的作用是让离n时刻较近的误差有较大的权重，距离较远的拥有降低的权重，确保以前观测到的数据被渐渐“遗忘”，从而使滤波器工作在一个平稳状态下。下面是算法推导：n0()()()niHiRnuiuin-1-10*()()u()*()niHHiuiuinun6设：则：令：(n)R(n1)x(n)x(n)HR则：其中为增益向量，又：11(n)R(n1)(n)(n)(n)(n)R(n1)(n)(n)(n)R(n1)(n)HHPk**01()()()(n1)()()()[(n1)()(n)(1)]nniiHrnuidirdnunPnPknuPn所以11***(n)R(n)r(n)P(n)r(n)(1)(1)()[(1)()()()(1)()]()()(1)(1)(1)()()()()(1)()w(n-1)k(n)e(n)(*)HHHwPnrndnPnunknunPnunknunPnrnwndnknknunwnwn化简得：式中：()()(1)()Hendnwnun先验误差3.3总结RLS算法的步骤1、初始化：w(0)=0,R(0)=σI,2、更新：对于n=1、2···计算：7()(n1)()Hynwun滤波：()()()endnyn估计误差：(n-1)u()(n)()(1)()HPnkunPnun更新*()(1)()()wnwnknen更新权向量：1P()[(n1)()(n)(n-1)]HnPknuP更新希望相关矩阵初始值R(0)在R(n)中占很小的比重，因此设R(0)=σI。σ一般取0.001。对RLS算法的总体评价：1、RLS算法对非平稳信号的适应性好。2、RLS算法收敛速度快，估计精度高稳定性好。3、遗忘因子越大，越不易遗忘，效果越好。4、RLS算法计算复杂度高，不利于实时性处理。四递推最小二乘法(RLS)仿真结果及分析仿真实验使用的是的Matlab软件，MATLAB是由美国MathWorks公司推出的用于数值计算和图形处理的科学计算系统环境。MATLAB是英文MATrixLABoratory(矩阵实验室)的缩写，它集中了日常数学处理中的各种功能，包括高效的数值计算、矩阵运算、信号处理和图形生成功能。MA