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CIRCUITSSYSTEMSSIGNALPltOCIL~'V~L.13,NO.5,1994,1~.591--600复系数有限脉冲响应数字滤波器*M.J.Mismar和I.H.ZabalawiI摘要复系数FIR数字滤波器即在Z域传递函数具有复系数。基于某种准则而确定的该组系数可以满足预定义要求。在此基础上提出一种算法，将FIR数字滤波器和线性相位不对称振幅响应结合起来。我们采用极值逼近来确定该组系数，该组系数中相关的超定线性方程组用系数线性规划算法求解。计算机模拟表明，要满足规定的规格要求，提出的设计算法应得出最低阶复系数FIR数字滤波器。1.简介最近，越来越多人对复系数数字滤波器（CCDFs）的设计感兴趣[1]-[5]。这种兴趣可能有许多因素，包括：不同应用领域的通用和专用数字信号处理器的设计的巨大发展，许多应用需要复算法，数字滤波器是数字信号处理（DSP）系统的基本组成部分。有些DSP应用需要非对称响应频率的滤波器。通过采用一个简单的频率反式，如图1所述，来产生非对称响应。转换过程会将转移函数HR（z）Z域实系数转变成复系数，如HC（z）中Hc(z)=Hr(Zej~(1)*ReceivexlJanuaryl8,1992.1ElectricalEngineeringDepartment,FacultyofEngineeringandTechnology,UniversityofJordan,Amman,Jordan.592MISMARANDZABALA~VI[Hr(ei~Foi-os/2C0s/2FrequencyFigurela.MagnituderesponseofRCDEHr(Z).I.V)l_ms/20Ωom~,/2FrequencyFigurelb.MagnituderesponseofCCDF,Hc(Z)=Hr(zeJ'~和ω0是该响应变化的频率（参见图1）。本文论述的是不对称响应频率有限脉冲响应（FIR）数字滤波器的设计。这些滤波器有些可通过常规方法[6]开发，首先设计FIR数字滤波器，然后应用类似于在（1）给出的频率变换。有些DSP系统中，例如数字单边频调制器和IDA（入侵检测算法）数字处理器，FIRDIGITALFILTERS593使用频率转换不可能生成所需要的非对称FIR响应。因此，我们迫切需要用于这种应用的CCDFs算法设计。本文主要目的在于提出设计复系数FIR数字滤波器的最优过程。Z域H〜（z）的复系数可使用极值逼近确定下来，使之符合预定义的非对称频率响应。逼近法的根据是在设计对称响应FIR滤波器中采用的线性规划算法[7]。许多FIR型CCDFs都旨在符合规定要求，以证明所提出的设计方法的实用性。2.问题陈述调查问题表述如下：需要创建有限脉冲响应（FIR）的Z域转移函数,以满足整个预定义的线性相位频率范围-ωs/2≤ω≤ωS/2,其中ωs属于rad/sec。不对称频率响应要求转移函数中的系数必须是复系数。令Hc(z)为所需的复系数FIR转移函数并定义其为2nl(2)Hc(z)=)f_,qtz-kk-----0其中，qk是一组复系数。方程式（2）可重新表示为n(3)H(z)=z-_,(ckz-k+c_:k--O其中，ck(k=0,1.....n）为复系数，且ck=at+jb~.(4)在Z平面的单位圆的频率响应由下式给出nHc(ejoJ)=e-j~E(cke-Jt~.t-'C_keJk~(5)k----O若令（5）为线性相位，则要求C-k~--C'k(6)其中‾ck是ck的复共轭。通过（3）式，（4）式，和（6）式，所述幅频响应可表示asIH(e~~ωs(kto)+b,sin(kto)(7)594MISMARANDZAllALAWI因此，需要确定最低组系数{a，b}以满足所需的振幅要求。3.优化步骤要确定最佳系数集合{C}，首先要定义通带和截止带边缘和公差，因为在设计过程中通常考虑这些参数。在整个频率范围-ωs/2ωωs/2中公差和边缘定义如下：Sanfor-ωs~2ωωalIH~(eJ~')l-8~forωa2ωω,/2(8)1-SpIH(e#~1+Spforωelωcop2(9)其中ωpl和ωp2是通带边缘,ωa1和ωa2是截止带边缘，且δp,δa1，以及δa2是规定的公差。现在调查（7），根据本维尔斯特拉斯定理，对于一个给定在集合{-ωs/2；ωs/2}的连续函数D（ω）,指定公差为δ，存在函数P（ω，D，H）且为正余弦和正正弦的线性组合P(Ω,d,h)=~dkωs(kw)+hksin(kω)(10)k----0并满足以下不等式E(ω)=ID(ω)-P(w,d,h)lδ.(11)根据调查D（ω），问题可能为理想特点，P（ω，d，h）为近似函数，而E（ω）是误差函数。所需的误差函数应满足下列常数：SpiforΩplΩΩp2E(ω)δalfor-ωs/2ωωal(12)δa2forfOa2ωω~/2且forωplcar1D(co)=0for-co~/2caWal9(13)0forωo2ωΩs~2我们可以引入一个加权误差函数E0（ω），定义为Eo(ω)=W(ω)E(ω)(14)FIRDIGITALFILTERS595其中1topltotop2W(m)=2.1-tos/2wwal(15);~2too2tow,/2其中~.1=8p/8ol(16)~.2=8p/8o2.因此，加权误差函数的绝对值由下式给出IE0(to)l=ID(to)-W(w)P(to,d,h)l8p.(17)实际上，要实现所需频率范围内所需响应在所有点的偏差的最小化，需要离散时间间隔{-ωs/2，ωs/2}，使之成为足够数量的频点。不妨设m为样点分（ωi,i=0,1.....m），且mn。因此，所研究的问题可以简化为复系数(d,h)线性方程的超定系统。要用极值逼近确定逼近函数P(ω,d,h)中的复系数,需要制定如下对偶线性规划最大化问题.令函数最大化，m(18)ED(aTi)(sl-ti)iffil则~_,(si-ti)W(oJi)ep(toi)=0(19)i--1其中ωs(sfork=0,2,4.....2nqb(toi)=sin[(~.~)tai]fork=1,3,5.....2n-1(20)mE(si+tl)1(21)siO,tiO.(22)因此，继续进行以下步骤进行逼近算法。步骤1使用以下公式,确定FIR滤波器中初始值n：n=min(nt,n2)(23)其中nl=[tos/[3(topl--toal)]]log[O.1kl/δ~]--1(24)596MISMARANDZABALAWI且n2=[cas/[3(caa2-cap2)]]log[O.1).2/δ2]--1.(25)步骤2制定相关的初始单纯形表来在满足（19）-（25）要求下解（18）。步骤3利用Barrodale和Phillips[7]开发的有效三级算法和切比雪夫不等式进行解答（18）。步骤4确定（17）给出的加权误差函数的绝对值，如果该值δ，则离散频率ω（ⅰ=0,1，....m）转到步骤5;否则，转到步骤6。步骤5将下列限制条件赋予（19）式，修改过滤器[2N+1]为[2（N+1）1]：mE(Si--ti)W(cai)cos[(n+1)cai]=0(26)i=lm~(Si--ti)W(cai)sin[(n+1)cal]=0,(27)i=1继续步骤3。步骤6提高最终数字以减少脉动电平。设计案例假设我们对振幅特点有一下规格要求：|0.01for-nw-0.37rIH(eJ~=|15=0.05for-0.1rrto0.4rr.(28)10.025for0.5ntorr确定最小程度滤波器的复系数{C}，采取（ω）中90个采样点在每个带分配30个采样点。上一节中开发的逼近过程已被用来确定该组在（28）中给出的公差下的复系数。得到的结果在表1和图2给出。4.结果有许多FIR复系数数字滤波器（CCDFs）可以满足规定的振幅特性。表2给出了一些结果，表示出了过渡带宽，通带波纹水平的影响，以及过滤器上的整体程度的最小的阻带衰减。此外，另一组的FIRCCDFs的设计可以实现中心频率算术对移，而不是FIRDIGITALFILTERS5971,I0.90.80.7~0.60.5.......................................:......................................0.4-.......,.......9........9..........,......0.3............................................................0.2......................................9.......,.......;.~.....;.......,.......:-'...............................:...:...............0.1...................................................)0.0;........~...............::-.0-0.8-0.6--0.4-0.20.00.20.40.60.81,0Normalizedfrequencyinpirod/secFigure2a.MagnituderesponseofCCDF.O---20-mID-4-0-E~-60--80-....................................i.......i...............i..............--1O0,i.0-O.B-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0Normalizedfrequencyinpirad/secFigure2b.LogmagnituderesponseofCCDE原始的那种对移。表2也给出了比较的结果。图3给出的规格要求δp是通带波纹的水平，AS1是在阻频带-π≤ω≤ωal在dB的最小衰减，ωa1是阻频带边缘（1）,AS2是在阻频带ωa2≤ω≤π在dB的最小衰减;ωa2是阻频带边缘（2），ΔωTI是过渡宽度,π弧/秒的，等于│ωal-ωP1│，ωP1是通带第一个边缘，598MISMARANDZABALAWITable1.设计案例的CCDF复系数(ck=ak+jbk)。kakbk00.3007560.10.4592590.22642220.1799880.23530438.182068E-36.187741E-242.106917E-2-8.416089E-257.471558E-2-8.181033E-265.154095E-2-1.642927E-27-2.078346E-23.575867E-38-4.607520E-2-3.083291E-29-1.698301E-2-3.352642E-2101.777252E-3-5.588031E-311-6.611831E-32.968864E-212-3.474653E-21.756612E-213-1.986209E-20.Table2.复系数数字滤波器的规格和级别。8pAslAs2AtOTIAWT22n+12m+10.1040320.20.123290.0540320.20.127330.0140320.20.135430.0520320.20.125290.0540320.20.127330.0558320.20.129430.0540260.20.123330.0540320.20.127330.0540400.20.131330.0540320.30.127330.0540320.20.127330.054032O.10.131330.0540320.20.2017190.0540320.20.1519230.5403