新利息理论教案第2章

1第2章：等额年金第2.1节：年金的含义本节内容：一、年金的含义（annuity）年金是指一系列的付款（或收款）。年金最原始的含义是指一年付款一次，每次支付相等的金额的一系列款项。但现在被广泛应用到其他更一般的情形，时期和金额都可以变化。二、年金的分类1、确定年金和风险年金。2、定期年金和永续年金。3、多期支付一次、每期支付一次、每期支付多次年金和连续年金。4、期初付年金和期末付年金。5、即期年金和延期年金。6、等额年金和变额年金。本节重点：年金的定义。本节难点：年金的分类。第2.2节：年金的现值年金现值是一系列款项在期初的价值。本节内容：2.2.1期末付定期年金的现值假设年金支付期限为n个时期，每个时期末支付1元，那么这种年金就是期末付定期年金。其现值一般用符号nia表示。在不引起混淆的情况下，通常简记为na。na的计算过程图（略）一、公式23...nnvvvva(1)11nnvvvvi二、理解1nnvia三、例题1、现在向银行存入一笔钱，希望在以后的5年中每年末得到4000元，如果年实际利率为8%，现在应该存入多少钱？解：应用期末付年金现值公式：2400058%a=4000×3.9927=15971说明：58%a的具体数值可以通过年金现值表查到2、一笔年金在20年内每年末支付4，另一笔年金在10年内每年末支付5。如果年实际利率为i，则这两笔年金的现值相等。若另一笔款项n年内以利率i投资可以翻番，求n。解：201045aa20101145vvii100.25vi=0.1486982.2.2期初付定期年金的现值假设年金支付期限为n个时期，每个时期初支付1元，那么这种年金就是期初付定期年金。其现值一般用符号nia表示。在不引起混淆的情况下，通常简记为na。na的计算过程图（略）一、公式2311...nnvvvva(1)11nnvvvd二、na与na的关系1、(1)nniaa（可用公式展开证明）2、11nnaa（可用图形讲述）三、例题1、某企业租用了一间仓库，一次性支付50000元的租金后可以使用8年，假设年实际利率为6%，试计算如果每年初支付租金，该仓库的年租金应该为多少？解：设仓库的年租金为A，可以建立50000=A8a，A=75962.2.3期末付永续年金的现值3永续年金是指无限期支付下去的年金。因此，其现值等于定期年金的现值当支付期限n趋于无限大时的极限。若用a表示期末付永续年金的现值，则有1limnniaa2.2.4期初付永续年金的现值一、公式若用a表示期初付永续年金的现值，则有1limnndaa二、a与a的关系(1)iaa三、例题1、某企业租用了一间仓库，一次性支付50000元的租金后可以使用8年，假设年实际利率为6%，试计算如果每年初支付租金，该仓库的年租金应该为多少？解：设仓库的年租金为A，可以建立50000=A8a，A=75962、一笔10000元的贷款，期限为10年。如果年利率为6%，比较下述三种还款方式，那种支付的利息多。（1）在10年末一次性偿付所有本息；（2）每年末支付利息，在第10年末再偿付本金；（3）10年内每年末偿付相等的金额，在10年末刚好付清。解：（1）这笔款项在第10年末的累计值为1010000(10.06)17909因此支付的利息总额为：17909-10000=7909元（2）每年末支付的利息为100000.06600因此支付的利息总额为：6000元（3）设每年末偿付的金额为A则1010000AaA=1359因此支付的利息总额为：135910135903、A留下一笔十万元遗产。这笔财产头10年的利息付给收益人B，第2个10年利息付给收益人C，此后的均给慈善机构D。若此项财产的年实际利率为7%，试确定B、C、D在此项财产中的分额。解：此项财产实际上为100000×0.007=7000元其末付永续年金。B：700010a=7000×7.0236=491654C：7000（20a-10a）=700010a10v=24993D：7000（a-20a）=7000a20v=25842本节重点：期末付定期年金的现值的计算公式。本节难点：公式之间的关系。第2.3节：年金的终值定期年金存在终值，而永续年金不存在终值。本节内容：2.3.1期末付定期年金的终值期末付定期年金的终值一般用符号nis表示。一、公式211(1)(1)...(1)nniiis1(1)(1)11(1)nniiii二、解释1(1)nniis2.3.2期初付定期年金的终值期初付定期年金的终值一般用符号nis表示。一、公式21(1)(1)...(1)(1)nnniiiis(1)(1(1))(1)1(1)11(1)/1nnniiiiiiid二、ns与ns的关系1、(1)nniss（可用公式展开证明）2、11nnss（可用图形讲述）三、例题51、某人预计在10年后需要40000的资金，为此他打算每年初往一种基金存入一笔钱。如果基金的年实际利率为6%，那么他每年初应该存入多少钱才能保证在10年末获得40000元。解：假设每年初存入A元1040000AsA=28632、投资者A和投资者B在40年间每年末均投资100，从第41年开始，投资者A每年末抽回X并持续15年，投资者B每年末抽回Y也持续15年。两项投资在最后一次抽回后的账面余额均为0.已知投资者A得年利率为8%，投资者B的年利率为10%，求Y-X。解：对于投资者A：400.08150.08100sXa得X=3026.54对于投资者B：400.1150.1100sYa得Y=5818.94Y-X=2792.40本节重点：期末付定期年金的终值。本节难点：ns与ns的关系。第2.4节：年金的现值与终值的关系本节内容：2.4.1年金的现值与终值之间的换算关系(1)nnnisa(1)nnnisa2.4.2年金的现值与终值之间的倒数关系11nnias11nndas本节重点：6年金的现值与终值之间的换算关系。本节难点：年金的现值与终值之间的倒数关系。第2.5节：年金在任意时点上的值本节内容：2.5.1年金在支付期开始前任意时点上的值一、延期m个时期的期末付定期年金的现值|nma。|(1)mmnnnmivaaa|nmnmmaaa二、延期m个时期的期末付永续年金的现值|ma|mmvia三、期初付延期年金的现值的计算（略）四、例题2.5.2年金在支付期内任意时点上的值2.5.3年金在支付期结束后任意时点上的值本节重点：延期m个时期的期末付定期年金的现值|nma。本节难点：延期m个时期的期末付定期年金的现值|nma。第2.6节：可变利率的年金的现值与终值本节内容：2.6.1每笔款项都以其支付时的利率计算2.6.2每笔款项经历哪个时期，就以哪个时期的利率计算本节重点：本节难点：补充：7一、非标准时期与利率二、非复利年金补充概念：一、利息结转周期和年金支付周期周期是一个时间的概念。利息结转周期是指结转一次利息所需要的时间长度；年金支付周期是指支付一次年金所需要的时间长度。二、利息结转周期和年金支付周期不相等时的的利息问题。具体计算有两种思路。第2.7节每个利息接转周期支付m次的年金（每年支付m次年金）本节内容：一、此类问题的直接计算例：一笔50000元的贷款，计划在今后的5年内按月偿还，如果年实际利率为6.09%，试计算每月末的付款金额。解：月实际利率112(10.0609)10.0049386假设每月末的付款金额为X，则有600.004938650000XaX=965二、新公式n表示利息结转次数，m表示每个利息结转周期包含的支付次数，mn表示年金的支付次数，i表示每个利息结转周期的实际利率。2.7.1期末付年金一、n表示利息结转次数，m表示每个利息结转周期包含的支付次数，i表示每个利息结转周期的实际利率，在每个支付周期末付款1/m元，每个利息结转周期的付款是1元，那么该年金的现值为：121()1(...)nmnmmmnavvvvm()()1nmmnviaii二、相应的，在每个支付周期末付款1/m元，那么该年金的终值为()()(1)mnmnnsia()mnisi三、例题1、投资者在每月末向某基金存入100元，如果基金的年实际利率为5%，试计算该投资者在第5年末的累计值是多少？解：m=12，i=5%，每年支付的总额为1200元。8(12)(12)5512001200issi=6781.372、有一笔3000万元的贷款将在今后的5年内每半年末等额偿还一次，若贷款的年利率为5%，计算每半年末的付款额R应该为多少。解：每年付款总额为2R，(2)523000RaR=342.24万元2.7.2期初付年金一、n表示利息结转次数，m表示每个利息结转周期包含的支付次数，i表示每个利息结转周期的实际利率，在每个支付周期初付款1/m元，每个利息结转周期的付款是1元，那么该年金的现值为：121()1(1...)nmmmmnavvvm()()1nmmnvdadd二、相应的，在每个支付周期初付款1/m元，那么该年金的终值为()()(1)mnmnnsia()mndsd三、转换关系1()()(1)mmmnnaia1()()(1)mmmnnsis四、例题例、一笔50000元的贷款，计划在今后的5年内按月偿还，如果年实际利率为6019%，试计算每月初的付款金额。解：设每月初的付款金额为X，那么全年付款总额为12X，因此有(12)50.06095000012XaX=960元2.7.3永续年金一、m表示每个利息结转周期包含的支付次数，i表示每个利息结转周期的实际利率，在每个支付周期末付款1/m元的永续年金现值为：912()1(...)mmmavvm()1mi二、同理，在每个支付周期初付款1/m元的永续年金现值为：()ma()1md三、转换关系1()()(1)mmmaia本节重点：121()1(...)nmnmmmnavvvvm()()1nmmnviaii的推导。本节难点：121()1(...)nmnmmmnavvvvm()()1nmmnviaii的推导。第2.8节连续年金本节内容：2.8.1连续年金的现值一、如果总的利息结转次数为n，每个利息结转周期的实际利率为i，在每个利息结转周期内连续支付、支付总量为1元的年金现值用na表示，则有：0011|lnntnntnnvvvvdtva二、na的其他推导三、其他关系nniaa1nnea四、例题例1、假设年实际贴现率为5%，在第5年末和第7年末之间，某银行每年连续支付1000元。请计算该项款项在第2年末的现值。10解：d=0.05，则10.95d，110.95iln(1)ln(1/0.95)i上述款项在第5年末的现值为21000a，则在第2年末的现值为：3210001629.73va例2、假设年实际利率为6%，请计算每年连续支付500元的永续年金的现值。解：0.065008580.91500a2.8.2连续年金的终值一、如果总的利息结转次数为n，每个利息结转周期的实际利率为i，在每个利息结转周期内连续支付、支付总量为1元的年金终值用ns表示，则有：00(1)(1)1(1)|ln(1)ntntnniiidtis二、ns的其他推导三、其他关系nniss1nnes四、例题例1、假设年实际利率为6%，在第2年末和第7年末之间，某银行每年连续支付1000元。请计算该项款项在第10年末的累积值。解：上述款项在第7年末的累积为50.0610005804.56s则在第10年末的累积为：35804.56(10.06)6913.33五、补充na与n