必修5第一章解三角形

1第一章解三角形1.1.1正弦定理知识回顾1.掌握正弦定理，能够用正弦定理解斜三角形。2．正弦定理：在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，R为△ABC的外接圆的半径，则有RCcBbAa2sinsinsin．可变形为：a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC或a=2RsinA、b=2RsinB、c=2RsinC．3．利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：①已知两角和任一边，求其它两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角.基础过关一、选择题1.在△ABC中，若a=2,23b,030A,则B等于()A．60B．60或120C．30D．30或1502.在ABC中,下列等式总能成立的是（）A.AcCacoscosB.AcCbsinsinC.BbcCabsinsinD.AcCasinsin3.在ABC中,316,38,8ABCScb,则A等于（）A.30B.60C.30或150D.60或1204.在△ABC中，若coscoscosabcABC，则三角形是（）.A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形5.若A、B、C是△ABC的三个内角，且ABC（C≠2），则下列结论中正确的是（）A．sinAsinCB．cotAcotCC．tanAtanCD．cosAcosC二、填空题6.在ABC中,若21cos,3Aa,则ABC的外接圆的半径为__.7.在△ABC中，BC=2，AC=2，C=1500，则△ABC的面积为.8.如图所示,ABCD为圆内接四边形,若∠045DBC,∠030,6ABDCD,则线段AD三、解答题9.已知△ABC中，a＝8，b＝7，B＝60°，求c及S△ABC.10.在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，求b(保留两个有效数字).2综合拓展11.已知在ABC中，45A，2a，6c解此三角形。12.在ABC中，已知23a，62c，060B，求A1.1.2余弦定理知识回顾1.掌握余弦定理，能够用余弦定理解斜三角形。2．余弦定理：在△ABC中，,cos2222Abccba,cos2222Bcaacb2222coscababC．可变形为：2222cosbcaAbc，2222coscabBca，2222cosabcCab3.应用余弦定理解以下两类三角形问题：①已知三边求三内角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个内角.基础过关四、选择题1.在⊿ABC中，已知abcba2222，则C=()A.300B.1500C.450D.13502.在△ABC中，3,13,4ABBCAC，则边AC上的高为（）A.322B.332C.32D.333.已知cba,,是ABC三边之长,若满足等式abcbacba))((,则C等于（）A.120B.150C.60D.904.在△ABC中，,26,22,2cba则A=（）A.300B.600C.450D.7505.在△ABC中，,22abbac则C=()A.600B.1200C.600或1200D.450五、填空题6.已知a＝20，b＝29，c＝21，则B=7.已知a＝33，c＝2，B＝150°，则b=38.在ABC中，若120A，AB=5，BC=7，则AC=_.六、解答题9.在△ABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C.(精确到1°)10.已知a＝33，c＝2，B＝150°，求b。综合拓展11.已知在ABC中，45A，2a，6c解此三角形。12.如图，在四边形ABCD中，已知ADCD,10AD，14AB,60BDA,135BCD，求BC的长.1.2应用举例1.如图，一艘船上午9：30在A处得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距82nmile．此船的航速是mile/h第1题ABCD42．某人在塔AB的正东C处，沿着南偏西60的方向前进40米到达D处，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30，求塔高.第2题3．如图，为了测量河对岸两点,AB之间的距离，在河岸这边取点,CD，测得85ADC，60BDC，47ACD，72BCD，100CDm.设,,,ABCD在同一平面内，试求,AB之间的距离。（精确到1m）.4．如图1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，测出该渔轮在方位角为45，距离为10nmile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以9/nmileh的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21/nmileh的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1，时间精确到1min）.第3题33333331-3-1ABCD2．E2．E55．如图，某海岛上一观察哨A在上午11时测得一轮船在海岛北偏东3的C处，12时20分测得轮船在海岛北偏西3的B处，12时40分轮船到达海岛正西方5km的E港口.如果轮船始终匀速前进，求船速.6．如图，点A表示一小灵通信号发射的位置（塔高不计），l为一条东北走向的公路，技术人员为测试该发射塔信号的覆盖范围，自A点正西方向的B处骑自行车沿公路出发，约经过6分钟，发现小灵通开始有信号，已知：AB=4km，车速10km/h，能否根据以上信息，测算出该塔信号的覆盖半径以及小灵通持续显示信号的时间？（第5题）DFABC北E6第一章单元检测七、选择题1.在△ABC中，若a=2,23b,030A,则B等于()A．60B．60或120C．30D．30或1502.在ABC中，已知80a，100b，045A，则此三角形的解的情况为（）A.一解B.两解C.无解D.不确定3.在ABC中,316,38,8ABCScb,则A等于（）A.30B.60C.30或150D.60或1204.已知：在⊿ABC中，BCbccoscos，则此三角形为（）A．直角三角形B.等腰或直角三角形C．等腰直角三角形D.等腰三角形5.在⊿ABC中，已知abcba2222，则C=()A.300B.1500C.450D.13506.在△ABC中，3,13,4ABBCAC，则边AC上的高为（）A.332B.322C.32D.337.在ABC中，已知7a，5b，3c，则此三角形为（）A．等腰或直角三角B.锐角三角形C．直角三角形D.钝角三角形8．在ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积2224abcS，则角C（）A.450B.1500C.300D.1350八、填空题9.在ABC中，若120A，AB=5，BC=7，则AC=__.10.在△ABC中，BC=2，AC=2，C=1500，则△ABC的面积为.11.已知ABC中，sin:sin:sin1:2:3ABC，则::abc=。12．在ABC中，若1a，12c，040C，则符合题意的b的值有_____个。九、解答13.已知△ABC中，a＝8，b＝7，B＝60°，求c及S△ABC.14.如图，在四边形ABCD中，已知ADCD,10AD，714AB,60BDA,135BCD，求BC的长.第一章解三角形答案1.1.2正弦定理基础过关一、选择题1.B2.D3.C4.B5.A二、填空题1.32.13.32三、解答题1.解：由正弦定理得8sinA＝7sin600∴A1＝81.8°，A2＝98.2°∴C1＝38.2°，C2＝21.8°，由7sin600＝csinC，得c1＝3，c2＝5∴S△ABC＝12ac1sinB＝63或S△ABC＝12ac2sinB＝1032.解：∵B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°，bsinB＝csinC，∴b＝c·sinBsinC＝10·sin1050sin300≈19综合拓展1.解：由正弦定理得23222645sin26sinC∵6sinAc3222a，6c，623ABCD8∴有两解，即60C或120C754560180B或1545120180B由BAabsinsin得13b或13b∴13b，60C，75B或13b，120C，15B2.解：∵sin023sinsin45,22aABb又∵62＞2.41.43.8,23＜21.83.6,∴a＜c，即00＜A＜090,∴060.A1.1.3余弦定理基础过关一、选择题1.C2.B3.A4.A5.B二、填空题1.902.73.3三、解答题1.解：∵cosA＝b2＋c2－a22bc＝102＋62－722×10×6＝0.725，∴A≈44°∵cosC＝a2＋b2－c22ab＝72＋102－622×7×10＝113140＝0.8071，∴C≈36°∴B＝180°－(A＋C)≈180°－(44°＋36°)＝100°2.解：由b2＝a2＋c2－2accosB得b2＝(33)2＋22－2×33×2cos150°＝49，∴b＝7.综合拓展1.解：由余弦定理得：445cos62)6(22bb∴02322bb∴13b9又Cbbcos222)6(222∴21cosC，60C或120C∴75B或15B∴13b，60C，75B或13b，120C，15B2.解：在ABD中，设BDx，则BDAADBDADBDBAcos2222，即60cos1021014222xx，∴096102xx，∴161x，62x（舍去），由正弦定理：BCDBDCDBBCsinsin，∴2830sin135sin16BC．1.2应用举例1.32mile/h2．解：依题意画图某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD=40米，此时45DBF，从C到D所测塔的仰角，只有B到CD最短时，仰角才最大，这是因为tan,ABAEBABBE为定值，要求出塔高AB，须先求BE，要求BE，须先求BD或BC.在△BDC中，CD=40，30135,BCDDBC.由正弦定理得sinsinCDBDDBCDCB，∴4030135sinsinBD=202在RtBED中，18013515.BDEABCDABCDEE10∴621520210314sin()BEDB在RtABE，30,AEB∴1030333tan()ABBE.故所求的塔高为10333()米.3.解：在ADC中，85ADC，47ACD，则48DAC.又100DC，由正弦定理，得sin100sin85134.05sinsin48DCADCACmDAC.在BDC中，60BDC，72BCD，则48DBC.又100DC，由正弦定理，得sin100sin60116.54sinsin48DCBDCBCmDBC.在ABC中，由余弦定理，得2222cosABACBCACBCACB22134.05116.542134.05116.54cos72473233.95，所以57ABm答,AB两点之间的距离约为57m.4.解：设舰艇收到信号后xh在B处靠拢渔轮，则21ABx，9BCx，又10AC，45180105120ACB.由余弦定理，得2222cosABACBCACBCACB，即222211092109cos120xxx.化简，得图1-3-1112369100xx