怎样用Matlab求解差分方程题.

用Matlab求解差分方程问题一、一阶线性常系数差分方程二、高阶线性常系数差分方程三、线性常系数差分方程组一、一阶线性常系数差分方程濒危物种的自然演变和人工孵化问题Florida沙丘鹤属于濒危物种，它在较好自然环境下，年均增长率仅为1.94%，而在中等和较差环境下年均增长率分别为-3.24%和-3.82%，如果在某自然保护区内开始有100只鹤，建立描述其数量变化规律的模型，并作数值计算。模型建立记第k年沙丘鹤的数量为xk,年均增长率为r，则第k+1年鹤的数量为xk+1=(1+r)xkk=0,1,2······已知x0=100,在较好，中等和较差的自然环境下r=0.0194,-0.0324,和-0.0382我们利用Matlab编程，递推20年后观察沙丘鹤的数量变化情况Matlab实现首先建立一个关于变量n，r的函数functionx=sqh(n,r)a=1+r;x=100;fork=1:nx(k+1)=a*x(k);end在command窗口里调用sqh函数k=(0:20)';y1=sqh(20,0.0194);y2=sqh(20,-0.0324);y3=sqh(20,-0.0382);round([k,y1',y2',y3'])利用plot绘图观察数量变化趋势可以用不同线型和颜色绘图rgbcmykw分别表示红绿兰兰绿洋红黄黑白色：+o*.Xsd表示不同的线型plot(k,y1,k,y2,k,y3)在同一坐标系下画图plot(k,y2,':')plot(k,y2,'--')plot(k,y2,'r')plot(k,y2,'y')plot(k,y2,'y',k,y1,':')plot(k,y2,k,y1,':')plot(k,y2,'oy',k,y1,':')用gtext(‘r=0.0194’),gtext(‘r=-0.0324’),gtext(‘r=-0.0382’)在图上做标记。人工孵化是挽救濒危物种的措施之一，如果每年孵化5只鹤放入保护区，观察在中等自然条件下沙丘鹤的数量如何变化Xk+1=aXk+5,a=1+r如果我们想考察每年孵化多少只比较合适，可以令Xk+1=aXk+b,a=1+rfunctionx=fhsqh(n,r,b)a=1+r;X=100;Fork=1:nX(k+1)=a*x(k)+b;endk=(0:20);%一个行向量y1=(20,-0.0324,5);也是一个行向量round([k’,y1’])对k,y1四舍五入，但是不改变变量的值plot(k,y1)ky1是行向量列向量都可以也可以观察200年的发展趋势，以及在较差条件下的发展趋势，也可以考察每年孵化数量变化的影响。一阶线性常系数差分方程的解、平衡点及其稳定性自然环境下,b=0人工孵化条件下令xk=xk+1=x得差分方程的平衡点k→∞时，xk→x,称平衡点是稳定的0kkxax10(1)kkkxaxbaa011kkaaxba1bxa1kkxaxb高阶线性常系数差分方程如果第k+1时段变量Xk+1不仅取决于第k时段变量Xk，而且与以前时段变量有关，就要用高阶差分方程来描述一年生植物的繁殖一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季产种，没有腐烂，风干，被人为掠取的那些种子可以活过冬天，其中一部分能在第2年春季发芽，然后开花，产种，其中的另一部分虽未能发芽，但如又能活过一个冬天，则其中一部分可在第三年春季发芽，然后开花，产种，如此继续，一年生植物只能活1年，而近似的认为，种子最多可以活过两个冬天，试建立数学模型研究这种植物数量变化的规律，及它能一直繁殖下去的条件。模型及其求解记一棵植物春季产种的平均数为c,种子能活过一个冬天的(1岁种子)比例为b,活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天的（2岁种子）比例仍为b,1岁种子发芽率a1，2岁种子发芽率a2。设c,a1,a2固定，b是变量，考察能一直繁殖的条件记第k年植物数量为Xk，显然Xk与Xk-1,Xk-2有关，由Xk-1决定的部分是a1bcXk-1,由Xk-2决定的部分是a2b(1-a1)bcXk-2Xk=a1bcXk-1+a2b(1-a1)bcXk-2Xk=a1bcXk-1+a2b(1-a1)bcXk-2实际上，就是Xk=pXk-1+qXk-2我们需要知道x0,a1,a2,c,考察b不同时，种子繁殖的情况。在这里假设X0=100,a1=0.5,a2=0.25,c=10,b=0.18~0.20这样可以用matlab计算了Xk=a1bcXk-1+a2b(1-a1)bcXk-2Functionx=zwfz(x0,n,b)C=10;a1=0.5;a2=0.25;p=a1*b*c;q=a2*b*(1-a1)*b*c;X1=x0;X2=p*(x1);fork=3:nX(k)=p*(xk-1)+q*(xk-2);endK=(0:20)’;Y1=zwfz(100,21,0.18);Y2=zwfz(100,21,0.19);Y3=zwfz(100,21,0,20);Round([k,y1’,y2’,y3’])Plot(k,y1,k,y2,’:’,k,y3,’o’),Gtext(‘b=0.18’),gtext(‘b=0.19’),gtext(‘b=0.20’)结果分析：Xk=pXk-1+qXk-2(1)x1+px0=0(2)对高阶差分方程可以寻求形如的解。代入(1)式得称为差分方程的特征方程。差分方程的特征根：方程(1)的解可以表为C1,c2由初始条件x0,x1确定。kkx20pq21,242ppq1122kkkxcc1,21,0()kxk本例中，用待定系数的方法可以求出b=0.18时,c1=95.64,c2=4.36，这样实际上，植物能一直繁殖下去的条件是b0.19112(,)(0.9430,0.0430)95.64(0.9430)4.36(0.0430)kkkx1,21,()kxk1,25102b线性常系数差分方程组汽车租赁公司的运营一家汽车租赁公司在3个相邻的城市运营，为方便顾客起见公司承诺，在一个城市租赁的汽车可以在任意一个城市归还。根据经验估计和市场调查，一个租赁期内在A市租赁的汽车在A,B,C市归还的比例分别为0.6,0.3,0.1;在B市租赁的汽车归还比例0.2,0.7,0.1;C市租赁的归还比例分别为0.1,0.3,0.6。若公司开业时将600辆汽车平均分配到3个城市，建立运营过程中汽车数量在3个城市间转移的模型，并讨论时间充分长以后的变化趋势。0.60.3ABCABCABC假设在每个租赁期开始能把汽车都租出去，并都在租赁期末归还0.10.70.20.10.60.30.1模型及其求解记第k个租赁期末公司在ABC市的汽车数量分别为x1(k),x2(k),x3(k)（也是第k+1个租赁期开始各个城市租出去的汽车数量），很容易写出第k+1个租赁期末公司在ABC市的汽车数量为(k=0,1,2,3···)112321233123(1)0.6()0.2()0.1()(1)0.3()0.7()0.3()(1)0.1()0.1()0.6()xkxkxkxkxkxkxkxkxkxkxkxk用矩阵表示用matlab编程，计算x(k),观察n年以后的3个城市的汽车数量变化情况112233(1)0.60.20.1()(1)0.30.70.3()(1)0.10.10.6()xkxkxkxkxkxkfunctionx=czqc(n)A=[0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6];x(:,1)=[200,200,200]';fork=1:nx(:,k+1)=A*x(:,k);end如果直接看10年或者20年发展趋势，可以直接在命令窗口（commondwindow）作，而不是必须编一个函数112233(1)0.60.20.1()(1)0.30.70.3()(1)0.10.10.6()xkxkxkxkxkxkA=[0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6];n=10;fork=1:nx(:,1)=[200,200,200]';x(:,k+1)=A*x(:,k);endround(x)作图观察数量变化趋势012345678910120140160180200220240260280300x1(k)x2(k)x3(k)k=0:10;plot(k,x)，gridgtext('x1(k)'),gtext('x2(k)'),gtext('x3(k)')可以看到时间充分长以后3个城市汽车数量趋于180，300，120可以考察这个结果与初始条件是否有关若最开始600辆汽车都在A市，可以看到变化时间充分长以后，各城市汽车数量趋于稳定，与初始值无关直接输入x（:,1）的值即可x(:,1)=[600,0,0];round(x');plot(k,x),grid0123456789100100200300400500600按年龄分组的种群增长野生或饲养的动物因繁殖而增加，因自然死亡和人为屠杀而减少，不同年龄动物的繁殖率，死亡率有较大差别，因此在研究某一种群数量的变化时，需要考虑年龄分组的种群增长。将种群按年龄等间隔的分成若干个年龄组，时间也离散化为时段，给定各年龄组种群的繁殖率和死亡率，建立按年龄分组的种群增长模型，预测未来各年龄组的种群数量，并讨论时间充分长以后的变化趋势。模型及其求解设种群按年龄等间隔的分成n个年龄组，记i=1,2,···，n,时段记作k=0,1,2···,且年龄组区间与时段长度相等(若5岁为一个年龄组，则5年为一个时段)。以雌性个体为研究对象记在时段k第i年龄组的数量为xi(k);第i年龄组的繁殖率为bi，表示每个个体在一个时段内繁殖的数量；第i年龄组死亡率为di，表示一个时段内死亡数与总数的比，si=1-di是存活率。注意：第k时段的第i年龄组活过来的，是第k+1时段的第i+1年龄组Xi+1(k+1)=sixi(k)i=1，2,···,n-1,k=0,1,····各年龄组在第k时段繁殖的数量和是第k+1时段的第1年龄组X1(k+1)=k=0,1,····记在时段k种群各年龄组的数量为X(k)=[x1(k),x2(k),····,xn(k)]’1()niiibxk121121000000000nnnbbbbsLss这样，有x(k+1)=Lx(k),k=0,1,····给定在0时段，各年龄组的初始数量x(0)就可以预测任意时段k,各年龄组的数量设一种群分成5个年龄组，繁殖率b1=0,b2=0.2,,b3=1.8,b4=0.8,b5=0.2存活率s1=0.5,s2=0.8,s3=0.8,s4=0.1各年龄组现有数量都是100只，用matlab计算x(k)b=[0,0.2,1.8,0.8,0.2];s=diag([0.5,0.8,0.8,0.1]);L=[b;s,zeros(4,1)];x(:,1)=100*ones(5,1);n=30;fork=1:nx(:,k+1)=L*x(:,k);endround(x)k=0:30;subplot(1,2,1),plot(k,x),grid将x(k)归一化后的向量记做x’(k),称为种群按年龄组的分布向量，即各年龄组在k时段在数量上占总数的百分比。y=diag(1./sum(x));%sum(x)对列求和Z=x*ySubplot(1,2,2),plot(k,z),grid结果分析：时间充分长以后，种群按年龄组的分布x’(k)趋向稳定。