新课标2016年高考专题讲座三

新课标2016年高考专题讲座三数列求和基本知识概述1．求数列的前n项和的方法(1)公式法①等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d.②等比数列的前n项和公式Sn＝na1q＝1a11－qn1－q＝a1－anq1－qq≠1(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.2．常见的裂项公式(1)1nn＋1＝1n－1n＋1；(2)1n＋n＋1＝n＋1－n.3.常用求和公式：:①3211nkk…2)1(nnn②531)12(1nkk…2)12(nn③64221nkk…)1(2nnn④2112212nkk…1221nn⑤nnkk211211⑥22212321nkk…6)12)(1(2nnnn⑦33313321nkk…4)1(223nnn⑧2111xxxnkk…xxxnn111⑨2321qpqppnnn…qpqpqpqnnnn12解题方法指导题型一分组转化求和【例1】已知数列{an}是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{an}的通项公式并求其前n项和Sn.【跟踪训练1】求和Sn＝1＋)211(＋)41211(＋…＋1＋12＋14＋…＋12n－1.题型二错位相减法求和【例2】已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Sn.【跟踪训练2】已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列}2{1nna的前n项和．题型三裂项相消法求和【例3】在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S2n＝an)21(ns(1)求Sn的表达式；(2)设bn＝Sn2n＋1，求{bn}的前n项和Tn.【跟踪训练3】已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn＝anan＋12，n∈N＋.(1)求证：数列{an}是等差数列；(2)设bn＝12Sn，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.【典型例题】已知数列{an}的前n项和Sn＝－12n2＋kn(其中k∈N＋)，且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，并求an；(2)求数列9－2an2n的前n项和Tn.题型四综合例题选评【例4】设等比数列}{na的公比为q，前n项和Sn0（n=1，2，…）（1）求q的取值范围；（2）设,2312nnnaab记}{nb的前n项和为Tn，试比较Sn和Tn的大小.【例5】设数列{an}的前n项和Sn=34an-312n+1+32,n=1,2,3,…..(I)求首项a1与通项an;(II)设Tn=nnS2,n=1,2,3,…..,证明:231iniT【例6】已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…（1）证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；（2）设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；（3）记bn=211nnaa，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+132nT=1.CFJY课堂专项基础训练一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共32分.只有一项符合题目要求.1．已知数列{an}：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若bn＝1anan＋1，那么数列{bn}的前n项和Sn为()A.nn＋1B.4nn＋1C.3nn＋1D.5nn＋1答案B2.已知数列{an}是等差数列，若a9＋3a110，a10·a110，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n等于()A．20B．17C．19D．21答案C3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列1anan＋1的前100项和为()A.100101B.99101C.99100D.101100答案A4.若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和Sn为()A．2n＋n2－1B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2D．2n＋n2－2答案C5.数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于()A．200B．－200C．400D．－400答案B6.已知函数f(n)＝n2当n为奇数时，－n2当n为偶数时，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于()A．0B．100C．－100D．10200答案B7.数列a1＋2，…，ak＋2k，…，a10＋20共有十项，且其和为240，则a1＋…＋ak＋…＋a10的值为()A．31B．120C．130D．185答案C8.数列an＝1nn＋1，其前n项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为()A．－10B．－9C．10D．9答案B9.设△AnBnCn的三边长分别为an、bn、cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1,2,3，…，若b1c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝cn＋an2，cn＋1＝bn＋an2，则()A．{Sn}为递减数列B．{Sn}为递增数列C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列答案B10.已知数列2008,2009,1，－2008，－2009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2014项之和S2014等于()A．2008B．2010C．1D．0答案B二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中的横线上.11.数列32，94，258，6516，…的前n项和Sn为________．答案nn＋12＋1－12n12.设f(x)＝4x4x＋2，若S＝f(12015)＋f(22015)＋…＋f(20142015)，则S＝________答案100713.(2012·课标全国)数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为________．答案183014.设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－12n，n∈N＋，则：(1)a3＝________；(2)S1＋S2＋…＋S100＝________.答案(1)－116(2)13)121(100三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（10分）已知数列{an}是首项为a1＝14，公比为q＝14的等比数列，设bn＋2＝3log41an(n∈N＋)，数列{cn}满足cn＝an·bn.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{cn}的前n项和Sn.16.（10分）若Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求等比数列S1，S2，S4的公比；(2)若S2＝4，求数列{an}的通项公式；(3)在(2)的条件下，设bn＝3anan＋1，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tnm20对所有n∈N＋都成立的最小正整数m.17.（12分）已知数列{an}的前n项和Sn，满足：Sn＝2an－2n(n∈N＋)．(1)求数列{an}的通项an；(2)若数列{bn}满足bn＝log2(an＋2)，Tn为数列{bnan＋2}的前n项和，求证：Tn≥12.18.直线ln：y＝x－2n与圆Cn：x2＋y2＝2an＋n交于不同的两点An，Bn，n∈N＋.数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝14|AnBn|2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝2n－1n为奇数，ann为偶数，求数列{bn}的前n项和Tn.