新课标七年级数学竞赛培训第28讲:计数方法菁优网©2010-2014菁优网新课标七年级数学竞赛培训第28讲:计数方法一、填空题(共9小题,每小题4分,满分36分)1.(4分)如图,从甲地到乙地共有4条路可走,从乙地到丙地有3条路可走,从甲地到丙地有5条路可走,那么从甲地到丙地共有_________条路可走.2.(4分)第一个口袋中装2个球,第二个口袋中装4个球,第三个口袋中装5个球,所有三个口袋中的球各不相同.(1)从口袋中任取一个球,共有_________种不同的取法.(2)从三个口袋中各取一个球,有_________种不同的取法.3.(4分)如图,在四个正方形拼接成的图形中,以这个十个点中任意三点为顶点,共能组成_________个等腰直角三角形.4.(4分)画一条直线,可将平面分成2个部分,画2条直线,最多可将平面分成4个部分,那么,画6条直线最多可将平面分成_________个部分.5.(4分)5人站成一排照相,其中一人必须站在中间,有_________种站法.6.(4分)在l到300这300个自然数中,不含有数字3的自然数有_________个.7.(4分)跳格游戏:如图,人从格外只能进入第1格;在格中,每次可向前跳l格或2格,那么人从格外跳到第6格可以有_________种方法.8.(4分)如图,由18个边长相等的正方形组成的长方形ABCD中,包含“※”在内的长方形及正方形一共有_________个.菁优网©2010-2014菁优网9.(4分)如图,图中阴影部分的面积S2=_________.二、选择题(共8小题,每小题3分,满分24分)10.(3分)右图中的小方格是边长为1的正方形,则从图中一共可以数出()个正方形.A.24B.210C.50D.9011.(3分)如图,一共能数出()个长方形(正方形也算作长方形)A.64B.63C.60D.4812.(3分)如图,两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转,旋转停止时,每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字,若左图轮子上方的箭头指着的数字为a,右图轮子上方的箭头指着的数字为b,数对(a,b)所有可能的个数为n,其中a+b恰为偶数的不同数对的参数为m,则m/n等于()A.B.C.D.13.(3分)如图,从A点到B点(只从左向右,从上到下),共有()种不同的走法.菁优网©2010-2014菁优网A.24B.20C.16D.1214.(3分)(2003•南宁)一条信息可通过如图的网络线由上(A点)往下向各站点传送.例如信息到b2点可由经a1的站点送达,也可由经a2的站点送达,共有两条途径传送.则信息由A点到达d3的不同途径共有()A.3条B.4条C.6条D.12条15.(3分)如图,图中不同的线段的条数有()A.52条B.63条C.141条D.154条16.(3分)平面内的9条直线任两条都相交,交点数最多有m个,最少有n个,则m+n等于()A.36B.37C.38D.3917.(3分)仪表板上有四个开关,如果相邻的两个开关不能同时是关的,那么所有不同的状态有()A.4种B.6种C.8种D.12种三、解答题(共8小题,满分90分)18.(11分)我们知道,两条直线相交,有且只有一个交点,三条直线相交,最多只有三个交点,那么,四条直线相交,最多有多少个交点?一般地,n条直线最多有多少个交点?说明理由.19.(11分)由0、1、2、3、4、5、6这7个数字,可以组成(1)多少个四位数,其中有多少个奇数,有多少个偶数?(2)多少个没有重复数字的四位数,其中有多少个奇数,多少个偶数?菁优网©2010-2014菁优网20.(11分)两条直线上各有n个点,用这n对点按如下规则连接线段:①同直线上的点不连接;②连接的任意两条线段可以有共同的端点,但不得有其它的端点;(1)画图说明当n=1、2、3时,连接的线段最多各有多少条?(2)由(1)猜想n(n为正整数)对点之间连接的线段最多有多少条,证明你的结论.(3)当n=2003时,所连接的线段最多有多少条?21.(11分)如图,左右相邻两点,上下相邻两点之间距离都等于1厘米,把这些点连接起来,作为三角形的顶点,那么可以组成多少个直角三角形?22.(11分)用数字0,1,2,3,4可以组成多少个(1)四位数?(2)四位偶数?(3)没有重复数字的四位数?(4)没有重复数字的四位偶数?23.(11分)平面上5个圆最多能把平面分成多少个部分?一般地,n个圆最多能把平面分成多少个部分?24.(12分)5个人站成一排照相.(1)若甲、乙两人必须相邻,则有多少不同的站队方法?(2)若甲、乙两人必不相邻,则有多少不同的站队方法?25.(12分)将编号为1,2,3,4,5的五个小球放入编号为1,2,3,4,5的五个盒子中,每个盒子只放入一个,①一共有多少种不同的放法?②若编号为1的球恰好放在了1号盒子中,共有多少种不同的放法?③若至少有一个球放入了同号的盒子中(即对号放入),共有多少种不同的放法?菁优网©2010-2014菁优网新课标七年级数学竞赛培训第28讲:计数方法参考答案与试题解析一、填空题(共9小题,每小题4分,满分36分)1.(4分)如图,从甲地到乙地共有4条路可走,从乙地到丙地有3条路可走,从甲地到丙地有5条路可走,那么从甲地到丙地共有17条路可走.考点:加法原理与乘法原理.菁优网版权所有分析:从甲地到丙地可分两类办法;直达和转乙地.注:计数方法原理属于组合数学这门范畴,随着计算机科学的迅猛发展,教学学科原有的平衡被打破了,组合数学这门古老的数学学科又焕发出新的活力.解答:解:甲地直达到丙地有5条路可走,甲地转乙地到丙地有4×3=12条路可走,则从甲地到丙地共有5+12=17条路可走.故答案为:17.点评:本题考查了加法原理与乘法原理,使用乘法原理与加法原理的不同之处在于:在用加法原理时,完成一件事有几类方法,不论用哪一类方法,都能完成这件事;而用乘法原理时,完成一件事情可分为几步,只有每步都完成了,这件事情才得以完成.2.(4分)第一个口袋中装2个球,第二个口袋中装4个球,第三个口袋中装5个球,所有三个口袋中的球各不相同.(1)从口袋中任取一个球,共有11种不同的取法.(2)从三个口袋中各取一个球,有40种不同的取法.考点:加法原理与乘法原理.菁优网版权所有专题:计算题.分析:(1)根据加法原理可知第一个口袋有2种不同的取法,第二个口袋有4种不同的取法,第三个口袋有5种不同的取法,相加即可;(2)根据乘法原理可知第一个口袋有2种不同的取法,第二个口袋有4种不同的取法,第三个口袋有5种不同的取法,相乘即可.解答:解:(1)由加法原理可得2+4+5=11种;(2)由乘法原理可得2×4×5=40种.故答案为11;40.点评:本题考查了加法原理与乘法原理的运用,是基础题型,较简单.3.(4分)如图,在四个正方形拼接成的图形中,以这个十个点中任意三点为顶点,共能组成32个等腰直角三角形.菁优网©2010-2014菁优网考点:等腰三角形的判定;正方形的性质.菁优网版权所有专题:推理填空题.分析:分别找出以各角为直角顶点的等腰直角三角形的个数,再求出其和即可.解答:解:以A1为直角顶点的等腰直角三角形有2个,以A2为直角顶点的等腰直角三角形有1个,以A3为直角顶点的等腰直角三角形有4个,以A4为直角顶点的等腰直角三角形有4个,以A5为直角顶点的等腰直角三角形有1个,以A6为直角顶点的等腰直角三角形有2个,以A7为直角顶点的等腰直角三角形有6个,以A8为直角顶点的等腰直角三角形有3个,以A9为直角顶点的等腰直角三角形有3个,以A10为直角顶点的等腰直角三角形有6个,故答案为32个.点评:此题主要考查学生对正文形的性质及等腰三角形的判定的综合运用.4.(4分)画一条直线,可将平面分成2个部分,画2条直线,最多可将平面分成4个部分,那么,画6条直线最多可将平面分成22个部分.考点:直线、射线、线段.菁优网版权所有专题:规律型.分析:根据一条直线、两条直线、三条直线的情况可总结出规律,从而可得出答案.解答:解:由图可知,(1)有一条直线时,最多分成2部分;(2)有两条直线时,最多分成2+2=4部分;(3)有三条直线时,最多分成1+1+2+3=7部分;(4)设直线条数有n条,分成的平面最多有m个.有以下规律:m=1+1+…+(n﹣1)+n=+1.∴画6条直线最多可将平面分成+1=22.故答案为:22.点评:本题考查直线与平面的关系,有一定难度,注意培养由特殊到一般再到特殊的探究意识.5.(4分)5人站成一排照相,其中一人必须站在中间,有24种站法.考点:加法原理与乘法原理.菁优网版权所有专题:计算题.分析:可分4个位置,得到每个位置可能的情况数,相乘即可.解答:解:还剩下4个位置,第一个位置4个人都有可能在,则第二个位置将有3个人可能,菁优网©2010-2014菁优网第3个位置将有2个人的可能,第四个位置将只有1个人的可能,所以共有4×3×2×1=24种站法.故答案为24.点评:本题考查了用乘法法则解决相关问题;得到每个位置可能的情况数是解决本题的关键.6.(4分)在l到300这300个自然数中,不含有数字3的自然数有242个.考点:加法原理与乘法原理.菁优网版权所有专题:分类讨论.分析:分三种情况:一位数,有1,2,4,5,6,7,8,9共8个;二位数,在十位上出现的数字有1,2,4,5,6,7,8,9共8种情形,在个位上出现的数字除以上八个数字外还有0,共9种情形,故二位数有8×9=72个;三位数在百位上出现的数字有1,2两种情形,在十位、个位上出现的数字则有0,1,2,4,5,6,7,8,9九种情形,故三位数有2×9×9=162个.将他们相加即可.解答:解:解法1:将符合要求的自然数分为以下三类:(1)一位数,有1,2,4,5,6,7,8,9共8个.(2)二位数,在十位上出现的数字有1,2,4,5,6,7,8,9共8种情形,在个位上出现的数字除以上八个数字外还有0,共9种情形,故二位数有8×9=72个.(3)三位数,在百位上出现的数字有1,2两种情形,在十位、个位上出现的数字则有0,1,2,4,5,6,7,8,9九种情形,故三位数有2×9×9=162个.因此,从1到300的自然数中完全不含数字3的共有8+72+162=242个.解法2:将0到299的整数都看成三位数,其中数字3不出现的,百位数字可以是0,1或2三种情况.十位数字与个位数字均有九种,因此除去0共有3×9×9﹣1=242(个).故答案为:242.点评:本题考查了加法原理与乘法原理,将完全不含有数字3的从1到300的自然数分类讨论相加即可得出结果.7.(4分)跳格游戏:如图,人从格外只能进入第1格;在格中,每次可向前跳l格或2格,那么人从格外跳到第6格可以有8种方法.考点:加法原理与乘法原理.菁优网版权所有专题:规律型;分类讨论.分析:每次向前跳l格,有唯一的跳法;仅有一次跳2格,其余每次向前跳l格,有4种的跳法;有两次跳2格,其余每次向前跳l格,有3种的跳法.根据加法原理相加即可.解答:解:每次向前跳l格,有唯一的跳法;仅有一次跳2格,其余每次向前跳l格,有4种的跳法;有两次跳2格,其余每次向前跳l格,有3种的跳法.则共有1+4+3=8种.故答案为:8.点评:本题是规律性题目,主要考查了加法原理的应用,属于竞赛题型,有一定难度.解答此题的关键是能够根据所给的条件,分析出人从格外跳到第6格的方法有两类,而由加法原理知两类从格外跳到第6格方法数菁优网©2010-2014菁优网之和.8.(4分)如图,由18个边长相等的正方形组成的长方形ABCD中,包含“※”在内的长方形及正方形一共有30个.考点:加法原理与乘法原理.菁优网版权所有专题:规律型.分析:根据图示仔细观察,要注意分别找到