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1顶点侧面斜高高侧棱底面OCDABHS一、空间几何体（要求：理解+模型记忆+熟练运用）（一）空间几何体的结构特征（1）多面体：由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。旋转体：一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。这条定直线称为旋转体的轴。（2）柱，锥，台，球的结构特征1.棱柱1.1棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：①底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱②四棱柱底面为平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直平行六面体底面为矩形长方体底面为正方形正四棱柱侧棱与底面边长相等正方体1.3棱柱的性质：①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。1.4侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.补充知识点长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如上图】222211ACABADAA1.5面积、体积公式：2SchSchSSh直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V（其中c为底面周长，h为棱柱的高）2.圆柱2.1圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是全等的圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形.2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形.2.4面积、体积公式：S圆柱侧=2rh；S圆柱全=222rhr，V圆柱=S底h=2rh（其中r为底面半径，h为圆柱高）3.棱锥3.1棱锥：有一个面是多边形，其余各面是，有一个公共顶点的三角形由这些面所成的几何体叫做棱锥。正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。3.2棱锥的性质：①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；③正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半。这些元素构成四个直角三角形（如上图），请写出这四个直角三角形：,,,SOBSOHSBHOBH3.3侧面展开图：正n棱锥的侧面展开图是有n个全等的等腰三角形组成的。3.4面积、体积公式：S正棱锥侧=12ch，S正棱锥全=12chS底，V棱锥=13Sh底.（其中c为底面周长，h侧面斜高，h棱锥的高）4.圆锥4.1圆锥：以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。4.2圆锥的性质：①平行于底面的截面都是圆，且截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；②轴截面是等腰三角形；如图：SAB③满足勾股定理的三个量的关系是：如图：222lhr.4.3圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。4.4面积、体积公式：S圆锥侧=rl，S圆锥全=()rrl，V圆锥=213rh（其中r为底面半径，h为圆锥的高，l为母线长）5.棱台5.1棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台.5.2正棱台的性质：①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；②正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边形；③如右图：四边形OMNO，OBBO都是直角梯形；④棱台经常补成棱锥研究.如右上图：SOM与SON，SOB与SOB相似。注意考虑相似比.5.3棱台的表面积、体积公式：SSS全上底下底＝S＋＋侧，1S``)3VSSSh棱台＝（＋，（其中,`SS是上，下底面面积，h为棱台的高）6.圆台6.1圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，我们把底面与截面之间的部分叫做圆台.6.2圆台的性质：①圆台的上下底面，与底面平行的截面都是圆；②圆台的轴截面是等腰梯形；③圆台经常补成圆锥来研究。如右图：`SOASOB与相似，注意相似比的应用。.l侧棱侧面底面E'B'D'C'A'F'BDEAFCC1D1B1CDABA1上底面斜高侧面侧棱顶点高下底面NMA'C'B'D'OCDABSO'l轴截面rRh下底面上底面侧面轴母线DOBO'ACS轴截面底面侧面轴母线C'A'AOCO'B'Brlh轴截面底面顶点轴侧面母线AOBS2正视图侧视图俯视图6.3圆台的侧面展开图是一个扇环；6.4圆台的表面积、体积公式：，V圆2211S``))33SSShrrRRh＝（＋＝（，22()SrRRrl全＝（其中r，R为上下底面半径，h为高）7.球7.1球：定义一：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球。定义二：：空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球；7.2球的性质：①球心与截面圆心的连线垂直于截面；②22rRd其中，球心到截面的距离为d、球的半径为R、截面的半径为r7.3球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切.注：球的有关问题转化为圆的问题解决.7.4球面积、体积公式：2344,3SRVR球球（其中R为球的半径）（二）空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。2.三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；正视图——光线从几何体的前面向后面作正投影，得到的投影图；侧视图——光线从几何体的左面向右面作正投影，得到的投影图；正视图——光线从几何体的上面向下面作正投影，得到的投影图；画图和解题原则：“长对正，高平齐，宽相等”注：正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。3.直观图：3.1直观图：观察者着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。通常是在平行投影下画出的空间图形。3.2斜二测法：step1：在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy，（即取90xoy）；step2：画直观图时，把它画成对应的轴'',''oxoy，取'''45(135)xoyor，它们确定的平面表示水平平面；step3：在坐标系'''xoy中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行于x轴（或在x轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴（或在y轴上）的线段长度减半。结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的24倍.解决两种常见的题型时应注意：（1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑俯视图.（2）画三视图时，能看见的轮廓线画成实线，不能看见的轮廓线画成虚线。练一练：（1）正方形边长扩大n倍，其面积扩大倍；长方体棱长扩大n倍，其表面积扩大倍，体积扩大倍。（2）圆半径扩大n倍，其面积扩大倍；球半径扩大n倍，其表面积扩大倍，体积扩大倍。（3）圆柱的底面不变，体积扩大到原来的n倍，则高扩大到原来的倍；反之，高不变，底面半径扩大到原来的倍。（4）正方体的内切球和外接球的半径之比为（5）如右图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A.3B.23C.33D.433．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．25B．50C．125D．都不对4．已知圆台的上下底面半径分别是r，R，且侧面面积等于两底面面积之和，求圆台的母线长l。5．如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求长方体的体积与剩下的几何体的体积的比。6．各面均为等边三角形的四面体S-ABC的棱长为1，求它的表面积与体积。7．直角三角形三边长分别是3cm,4cm,5cm，绕着三边旋转一周分别形成三个几何体，求出它们的表面积和体积。rdR球面轴球心半径AOO1BA'C'D'B'CDOABOC'A'Ac