新课标高三数学第一轮复习单元讲座第03讲函数的基本性质

第1页共14页普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座3）—函数的基本性质一．课标要求1．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；2．结合具体函数，了解奇偶性的含义；二．命题走向从近几年来看，函数性质是高考命题的主线索，不论是何种函数，必须与函数性质相关联，因此在复习中，针对不同的函数类别及综合情况，归纳出一定的复习线索。预测2007年高考的出题思路是：通过研究函数的定义域、值域，进而研究函数的单调性、奇偶性以及最值。预测明年的对本讲的考察是：（1）考察函数性质的选择题1个或1个填空题，还可能结合导数出研究函数性质的大题；（2）以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数的性质，以组合形式、一题多角度考察函数性质预计成为新的热点。三．要点精讲1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意：○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；○2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数。（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；②设()fx，()gx的定义域分别是12,DD，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇第2页共14页2．单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)（f(x1)f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；注意：○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；○2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。（3）设复合函数y=f[g(x)]，其中u=g(x),A是y=f[g(x)]定义域的某个区间，B是映射g:x→u=g(x)的象集：①若u=g(x)在A上是增（或减）函数，y=f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y=f[g(x)]在A上是增函数；②若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y=f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y=f[g(x)]在A上是减函数。（4）判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：○1任取x1，x2∈D，且x1x2；○2作差f(x1)－f(x2)；○3变形（通常是因式分解和配方）；○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。（5）简单性质①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反；③在公共定义域内：增函数)(xf增函数)(xg是增函数；减函数)(xf减函数)(xg是减函数；增函数)(xf减函数)(xg是增函数；减函数)(xf增函数)(xg是减函数。3．最值（1）定义：最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的第3页共14页x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。注意：○1函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；○2函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：○1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；○2利用图象求函数的最大（小）值；○3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；4．周期性（1）定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数；（2）性质：①f(x+T)=f(x)常常写作),2()2(TxfTxf若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；②若周期函数f(x)的周期为T，则f(ωx)（ω≠0）是周期函数，且周期为||T。四．典例解析题型一：判断函数的奇偶性例1．讨论下述函数的奇偶性：);111(1)()3(;)0)(1(1)0(0)0)(1(1)()2(;22116)()1(222xxogxfxxxnxxxxnxfxfxxx);0(||)()4(22aaaxxaxf常数解：（1）函数定义域为R，)(2211614161211161222116)(xfxfxxxxxxxxxxx，第4页共14页∴f(x)为偶函数；（另解）先化简：14414116)(xxxxxf，显然)(xf为偶函数；从这可以看出，化简后再解决要容易得多。（2）须要分两段讨论：①设);()1(1111)1(1)(,0,0xfxxnxxnxxnxfxx②设)()1(1111)1(1)(,0,0xfxxnxxnxxnxfxx③当x=0时f(x)=0，也满足f(－x)=－f(x)；由①、②、③知，对x∈R有f(－x)=－f(x)，∴f(x)为奇函数；（3）10101222xxx，∴函数的定义域为1x，∴f(x)=log21=0(x=±1)，即f(x)的图象由两个点A（－1，0）与B（1，0）组成，这两点既关于y轴对称，又关于原点对称，∴f(x)既是奇函数，又是偶函数；（4）∵x2≤a2,∴要分a0与a0两类讨论，①当a0时，)],,0()0,[(||aaaaxaxa函数的定义域为xxaxfax22)(,0||，∴当a0时，f(x)为奇函数；,2,2,2)(,0||2122axaxaxxaxfax称的两点取定义域内关于原点对)(,0,03353)2()2(xfaafaf时当既不是奇函数，也不是偶函数.点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要第5页共14页保证定义域不变）。例2．(2002天津文.16)设函数f（x）在（－∞，+∞）内有定义，下列函数：①y=－|f（x）|；②y=xf（x2）；③y=－f（－x）；④y=f（x）－f（－x）。必为奇函数的有_____（要求填写正确答案的序号）答案：②④；解析：y=（－x）f［（－x）2］=－xf（x2）=－y；y=f（－x）－f（x）=－y。点评：该题考察了判断抽象函数奇偶性的问题。对学生逻辑思维能力有较高的要求。题型二：奇偶性的应用例3．（2002上海春，4）设f（x）是定义在R上的奇函数，若当x≥0时，f（x）=log3（1+x），则f（－2）=_____。答案：－1；解：因为x≥0时，f（x）=log3（1+x），又f（x）为奇函数，所以f（－x）=－f（x），设x＜0，所以f（x）=－f（－x）=－f（1－x），所以f（－2）=－log33=－1。点评：该题考察函数奇偶性的应用。解题思路是利用函数的奇偶性得到函数在对称区域上函数的取值。例4．已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(2+x)=f(2－x)，且f(x)是偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)=2x－1，求x∈[－4，0]时f(x)的表达式。解：由条件可以看出，应将区间[－4，0]分成两段考虑：①若x∈[－2，0]，－x∈[0，2]，∵f(x)为偶函数，∴当x∈[－2，0]时，f(x)=f(－x)=－2x－1,②若x∈[－4，－2)，∴4+x∈[0，2)，∵f(2+x)+f(2－x)，∴f(x)=f(4－x)，∴f(x)=f(－x)=f[4－（－x）]=f(4+x)=2（x+4）－1=2x+7；综上，.)02(12)24(72)(xxxxxf点评：结合函数的数字特征，借助函数的奇偶性，处理函数的解析式。题型三：判断证明函数的单调性例5．（2001天津，19）设0a，()xxeafxae是R上的偶函数。（1）求a的值；（2）证明()fx在(0,)上为增函数。第6页共14页解：（1）依题意，对一切xR，有()()fxfx，即1xxxxeaaeaeae。∴11()()xxaeae0对一切xR成立，则10aa，∴1a，∵0a，∴1a。（2）(定义法)设120xx，则12121211()()xxxxfxfxeeee2121121122111()(1)(1)xxxxxxxxxxxeeeeeee，由12210,0,0xxxx，得21120,10xxxxe，2110xxe，∴12()()0fxfx，即12()()fxfx，∴()fx在(0,)上为增函数。（导数法）∵1a，(0,)x∴211()1()()0xxxxxxefxeeeee∴()fx在(0,)上为增函数新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆点评：本题用了两种方法：定义法和导数法，相比之下导数法比定义法更为简洁。例6．已知f(x)是定义在R上的增函数，对x∈R有f(x)0，且f(5)=1，设F(x)=f(x)+)(1xf，讨论F(x)的单调性，并证明你的结论。解：这是抽角函数的单调性问题，应该用单调性定义解决。在R上任取x1、x2，设x1x2，∴f(x2)=f(x1)，],)()(11)][()([])(1)([])(1)([)()(2112112212xfxfxfxfxfxfxfxfxFxF∵f(x)是R上的增函数，且f(10)=1，∴当x10时0f(x)1,而当x10时f(x)1;第7页共14页①若x1x25，则0f(x1)f(x2)1,②∴0f(x1)f(x2)1,∴)()(1121xfxf0,∴F(x2)F(x1)；②若x2x15，则f(x2)f(x1)1,∴f(x1)f(x2)1,∴)()(1121xfxf0,∴F(x2)F(x1