新课程下立体几何若干问题的思考

新课程下立体几何若干问题的思考温岭市第二中学狄敏立体几何是高中数学非常经典的内容，它在考查学生的观察能力、思维能力和空间想象能力等方面具有独特的作用，也是历来高考的重点内容。其命题风格、考查形式，题型与分值基本保持稳定。2009年是浙江省采用数学新课程的第一次高考，虽说高考对立体几何的考查一直是以能力为主，对能力考查的要求有一年比一年提高的趋势。但新旧课程在内容、考试要求、教学要求、教材的编排体系等毕竟有相当大的改变，因此我们进行高三立体几何复习时，有必要对新旧教材以及近几年来的新旧课程的高考试题特点等进行研究，制定相应的复习策略。以下谈谈笔者的一些看法。一、原、新教材内容编排比较1、布局调整：旧教材立体几何内容只有一章，分为：一是空间直线和平面，二是空间向量，三是夹角与距离，四是简单多面体和球。新课程中将立体几何分成两部分：一是《必修2》，包括两个内容：简单几何体和点、直线、平面之间的位置关系；二是《选修2-1》中的空间向量与立体几何。2、新增内容：平行投影、中心投影，三视图。这些内容与义务教育阶段“空间与图形”中的“视图与投影”紧密衔接.3、删减内容:三垂线定理及其逆定理、多面体及欧拉公式。过去“三垂线定理”是整个立体几何内容的一个典型代表，处在整个立体几何知识的枢纽位置。在新课程《必修2》“点、直线、平面之间的位置关系”中虽然没有明确提到“三垂线定理”，但在选修2-1“空间向量与立体几何”中提到“能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）”。4、突出内容：空间向量在立体几何中的应用。突出了利用空间向量知识解决求空间角、空间距离、证明平行与垂直的问题，明确了对传统几何的向量化思想。同时也体现了对解决问题的方法上的灵活性，重点让学生掌握向量代数法，同时也兼顾传统几何综合推理方法。二、对新教材编排科学性的认识1、与传统的立体几何的结构体系相比，新课程中的立体几何的体系结构有重大改革。传统的立体几何内容，常从研究构成空间几何体的基本要素：点、直线和平面开始，讲述平面及其基本性质，点、直线、平面之间位置关系和有关公理、定理，再研究由它们组成的几何体，包括棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、台、球的结构特征、体积、表面积等等，基本上按照从局部到整体的原则。现在，先从对空间几何体的整体感受入手，再研究组成空间几何体的点、直线和平面。这种安排非常合理，它遵循人类认识世界的过程，也符合学生的认知特点。它有助于发展学生的空间观念、培养学生的空间想象能力、几何直观能力，适当减轻几何论证的难度，降低立体几何学习入门的门槛，提高学生学习立体几何的兴趣，同时对空间几何体有本质的认识。2、增加三视图的有关内容，对于进一步培养学生的空间想象能力和几何直观能力具有重要的促进作用。过去的“立体几何”内容相对来说，这方面比较薄弱。三视图的有关内容在一定程度上改善了这种状况。对图形既需要直观地感觉，也需要思辨地论证。学生通过“实物模型—三视图—直观图”这样一个相互转化的过程认识空间几何体，能有效地培养学生空间想象能力。只有这样，立体几何的教学目标才更加全面。3、随着空间向量的涌入和代数几何界限的淡化，用空间向量及其运算的向量方法（或坐标方法）处理有关垂直和平行问题成为了一种普适的方法，而用“三垂线定理及其逆定理”的综合方法就需要急流勇退。与以往的立体几何教学要求相比，新课程在几何推理证明方面的教学要求大大降低，削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明，减少了定理的数量，删去了大量的几何证明题，淡化了几何证明的技巧。在削弱证明的同时，加强了空间观念的培养，强调发展学生的空间想象能力，培养学生的推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力。三、几点复习建议1、用系统理论的观点整合复习内容系统论告诉我们：一个系统的功能不仅取决于它内部的要素，更取决与各要素之间的结构，具有良好结构的系统，往往会出现“整体大于部分之和”的效果。我们在立体几何中，内容的提炼与整合应当成为教学设计的核心，削枝强干、优化结构应当成为学习的重点，特别是内容的选择上，要注意目的性、系统性、概括性、针对性、层次性和可操作性。（1）知识内容网络化，结构化立体几何的复习要建立起完整的知识网络，这样便于记忆，便于提取，给人以“一览众山小”的感觉。（2）解题书写规范化，合理化。从近年立体几何解答题的答题情况来看，考生“会而不对，对而不全”的问题比较严重，很值得引起我们重视。因此，在平时训练中，我们应当培养规范答题的良好习惯。在传统的逻辑推理方法中的基本步骤是：“一作（作辅助线），二证明（如证明直线与平面所成的角），三求（求解角或距离等）”；在用向量代数法时，必须按照“一建系（建立空间直角坐标系），二求点的坐标，三求向量的坐标，四运用向量公式求解”。又如在证明线面垂直时，应证线线垂直时，学生容易只证与平面内一条直线垂直就下结论，这里应强调证两条相交直线，缺一不可；用空间向量解决问题时，需要用建立坐标系时，一定要说清楚，写解题过程的最后都必须写结题语。2、重视解题思维习惯的形成，培养学生的空间思维能力。空间向量的引入，为解决立体几何中空间图形的位置关系和度量问题提供了十分有效的工具。特别是用数量积求异面直线所成的角、斜线和平面所成的角、二面角的平面角；用向量在法向量上的投影求点到平面的距离，异面直线间的距离；用待定系数法求解立几开放题、探索题等，确实体现了它的强大功能。但不可否认，传统方法也有它的优越性，一旦空间的位置关系搞清楚了，计算量较小，正确率高。这“数”和“形”两条路应正确理解，合理选择，克服片面迷信向量法的应用。3、加强学生对探索性题型的强化训练，注重知识间的转化和迁移，培养学生的综合能力。高考命题由考查知识向考查能力方向转变，题目新颖，灵活性强，图形的展开与折叠问题、探索性问题、与其他知识的相结合都是高考选题的一个主要题源，也是近几年高考命题中对学生逻辑推理和逻辑表达能力、计算能力、空间想象能力和应变能力考查的综合表现。（2008年高考浙江10）．如图，AB是平面的斜线段．．．，A为斜足，若点P在平面内运动，使得ABP△的面积为定值，则动点P的轨迹是（）ABP（第10题）A．圆B．椭圆C．一条直线D．两条平行直线（2009年浙江高考数学理第17题）如图，在长方形ABCD中，2AB，1BC，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点．现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC．在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足．设AKt，则t的取值范围是．【解析】本小题考察空间图形的翻折，直线与平面、平面与平面垂直以及三角函数知识的综合应用，本题考查知识点多，对逻辑思维能力及运算能力、空间想象能力等都进行了考查，事实上，作为一个填空题，此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，1t，随着F点到C点时，因,,CBABCBDKCB平面ADB，即有CBBD，对于2,1,3CDBCBD，又1,2ADAB，因此有ADBD，则有12t，因此t的取值范围是1,12。或者：方法二121.2145.5411215521225521122121211211.111cos,11,,.1,1,,,,21,).552,22(cos,.//.,,,22222222222tttttttxttxtxxxtxxAPxAHAPFRtADHRtADPFAPFADHxxDHxAFADFRtHKAHAFDHABCDKxxDFFABPABBCFPFHKHAFDHDADF即即都是直角三角形与中在则平面则设则设于点交点作过连结垂足为作内过在平面如图(2009年浙江高考第２０题)如图，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，,,EFO分别为PA，PB，AC的中点，16AC，10PAPC．（I）设G是OC的中点，证明：//FG平面BOE；（II）证明：在ABO内存在一点M，使FM平面BOE，并求点M到OA，ABCDFKPHOB的距离．命题立意：本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。（2009年高考福建卷）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MDABCD平面，NBABCD平面，且MD=NB=1，E为BC的中点（１）求异面直线NE与AM所成角的余弦值（２）在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由w.w.w.k（2009年高考海南卷）如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的2倍，P为侧棱SD上的点。（Ⅰ）求证：AC⊥SD；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。四、几点教学反思（1）学生学习立体几何的兴趣有较大提高，但分层现象不够明显。这跟教材的展现形式、教学方式、学习方式的变化有较大关系。教材降低了难度，学生积极参与知识的发生过程，让不同程度的学生都得到收获。（2）学生的逻辑推理能力有所下降。但学生的动手操作能力、合情推理能力有所增强。由于课时少，内容多，教师的教学在赶进度，没有足够的时间训练学生的几何逻辑推理能力。导致学生对立体几何的证明会而不全面。（3）在计算面积、体积方面，学生学得较轻松。因为不需要跟以往一样推导面积、体积公式，也不需要记忆公式，重于应用公式。但是涉及到求高、边长等问题学生无从下手。因为在学习面积、体积之前，学生没有学习点、线、面的关系，如何解决这一问题？有待探讨。（4）关于求角、求距离方面，新教材引入了向量方法，降低了难度，受到了学生的青睐。但随之而来的计算量增大了，对学生的运算能力要求有了较大提高，学生必须有扎实的运算功底，看准每一个点，算好每一个步骤，确保万无一失，否则就功亏一篑。这里考虑是否有必要穿插传统方法的教学呢？也有待探讨。