一级倒立摆物理建模、传递函数和状态方程的推导

一级倒立摆物理建模和传递函数的推导设定：M小车质量m摆杆质量b小车摩擦系数l摆杆转动轴心到杆质心的长度I摆杆惯量F加在小车上的力x车位置φ摆杆与垂直向上方向的夹角θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）图1、2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相Nφφvl摆杆xF小车导轨图1直线一级倒立摆模型θPPNFb.x=fNmg图2小车及摆杆受力分析I..互作用。分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：NxbFxM(1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：)sin(22lxdtdmN(2)即：sincos2mlmlxmN(3)把这个等式代入式(3)中，就得到系统的第一个运动方程：FmlmlxbxmMsincos)(2(4)对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程:)cos(22ldtdmmgP(5)cossin2mlmlmgP(6)力矩平衡方程：INlPlcossin(7)此方程中力矩的方向，由于,coscos,sinsin,故等式前面有负号。合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：cossin)(2xmlmglmlI(8)设θ=π+φ,假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即c1，则可以进行近似处理：1cos,sin,0)(2dtd。用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下：{umlxbxmMxmlmglmlI)()(2(9)假设初始条件为0，对式(9)进行拉普拉斯变换：{)()()()()()()()()(22222sUssmlssbXssXlMssmlXsmglssmlI(10)由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到：)(])([)(22ssgmlmlIsX(11)或mglsmlImlssXs222)()()((12)令xv，则有：mglsmlImlsVs22)()()((13)把上式代入方程组的第二个方程，得到：)()()(])([)(])()[(222222sUssmlsssgmlmlIbsssgmlmlImM(14)整理后得到传递函数：qbmglsqmglmMsqmlIbssqmlsUs2223)()()()((15)其中])())([(22mlmlImMq。系统物理参数：M小车质量1.096Kgm摆杆质量0.109Kgb小车摩擦系数0.1N/m/secl摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25mI摆杆惯量0.0034Kg*m*m设系统状态空间方程为：DuCXYBuAXX对x，解代数方程，得到解如下：uMmlmMImlMmlmMImMmgxMmlmMImlbuMmlmMImlIMmlmMIglmxMmlmMIbmlIxxx2222222222)()()()()()()()()((17)整理后得到系统状态空间方程：2222222222)(0)()(00)()()(010000)()()(00010MmlmMImlMmlmMImlIxxMmlmMImMmgMmlmMImlbMmlmMIglmMmlmMIbmlIxxuuxxxy0001000001(18)对于质量均匀分布的摆杆有：231mlI,由(9)的第一个方程xmlmglmlI)(2，可得到：)31(22mlml-mglmlx化简：=llg4343x（19）设X=,,,,xx'u=x,有：'4301004300100000000010ulxxlgxx'0001000001uxxxy（20）