十招搞定多面体的外接球、内切球问题

解决多面体的外接球、内切球问题的十种方法题型一直角四面体的外接球补成长方体，长方体对角线长为球的直径1．三棱锥PABC中，ABC为等边三角形，2PAPBPC，PAPB，三棱锥PABC的外接球的表面积为（）A．48B．12C．43D．323解析:由题意得：,,PAPBPC两两相互垂直，以,,PAPBPC为边补成一个正方体，其外接球就为三棱锥PABC的外接球，半径为3，表面积为24(3)12，选B．C2.在正三棱锥ABCD中，,EF分别是,ABBC的中点，EFDE，若2BC，则ABCD外接球的表面积为AB2C3D4C3.在正三棱锥SABC中，,MN分别是,SCBC的中点，且MNAM，若侧棱23SA，则正三棱锥SABC外接球的表面积为A.12B.32C.36D.484.（2019全国Ⅰ理12）已知三棱锥ABCP的四个顶点在球O的球面上，PCPBPA，ABC是边长为2的正三角形，FE,分别是ABPA,的中点，090CEF，则球O的体积为A．68B．64C．62D．6解析：由PAPBPC及ABC△是边长为2的正三角形可知，三棱锥PABC为正三棱锥，则顶点P在底面的射影O为底面三角形的中心.连接BO并延长，交AC于G，则ACBG，又,POACPOBGOI，可得AC⊥平面PBG，则PB⊥AC.因为E，F分别是PA，AB的中点，所以EFPBP.又90CEF，即EF⊥CE，所以PB⊥CE，得PB⊥平面PAC.所以PB⊥PA，PB⊥PC.又因为PAPBPC，ABC△是正三角形，所以PACPBCPAB△≌△≌△，故PAPC所以正三棱锥PABC的三条侧棱两两互相垂直.把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，其直径为正方体的体对角线的长度，即2226dPAPBPC,半径为62，则球O的体积为346π6π32．故选D．5.设DCBA,,,是半径为2的球面上的四个不同点，且满足0ACAB，0ADAB，0ACAB，用321,,SSS分别表示ABC、ACD、ABD的面积，则321SSS的最大值是________．答案8解析由AB→·AC→＝0，AD→·AC→＝0，AB→·AD→＝0，∴AB→⊥AC→，AD→⊥AC→，AB→⊥AD→，由点A，B，C，D构成的三棱锥，可以补形成一个长方体，该长方体的外接球半径为2，∴AB2＋AC2＋AD2＝(2＋2)2＝16，即AB2＋AC22＋AB2＋AD22＋AD2＋AC22＝16≥AB·AC＋AB·AD＋AC·AD，∴S1＋S2＋S3＝12(AB·AC＋AB·AD＋AC·AD)≤12×16，当且仅当AB＝AC＝AD＝433时，S1＋S2＋S3取得最大值8.题型二等腰四面体的外接球补成长方体，长方体相对面的对角线为等腰四面体的相对棱1．在四面体ABCD中，若3ABCD，2ACBD，5ADBC，则四面体ABCD的外接球的表面积为()A．2B．4C．6D．8解：如下图所示，将四面体ABCD放在长方体AEBFGCHD内，设该长方体的长、宽、高分别为x、y、z，则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为R，由勾股定理得222222222345ABxyACxzADyz，上述三个等式全加得2222()12xyz，所以，该四面体的外接球直径为22226Rxyz，因此，四面体ABCD的外接球的表面积为224(2)6RR，故选：C．2．ABCD，，，四点在半径为225的球面上，且5ACBD，41ADBC，ABCD，则三棱锥DABC的体积是____________．【答案】2秒杀法：根据题意构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥DABC，如图所示，设长方体的长、宽、高分别为abc，，，则有2222222254150abacabc，解得4a，3b，5c，所以三棱锥的体积为435－11443532＝20．点拨：3.在三棱锥ABCS中，底面ABC的每个顶点处的三条棱两两所成的角之和均为0180，ABC的三条边长分别为3AB，5AC，6BC，则三棱锥ABCS的体积（）A．22B．10C．232D．234解：∵底面△ABC的每个顶点处的三条棱两两所成的角之和均为180°，∴三棱锥的三个侧面与底面ABC全等．∴三棱锥S﹣ABC可看做是面对角线分别为6,5,3的长方体沿着面对角线切去四个小棱锥得到的几何体．设长方体的棱长为zyx,,，则6y53222222zzxyx，解得421222zyx，∴22xyz∴三棱锥的体积3223142131xyzxyzxyzV故选C．题型三有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥，球心在公共斜边的中点处C1.在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角DACB，则四面体ABCD的外接球的体积为A.12125B.9125C.6125D.3125解：由于SA=AC=SB=BC=，SC=2，则SA2+AC2=SC2，SB2+BC2=SC2，即有SA⊥AC，SB⊥BC，取SC的中点O，连接OA，OB，则由直角三角形的斜边上的中线即为斜边的一半，可得OA=OB=OC=OS=25，即有球的半径r为1，则球的体积为6125．故选：C．B2.三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，且22SAACSBBC，4SC，则该球的体积为A2563B323C16D64解析：D3．在四面体SABC中，,2,2ABBCABBCSASC，二面角SACB的余弦值是33，则该四面体外接球的表面积是（）A．86B．6C．24D．6A4.在平面四边形ABCD中，1ABADCD，2BD，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体'ABCD，使平面'ABD平面BCD，若四面体'ABCD顶点都在同一个球面上，则该球的体积为A32B3C23D25．平行四边形ABCD中，AB·BD=0，沿BD将四边形折起成直二面角A一BD－C，且4222BDAB，则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为（）A．2B．4C．4D．2分析：0ABBD,所以ABBD,因为ABCD为平行四边形,所以,CDBDABCD.因为ABDC为直二面角,所以面ABD面CBD,因为=面ABD面CBDBD,AB面ABD,ABBD,所以AB面CBD.因为BC面CBD,所以ABBC.分析可知三棱锥ABCD的外接球的球心为AC的中点.因为22222222()24ACABBCABCDBDABCD,所以2AC.则三棱锥ABCD的外接球的半径为1,表面积为4.故C正确.6已知直角梯形ABCD，ABAD，CDAD，222ABADCD，沿AC折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为．43解：如图，AB2AD1CD1，，，∴AC2BC2BCAC，，.取AC的中点EAB，的中点O，连结DEOE，，∵当三棱锥体积最大，∴平面DCA平面ACB，OBOAOCOD，OB1即为外接球的半径.此时三棱锥外接球的体积：34433R．题型四侧棱垂直于地面或侧面垂直于地面过底面外心做垂线，球心有垂线上1.已知四面体PABC,其中ABC是边长为6的等边三角形,PA平面ABC,4PA,则四面体PABC外接球的表面积为________．64解：∵△ABC是边长为6的等边三角形，∵PA⊥平面ABC，PA=4，△ABC的外接圆的半径为32，∴四面体P﹣ABC外接球的半径为=4∴四面体P﹣ABC外接球的表面积为4π•42=64π．故答案为：64π．D2.已知三棱锥BCDA中，2CDBDACAB,ADBC2,直线AD底面BCD所成的角是3，则此时三棱锥外接球的体积是()A8B32C324D3283.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（）A．外接球的半径为33B．表面积为137C．体积为3D．外接球的表面积为4解：由三视图可知，这是侧面ACD⊥ABC，高3DE的三棱锥，AC=2，BE=1，所以三棱锥的体积为33322131，设外接球的圆心为0，半径为x，则xOE3在直角三角形OEC中，OE2+CE2=OC2，即221)3(xx，整理得221323xxx，解得半径332x，所以外接球的表面积为，31642x所以A，C，D都不正确，故选B．题型五其中一条侧棱满足某个特殊的条件1.已知三棱锥BCDA中，2CDBDACAB,ADBC2,直线AD底面BCD所成的角是3，则此时三棱锥外接球的体积是()A8B32C324D328选D2.(太原2016届高三上学期考试）在四面体ABCD中，已知060CDABDCADB，3BDAD，2CD，则四面体ABCD的外接球的半径为（）A．2B．2C．3D．3解：设四面体ABCD的外接球球心为O，则O在过△ABD的外心N且垂直于平面ABD的垂线上．由题设知，△ABD是正三角形，则点N为△ABD的中心．设P，M分别为AB，CD的中点，则N在DP上，且ON⊥DP，OM⊥CD．因为∠CDA=∠CDB=∠ADB=60°，设CD与平面ABD所成角为θ，∴cosθ=31，sinθ=32．在△DMN中，DM==1，DN=332DP由余弦定理得3131231MN2∴四边形DMON的外接圆的半径3sinMNOD．故球O的半径3R故选：D．题型六一般棱锥的外接球问题1.（2017宜宾模拟）已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC＝3，PB＝22，PC＝5，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为10π．解：因为O为△ABC外接圆的圆心，且平面PBC⊥平面ABC，过O作面ABC的垂线l，则垂线l一定在面PBC内，根据球的性质，球心一定在垂线l，∵球心O1一定在面PBC内，即球心O1也是△PBC外接圆的圆心，在△PBC中，由余弦定理得cosB＝222222PBBCPCBPBC，⇒sinB＝22，由正弦定理得：2sinPCRB，解得R＝102，∴三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为s＝4πR2＝10π，故答案为：10π．2.在三棱锥ABCP中，3PCPBPA,侧棱PA与底面ABC所成的角为060，则该三棱锥外接球的体积为（）A．B.3C.4D.433.（2017•龙泉驿区一模）已知球O是某几何体的外接球，而该几何体是由一个侧棱长为52的正四棱锥ABCDS与一个高为6的正四棱柱1111DCBAABCD拼接而成，则球O的表面积为（）A．3100B．64πC．100πD．3500解：设球的半径为R，AB＝2x，，则球心到平面A1B1C1D1的距离为3，几何体是由一个侧棱长为2的正四棱锥ABCDS。S到平面ABCD的距离为，则：3＝R，又勾股定理可得R2＝32+2x2，∴R＝5，x＝2∴球的表面积为4πR2＝100π．故选：C．题型七圆锥的外接球4.（2018届四川泸州一中一诊）已知圆锥的高为5，底面圆的半径为5，它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为（）A．4B．36C．48D．24【解析】设球的半径为R，由于圆锥的高为5，底面圆的半径为5，所以22255RR，解得3R所以该球的表面积为2436R.故选B．【试题点评】本题是两个旋转体的组合，其中圆锥的轴线所在直线垂直于其底面圆，结合球与圆锥的有关性质，球心必在圆锥的高所在的直线上，应用数学建模的素养，