工程流体力学答案(陈卓如)

第一章[陈书1-15]图轴在滑动轴承中转动，已知轴的直径cmD20，轴承宽度cmb30，间隙cm08.0。间隙中充满动力学粘性系数sPa245.0的润滑油。若已知轴旋转时润滑油阻力的损耗功率WP7.50，试求轴承的转速?n当转速min1000rn时，消耗功率为多少？（轴承运动时维持恒定转速）【解】轴表面承受的摩擦阻力矩为：2DMA其中剪切应力：drdu表面积：DbA因为间隙内的流速可近似看作线性分布，而且对粘性流体，外表面上应取流速为零的条件，故径向流速梯度：2Ddrdu其中转动角速度：n2所以：2322nDDDnbMDb维持匀速转动时所消耗的功率为：3322DnbPMMn所以：DbPDn1将：sPa245.0mcmD2.020mcmb3.030mcm410808.0WP7.5014.3代入上式，得：minr56.89sr493.1n当sr350minr1000n时所消耗的功率为：WbnDP83.6320233[陈书1-16]两无限大平板相距mm25b平行（水平）放置，其间充满动力学粘性系数sPa5.1的甘油，在两平板间以sm15.0V的恒定速度水平拖动一面积为2m5.0A的极薄平板。如果薄平板保持在中间位置需要用多大的力？如果置于距一板10mm的位置，需多大的力？【解】平板匀速运动，受力平衡。题中给出平板“极薄”，故无需考虑平板的体积、重量及边缘效应等。本题应求解的水平方向的拖力。水平方向，薄板所受的拖力与流体作用在薄板上下表面上摩擦力平衡。作用于薄板上表面的摩擦力为：AdzduAFuuu题中未给出流场的速度分布，且上下两无限大平板的间距不大，不妨设为线性分布。设薄板到上面平板的距离为h，则有：hVdzduu所以：AhVFu同理，作用于薄板下表面的摩擦力为：AhbVFd维持薄板匀速运动所需的拖力：hbhAVFFFdu11当薄板在中间位置时，m105.12mm5.123h将m1025mm253b、sm15.0V、2m5.0A和sPa5.1代入，得：N18F如果薄板置于距一板（不妨设为上平板）10mm的位置，则：m1010mm103h代入上式得：N75.18F[陈书1-17]一很大的薄板放在m06.0b宽水平缝隙的中间位置，板上下分别放有不同粘度的油，一种油的粘度是另一种的2倍。当以sm3.0V的恒定速度水平拖动平板时，每平方米受的总摩擦力为N29F。求两种油的粘度。【解】平板匀速运动，受力平衡。题中给出薄板”，故无需考虑平板的体积、重量及边缘效应等。本题应求解的水平方向的拖力。水平方向，薄板所受的拖力与流体作用在薄板上下表面上摩擦力平衡。不妨先设平板上面油的粘度为，平板下面油的粘度为2。作用于薄板上表面的摩擦力为：AdzduAFuuu题中未给出流场的速度分布，且上下两无限大平板的间距不大，不妨设为线性分布。薄板到上面平板的距离为2b，所以：bVdzduu2所以：bVAFu2同理，作用于薄板下表面的摩擦力为：bVAFd4维持薄板匀速运动所需的拖力：bAVFFFdu6所以：AVFb6将m06.0b、sm3.0V、2m1A和N29F代入，得平板上面油的粘度为：sPa967.0平板下面油的粘度为：sPa933.12从以上求解过程可知，若设平板下面油的粘度为，平板上面油的粘度为2，可得出同样的结论。[陈书1-22]图示滑动轴承宽mm300b，轴径mm100d，间隙mm2.0，间隙中充满了动力学粘性系数s0.75Pa的润滑油。试求当轴以minr300n的恒定转速转动时所需的功率。（注：不计其他的功率消耗）【解】轴表面承受的摩擦阻力矩为：2dMA其中剪切应力：drdu表面积：dbA因为间隙内的流速可近似看作线性分布，而且对粘性流体，外表面上应取流速为零的条件，故径向流速梯度：2ddrdu其中转动角速度：n2所以：232dnbM维持匀速转动时所消耗的功率为：3322dnbPMMn将：s0.75Pam1.0mm100dm3.0mm300bm102mm2.0414.3sr5minr300n代入上式，得消耗的功率为：W73.870P[陈书1-23]图示斜面倾角o20，一块质量为25kg，边长为1m的正方形平板沿斜面等速下滑，平板和斜面间油液厚度为mm1。若下滑速度sm25.0V，求油的粘度。［解］由平板等速下滑，知其受力平衡。沿斜坡表面方向，平板下表面所受油液的粘滞力与重力沿斜面的分量平衡。平板下表面承受的摩擦阻力为：AF其中剪切应力：dzdu因为间隙内的流速可近似看作线性分布，而且对粘性流体，外表面上应取流速为零的条件，故垂直于斜坡表面方向的流速梯度为：Vdzdu所以：VAF而重力在平行于斜面方向的分量为：sinmgG因：GF故：sinmgVA整理得：VAmgsin将：kg25m2m1Am101mm13sm25.0V2sm8.9g代入上式，得：sPa335.0第二章［陈书2-8］容器中盛有密度不同的两种液体，问测压管A及测压管B的液面是否和容器中的液面O-O齐平？为什么？若不齐平，则A、B测压管液面哪个高？21OOAB［解］依题意，容器内液体静止。测压管A与上层流体连通，且上层流体和测压管A均与大气连通，故A测压管的液面与液面O-O齐平。测压管B与上下层流体连通，其根部的压强为：apghghp2211其中1h为上层液体的厚度，2h为液体分界面到B管根部的垂向距离，ap为大气压因测压管B与大气连通，其根部的压强又可表示为：apghp2其中h为B管内气液界面到B管根部的垂向距离所以：ghghgh22211212122211hhhhh由此可知：若21，B测压管的液面低于A测压管的液面和O-O面；若21，B测压管的液面高A测压管的液面和O-O面；若21，A、B测压管的液面和O-O面三者平齐。又因为密度为1的液体稳定在上层，故21。［陈书2-12］容器中有密度为1和2的两种液体，试绘出AB面上的压强分布图。21AB［解］令上、下层液体的厚度分别为1h和2h，取垂直向下的方向为z轴的正方向，并将原点设在自由表面上，可写出AB表面上压强的表达式：211211110hhzhhzgghphzgzppaa整理得：2112121110hhzhgzghphzgzppaa［陈书2-24］直径D=1.2m，L=2.5的油罐车，内装密度3900mkg的石油，油面高度为h=1m，以22sma的加速度水平运动。试确定油罐车侧盖A和B上所受到的油液的作用力。［解］取x坐标水平向右，y坐标垂直纸面向内，z坐标垂直向上，原点定在油罐的中轴线上。油液受到的体积力为：afx0yfgfz由欧拉方程积分可得：gzaxppC根据题意及所选的坐标系，当hzx,0时，app故：ghppCaghppaC所以：axzhgppa因大气压的总体作用为零，故上式中可令0ap于是：axzhgp左侧盖形心的坐标：0,2zLx故该处的压强：2LaghpL左侧盖所受油液的作用力：NDpFLL7.1252342（取2sm81.9g）右侧盖形心的坐标：0,2zLx故该处的压强：2LaghpR左侧盖所受油液的作用力：NDpFRR1.743942（取2sm81.9g）［陈书2-26］盛有水的圆筒形容器以角速度绕垂直轴作等速旋转，设原静水深为h，容器半径为R，试求当超过多少时可露出筒底？解：非惯性坐标系中相对静止流体满足欧拉方程：ZdzYdyXdxdp等速旋转时液体所受的质量力为：cos2rX，sin2rY，gZ将其代入欧拉方程，积分得：Cgzrp2221自由表面中心处r=0，app（大气压），再令此处的z坐标为：Cz（令筒底处z=0），代入上式，得：CgzpCa所以：CagzpC所以：Cagzpgzrp2221等压面的方程：gzrgzppCa2221对于自由表面：app，故自由表面的方程为：gzrgzC2221当筒底刚好露出时，0Cz，所以自由面方程为：2221rgz自由面与筒壁相交处的垂向坐标：2221RgH旋转后的水体体积：42424222222422222202202244221212212RgRgRgRgRggRgHgRgRdzgzhRdzrHRVHH将水视为不可压缩流体，根据质量守恒，旋转前后的水体体积应相等，所以：hRRgV2424所以：ghR2［陈书2-39］在由贮水池引出的直径D=0.5m的圆管中安装一蝶阀，h=10m，蝶阀是一个与管道直径相同的圆板，它能绕通过中心的水平轴回转。为不使该阀自行转动，问所需施加的力矩应为多大？［解］将阀门的圆心定为坐标原点，z轴垂直向上，则压强分布为：zhgp由于静水压导致阀门所受的总力矩为：222242222422332222422232223222222cossin2cossin23cos2cossin2cossin2cossinsin22dgRdgRhgRdgRdhgRdRhgRdzzRpzpzdAMRRRR14cos81162422cossin442222222iiiiiiiieeeeeeee所以：mNgRgRdgRdgRM.08.3044sin414114cos4114cos8124224224224［陈书2-43］图示一储水设备，在C点测得绝对压强为Pa29430p，h=2m，R=1m。求半球曲面AB所受到液体的作用力。hABR2h水［解］建立如图所示的坐标系，其中坐标原点取在球心，z轴垂直向上。以C为参考点，容器内任意点的压强可表达为：2hzgppC作用在曲面AB上任意点处的压强均与表面垂直，即压力的作用线通过球心。简单分析可知，曲面上水平方向的液体合压力为零，液体的曲面的总作用力仅体现在垂直方向，且合力方向向上，且合力作用线通过球心。球面的外法线方向：kjinsin,sincos,coscos其中为纬度角，为经度角。曲面AB上的垂向总液体压力：202rRdpnFzz其中：sinzn，cosRr所以：202cossin2dpRFz202020220202202cossin2cossincossin2cossin2cossin2cossin22dhgdzgdpRdhzgdpRdhzgpRFCCCz将sinRz和21cossin20d代入上式，得：