数值分析题库

[数值分析]题库第1页共30页一．单项选择题（每小题2分，共10分）1．在下列四个数中，有一个数具有4位有效数字，且其绝对误差限为51021，则该数是（）A0.001523B0.15230C0.01523D1.523002．设方阵A可逆，且其n个特征值满足：n...21，则1A的主特征值是（）A11Bn1C1或nD11或n13．设有迭代公式fxBxkk)()1(。若||B||1，则该迭代公式（）A必收敛B必发散C可能收敛也可能发散4．常微分方程的数值方法，求出的结果是（）A解函数B近似解函数C解函数值D近似解函数值5．反幂法中构造向量序列时，要用到解线性方程组的（）A追赶法BLU分解法C雅可比迭代法D高斯—塞德尔迭代法二．填空题（每小题4分，共20分）1．设有方程组02132432132132xxxxxxxx，则可构造高斯—塞德尔迭代公式为2．设111112101A，则A3．设1)0(,2'2yyxy，则相应的显尤拉公式为1ny4．设1)(axxf,2)(xxg。若要使)(xf与)(xg在[0，1]上正交，则a=5．设Tx)1,2,2(，若有平面旋转阵P，使Px的第3个分量为0，则P=三．计算题（每小题10分，共50分）1．求27的近似值。若要求相对误差小于0.1%，问近似值应取几位有效数字？[数值分析]题库第2页共30页2．设42)(xxxf,若在[-1，0]上构造其二次最佳均方逼近多项式,请写出相应的法方程。3．设有方程组1221122321321321xxxxxxxxx，考察用雅可比迭代解此方程组的收敛性。4．试确定常数A，B，C及，使求积公式)()0()()(11CfBfAfdxxf为高斯求积公式。5．设有向量Tx)2,1,2(，试构造初等反射阵H，使TxH)0,0,3(。四．证明题（每小题10分，共20分）1．设有迭代公式32421kkkxxx，试证明该公式在4*x邻近是2阶收敛的，并求21)4(4limkkKxx。2.设yx,是n维列向量，Q为n阶正交矩阵，且yQx，试证22xy。模拟二一、单项选择题（每小题2分，共10分）1．在下列四个数中，有一个数具有4位有效数字，且其绝对误差限为51021，则该数是（）。A0.00217B0.02170C0.21700D2.170002．已知是A的特征值，p是给定参数，则B=A-pE的特征值是（）。A+pB-pC+2pD-2p3．设有迭代公式fxBxkk)()1(，则||B||1是该迭代公式收敛的（）。A充分条件B必要条件C充分必要条件4．三次样条插值法中遇到的线性方程组应该用（）求解。A雅可比迭代B高斯-塞德尔迭代C平方根法D追赶法5．若尤拉公式的局部截断误差是)(2hO，则该公式是（）方法。A1阶B2阶C3阶D无法确定二、填空题（每小题4分，共20分）[数值分析]题库第3页共30页a)设301221112A，则1A。b)设有方程组112123213132xxxxxxx，则可构造高斯—塞德尔迭代公式为。c)设2'xyy，则相应的显尤拉公式为1ny。d)设Tx)3,2,1(，若有平面旋转阵P，使Px的第3个分量为0，则P=。e)设2)(axxf,22)(xxg.若要使)(xf与)(xg在[-1，0]上正交，则a=。三．计算题（每小题10分，共50分）1．设xxxf2)(3,若在[0，1]上构造其二次最佳均方逼近多项式,请写出相应的法方程。2．求32的近似值。若要求相对误差小于1%，问近似值应取几位有效数字？3．设有方程组12102321321321xxxxxxxxx，考察用雅可比迭代解此方程组的收敛性。4．试确定常数A，B，C及，使求积公式)()0()()(11CfBfAfdxxf有尽可能高的代数精度，并问该公式是否为高斯求积公式。5．设有向量Tx)32,31,32(，试构造初等反射阵H，使TxH)0,0,1(四．证明题（共20分）1．设有迭代公式kkkkxxxx2)2(21，试证明该公式。在2*X附近是平方收敛的，并求21)2(2limkkkxx。2．设)(1xL是)(xf的一次拉格朗日插值，试证：[数值分析]题库第4页共30页2011)(81)()(xxxLxf10maxxxx)(''xf模拟三一、单项选择题（每小题2分，共10分）1、若近似值10.00230具有7位有效数字，则其较小的绝对误差限为（）。A.71021B.61021C.51021D.410212、若已知迭代过程)(1kkxx是3阶收敛，C是不为零的常数，则下列式子中，正确的式子是（）。A．3**1xxxxkkklimB．3)3**1(xxxxkkklimC．cxxxxkkklim**1D．cxxxxkkklim3**1)(3、4阶牛顿—柯特斯求积公式至少具有（）次代数精度。A.4B.5C.8D.94、三次样条插值与二阶常微分方程的边值问题中，都会用到求解线性方程组的（）。A.LU分解法B.追赶法C.高斯消去法D.平方根法5、设A的特征值满足||||||11nr，则相应幂法的速比Ar（）。A.12B.11rC.n2D.n2二、填空题（每小题4分，共20分）1、过节点10x，01x，12x做近似2)(3xxf的二次拉格朗日插值，其表达式是。2、若31)1()1()1(2110)(233xcxbxaxxxxS是三次样条函数，则a,b,c。3、设1201A，则)(ACond。4、设C=PA,其中P是三阶平面旋转阵，213130112A，若使31C=0，则P。[数值分析]题库第5页共30页5、设122'xyy，则相应的隐尤拉公式为。三、计算题（每小题10分，共50分）。1、利用最小二乘法原理，求矛盾线性方程组1221212121xxxxxx的近似解。2、设211111112A，1221b。若线性方程组bxA仅有右端有扰动41021b。试估计由此引起的解的相对误差xx。3、确定求积公式11210)1()0()1()(fAfAfAdxxf，并指明其代数精度。4、设有方程组122012321321321xxxxxxxxx，试考察求解该方程组的高斯-塞德尔迭代公式的敛散性。5、设有方程0322xx。试确定迭代函数)(x，使迭代公式)(1kkxx在*x=3附近收敛，并指出其收敛阶。四、证明题（每小题10分，共20分）1、设U是n阶正交矩阵，A是n阶方阵。试证明222||||||||||||AUAAU。（提示：)(||||2AAAT）2、设有差分公式)3(2'1'1nnnnyyhyy。试证明该公式是二阶公式。模拟四一、单项选择题（每小题2分，共10分）1、按四舍五入原则，数-7.00038的具有4位有效数字的近似值是（）。A.–7.0004B.-7.000C.–7D.-7.00032、若行列式||AE=0，其中E是n阶单位阵，A是n阶方阵，则A的范数满足（）。A.1||||AB.1||||AC.1||||AD.1||||A3、条件数)(ACond=（）。A.||||1AAB.||||1AA[数值分析]题库第6页共30页C.||||||||1AAD.||||||||1AA4、设A是n阶方阵，则A可作唯一LU分解的充分必要条件是（）。A.0||AB.A为正交阵C.A为对称正定阵D.A为对角占优阵5、判定某数值求积公式具有m次代数精度，只需该公式满足条件（）。A.公式对mx准确成立，而对1mx不准确成立B.公式对任意次数不超过m次的多项式准确成立C.公式对任意次数为m+1次的多项式不准确成立D.公式对任意次数不超过m的多项式准确成立，而对1mx不准确成立二、填空题（每小题4分，共20分）1、设*x是方程0)(xf的单根，)(x是对应的牛顿迭代函数。若*)(xxf在邻近二阶连续，则)(*'x。2、设13)(2xxxf，则二阶均差]1,0,1[f。3、设R是含*x的邻域。要使迭代公式)(211kkkxfxx在R内局部收敛，)('xf应满足条件。4、设Tx)1,1,2(。若存在平面旋转阵P，使PTx)0,36,2(，则P=。5、设有数值求积公式11)()()(afafdxxf。若该公式为高斯公式，则a。三、计算题（每小题10分，共50分）。1、设}31,,1{2xxspan，xexf)(。试求)(xf在[-1，1]上的二次最佳均方逼近多项式。2、设曲线122xy和222)4(Rxy相切。试构造求切点横坐标的近似值的收敛迭代公式。3、设212240130A，试求其QR分解。4、已知迭代公式bxxBxkkk)()()1(3。设是B的任意特征值，试确定使迭代公式收敛的的取值范围。5、设23)(xxf，若用复化梯形求积公式求01)(dxxf的近似值，要求准确到小数点后第4位，问步长h应如何取值？四、证明题（每小题10分，共20分）[数值分析]题库第7页共30页1、设矩阵111aaaaaaA。证明雅可比迭代法应用于解方程组bxA只对2121a是收敛的。2、证明：当||B||1时，E+B是可逆矩阵，且||||11||)(||1BBE。其中||||是指矩阵的算子范数。模拟五一、单项选择题（每小题2分，共10分）1、n阶方阵A可作LU分解的一个充分条件是A为（）。A.对角占优阵B.正交阵C.非奇异阵D.对称正定阵２、设n阶方阵A及单位阵E满足0|3|AE，则谱半径)(A（）。A.3B.3C.3D.33、若迭代公式)(1kkxx是p阶收敛，则pkkkxxxx)(lim**1（）。A.０B.p!C.)(*)(xpD.!/)(*)(pxp4、设)(xLn和)(xNn是相同的插值条件下关于)(xf的拉格朗日插值和牛顿插值，则下述式子中正确的是（）。（其中njjxxxw0)()(）A.)(],...,,[)!1()(10)1(xwxxxfnfnnB.)()!1()()()()1(xwnfxNnxfnC.)(],...,,,[)()(10xwxxxxfxLnxfnD.)(],...,,,[)()(10xwxxxxfxLnxfn５、称函数)(x为［a,b］上的三次样条函数，是指)(x满足条件（）。A.为分段三次多项式且有二阶连续导数B.为分段三次多项式且有三阶连续导数C.为分段函数且有任意阶导数D.为分段三次埃尔米特插值多项式二、填空题（每小题4分，共20分）１、若已知x的相对误差为%1，则)(xf＝10x的相对误差为。２、设1)(3xxf，则过节点－１，０，１的二次牛顿插值多项式为。[数值分析]题库第8页共30页３、设有求积公式)31()31(10fAfA是插值型求积公式，则0A，1A。４、设xxf)(，若其在［０，１］上与baxxg2)(带权xxp)(正交