几何五大模型精讲-第2讲-蝴蝶模型

第2讲蝴蝶模型我们的目标掌握任意四边形蝴蝶模型与梯形蝴蝶模型的基本知识点学会构造蝴蝶模型解决问题任意四边形模型任意四边形中的比例关系——蝴蝶模型S4S3S2S1ODCBA①1243::SSSS或者1324SSSS②1243::AOOCSSSS速记：上×下=左×右【例1】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的13，且2AO，3DO，那么CO的长度是DO的长度的_________倍．ABCDO【例2】如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，CEF△、OEF△、ODF△、BOE△的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF△的面积；⑵求GCE△的面积．OGFEDCBA【例3】(2007年人大附中考题)如图，边长为1的正方形ABCD中，2BEEC，CFFD，求三角形AEG的面积．ABCDEFG【例4】如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD中点，F为CE中点，G为BF中点，求三角形BDG的面积．ABCDEFG梯形蝴蝶定理ABCDObaS3S2S1S4①2213::SSab②221324::::::SSSSababab；③S的对应份数为2ab【例5】如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC，BD交于O，已知AOB△与BOC△的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是________平方厘米．3525OABCD【例6】梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O，已知梯形上底为2，且三角形ABO的面积等于三角形BOC面积的23，求三角形AOD与三角形BOC的面积之比．OABCD【例7】如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积是11，三角形BCH的面积是23，求四边形EGFH的面积．HGFEDCBA【例8】(2008年三帆中学考题)右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．1682ABCDE【例9】(2007年”迎春杯”高年级初赛)如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为___________平方厘米．?852OABCDEF【例10】如图，正六边形面积为6，那么阴影部分面积为多少？作业题1、如图，长方形ABCD中，:2:3BEEC，:1:2DFFC，三角形DFG的面积为2平方厘米，求长方形ABCD的面积．ABCDEFG2、梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是29cm，问三角形AOD的面积是多少？ABCDO3、(人大附中入学测试题)如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为________．3214、(98迎春杯初赛)如图，ABCD长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为54，OD的长是16，OB的长是9.那么四边形OECD的面积是多少？EODCBA5、如图，ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交于K点．已知正方形DEFG的面积48，:1:3AKKB，则BKD的面积是多少？KGFEDCBA答案【例1】因为::1:3ABDBDCAOOCSS，所以236OC，所以:6:32:1OCOD．解法二：作AHBD于H，CGBD于G．因为13ABDBCDSS，所以13AHCG，所以13AODDOCSS，13AOCO，236OC，:6:32:1OCOD．HGABCDO【例2】⑴BCD△的面积为244616，BCO△和CDO的面积都是1628，所以OCF△的面积为844；⑵由于BCO△的面积为8，BOE△的面积为6，所以OCE△的面积为862，根据蝴蝶定理，::2:41:2COECOFEGFGSS所以::1:2GCEGCFSSEGFG，11221233GCECEFSS．【例3】ABCDEFG连接EF．因为2BEEC，CFFD，所以1111()23212DEFABCDABCDSSS．因为12AEDABCDSS，由蝴蝶定理，11::6:1212AGGF，所以6613677414AGDGDFADFABCDABCDSSSSS．所以132221477AGEAEDAGDABCDABCDABCDSSSSSS，【例4】OABCDEFG设BD与CE的交点为O，连接BE、DF．由蝴蝶定理::BEDBCDEOOCSS，而14BEDABCDSS，12BCDABCDSS，所以::1:2BEDBCDEOOCSS，故13EOEC．F为CE中点，所以12EFEC，故:2:3EOEF，:1:2FOEO．由蝴蝶定理::1:2BFDBEDSSFOEO，所以1128BFDBEDABCDSSS，11110106.2521616BGDBFDABCDSSS梯形蝴蝶定理ABCDObaS3S2S1S4①2213::SSab②221324::::::SSSSababab；③S的对应份数为2ab【例5】由梯形蝴蝶定理，2::25:35AOBBOCSSaab，可得:5:7ab，再根据梯形蝴蝶定理，2222::5:725:49AOBDOCSSab，所以49DOCS梯形ABCD的面积为25353549144【例6】由蝴蝶定理，2::2:3AOBBOCSSabb得:2:3ab，2222::2:34:9AODBOCSSab【例7】HGFEDCBA如图，连结EF，显然ADEF和BCEF都是梯形，于是EFG的面积等于三角形ADG的面积三角形BCH的面积等于三角形EFH的面积所以四边形EGFH的面积是112334．【例8】O1682ABCDE连接AE．由于AD与BC平行，所以AECD也是梯形，那么OCDOAESS．据蝴蝶定理，2816OCDOAEOCEOADSSSS故216OCDS，所以4OCDS另解：在平行四边形ABED中，111681222ADEABEDSS所以1284AOEADEAODSSS根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8244【例9】?852OABCDEF连接DE、CF．EDCF为梯形，所以EODFOCSS，又根据蝴蝶定理，EODFOCEOFCODSSSS2816EODFOCEOFCODSSSS，所以4EODS，4812ECDSABCD面积为12224四边形OFBC的面积为245289(平方厘米)．【例10】22412241连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半根据六边形的特殊性质，和梯形蝴蝶定理把六边形分为18份阴影部分占了其中8份，所以阴影部分的面积886183．作业题答案1.ABCDEFG连接AE，FE．因为:2:3BEEC，:1:2DFFC，所以3111()53210DEFABCDABCDSSS长方形长方形．因为12AEDABCDSS长方形，11::5:1210AGGF，所以510AGDGDFSS平方厘米，所以12AFDS平方厘米．因为16AFDABCDSS长方形，所以长方形ABCD的面积是72平方厘米．2.ABCDO根据梯形蝴蝶定理，:1:1.52:3ab，2222::2:34:9AODBOCSSab，所以24cmAODS．3.321做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形2分成左右两边，其面积正好等于三角形1和三角形3，所以1的面积就是4361645，3的面积就是5362045．4.EODCBA因为连接ED知道ABO△和EDO△的面积相等即为54，又因为169ODOB∶=∶,所以AOD△的面积为5491696，根据四边形的对角线性质知道：BEO△的面积为：54549630.375，所以四边形OECD的面积为：549630.375119.625(平方厘米).5.MKGFEDCBA由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形．在梯形ADBC中，BDK和ACK的面积是相等的．而:1:3AKKB，所以ACK的面积是ABC面积的11134，那么BDK的面积也是ABC面积的14．由于ABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么M是BC的中点，而且AMDE，可见ABM和ACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半，所以ABC的面积与正方形DEFG的面积相等，为48．那么BDK的面积为148124．