积分中值定理应用

题目设常数0，求xxnxtttd2lnlim,2,1n．解题方法1先应用积分中值定理去掉积分号，进而用洛必达法则求得极限．解题步骤1对任一0，在区间xx,上，2lnxxxfn连续，故由积分中值定理知xxntttd2ln2lnn，xx,．解题步骤2故2lnlim2lnlimnxxxnxtt2lnlimxxnx0．由于2lnlimxxnx2lnlimxxnxxxnnx1lnlim0!limxnx．常见错误不会利用积分中值定理去掉积分号，从而无从下手．方法总结先利用积分中值定理除去积分号得一未定式，再利用洛必达法则求出未定式的极限．相关例题1设a为常数，求解答：由于对任意的0x，函数)1sin211ln(xx连axxxxxxd)1sin211ln(lim．续，故由积分中值定理axxxxxd)1sin211ln()1sin211ln(a，位于x与ax之间，当x时，．相关例题1由于)1sin211ln(limxaxx)1sin21(limxxaxxxax21lim2a，故2)1sin211ln(limaa，从而原式2a．相关例题2求12delim2nnxnxx．解答：应用积分中值定理得12de2nnxxx2e21nn，当n时，，且由于2elim2xxx2elim2xxx2e22limxxxx0，故12delim2nnxnxx0elim22．相关例题3计算104d1limxxxnn．解答：由nnxxx410和定积分的单调性可得104d10xxxn10dxxn11n．由于011limnn，故由夹逼准则可得104d1limxxxnn0．相关例题4计算nnnxxxdsinlim（为常数）．解答：当n充分大后，0n，xxsin在n和n为端点的区间上连续．由积分中值定理得nnxxxdsinsin，由于n时，，因此nnnxxxdsinlim0．