7-6高阶线性微分方程

高阶线性微分方程第六节二、齐次线性微分方程解的结构三、非齐次线性微分方程解的结构*四、常数变易法一、二阶线性微分方程举例第七章一、概念的引入例:设有一弹簧下挂一重物,如果使物体具有一个初始速度00v,物体便离开平衡位置,并在平衡位置附近作上下振动.试确定物体的振动规律)(txx.解受力分析;.1cxf恢复力;.2dtdxR阻力xxo,maF,22dtdxcxdtxdm02222xkdtdxndtxd物体自由振动的微分方程,sinptHF若受到铅直干扰力pthxkdtdxndtxdsin2222强迫振动的方程tLCEudtdudtudLcmcccsin22022串联电路的振荡方程二阶线性微分方程)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd时，当0)(xf二阶齐次线性微分方程时，当0)(xf二阶非齐次线性微分方程n阶线性微分方程).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn问：上述解是通解吗？定理1如果函数y1(x)与y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的两个解，那么yC1y1(x)C2y2(x)也是方程的解，其中C1、C2是任意常数．齐次线性方程解的叠加原理：证明提示：[C1y1C2y2]P(x)[C1y1C2y2]Q(x)[C1y1C2y2]C1[y1P(x)y1Q(x)y1]C2[y2P(x)y2Q(x)y2]000．二、二阶齐次线性微分方程的解的结构说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解并不是通解但是)()(2211xyCxyCy则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念.问：上述解是通解吗？函数的线性相关与线性无关：设y1(x)，y2(x)，···，yn(x)为定义在区间I上的n个函数．如果存在n个不全为零的数k1，k2，···，kn，使当xI时有k1y1(x)k2y2(x)···knyn(x)0成立，则称这n个函数在区间I上线性相关；否则称为线性无关．定理1如果函数y1(x)与y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的两个解，那么yC1y1(x)C2y2(x)也是方程的解，其中C1、C2是任意常数．齐次线性方程解的叠加原理例如，1，cos2x，sin2x在整个数轴上是线性相关的．函数1，x，x2在任何区间(a,b)内是线性无关的．两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关存在不全为0的使1221)()(kkxyxy(无妨设)01k线性无关)()(21xyxy常数思考:中有一个恒为0,则必线性相关例3验证y1cosx与y2sinx是方程yy0的线性无关解，并写出其通解．解因为y1y1cosxcosx0，y2y2sinxsinx0，所以y1cosx与y2sinx都是方程的解．因为比sinx／cosx不恒等于常数，所以cosx与sinx在(,)内是线性无关的．因此y1cosx与y2sinx是方程yy0的线性无关解．方程的通解为y=C1cosxC2sinx．总之，对于两个函数，如果它们的比为常数，那么它们就线性相关，否则就线性无关．定理2：如果)(1xy与)(2xy是方程yP(x)yQ(x)y0的两个线性无关的特解,那么2211yCyCy就是该方程的通解.例4验证y1x与y2ex是方程(x1)yxyy0的线性无关解，并写出其通解．解因为(x1)y1xy1y10xx0(x1)y2xy2y2(x1)exxexex0所以y1x与y2ex都是方程的解．因为比值ex／x不恒为常数，所以y1x与y2ex在(,)内是线性无关的．因此y1x与y2ex是方程(x1)yxyy0的线性无关解．方程的通解为y=C1xC2ex．如果y1(x)y2(x)yn(x)是方程y(n)a1(x)y(n1)an1(x)yan(x)y0的n个线性无关的解那么此方程的通解为yC1y1(x)C2y2(x)Cnyn(x)其中C1C2Cn为任意常数•推论3.二阶非齐次线性方程的解的结构:我们把方程yP(x)yQ(x)y0叫做与非齐次方程yP(x)yQ(x)yf(x)对应的齐次方程．定理3设y*(x)是二阶非齐次线性方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解，Y(x)是对应的齐次方程的通解，那么yY(x)y*(x)是二阶非齐次线性微分方程的通解．证明提示：[Y(x)y*(x)]P(x)[Y(x)y*(x)]Q(x)[Y(x)y*(x)][YP(x)YQ(x)Y][y*P(x)y*Q(x)y*]0f(x)f(x)．例如，YC1cosxC2sinx是方程yy0的通解，y*x22是yyx2的一个特解，因此yC1cosxC2sinxx22是方程yyx2的通解．定理4(叠加原理)设非齐次线性微分方程yP(x)yQ(x)yf(x)的右端f(x)是两个函数之和yP(x)yQ(x)yf1(x)f2(x)，而y1*(x)与y2*(x)分别是方程yP(x)yQ(x)yf1(x)与yP(x)yQ(x)yf2(x)的特解，那么y1*(x)y2*(x)的是原方程的特解．1212(),()()()()()()yxyxyPxyQxyfxyxyx设是二阶非齐次线性微分方程的两个特解，则是它所对应的齐次方程的解。定理5（补充定理）常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程)()()(xfyxQyxPy的解,21,CC是任意;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCCD例3.提示:3231,yyyy都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)例4.已知微分方程)()()(xfyxqyxpy个解,e,e,2321xxyyxy求此方程满足初始条件3)0(,1)0(yy的特解.解:1312yyyy与是对应齐次方程的解,且xxyyyyxx21312ee常数因而线性无关,故原方程通解为)(e)(e221xCxCyxx代入初始条件,3)0(,1)0(yy,2,121CC得.ee22xxy故所求特解为有三三、降阶法与常数变易法1.齐次线性方程求线性无关特解------降阶法的一个非零特解，是方程设)1(1y12)(yxuy令代入(1)式,得,0))()(())(2(111111uyxQyxPyuyxPyuy,uv令则有,0))(2(111vyxPyvy,0))(2(111uyxPyuy即解得,1)(21dxxPeyvdxeyudxxP)(211,1)(2112dxeyyydxxP刘维尔公式齐次方程通解为.1)(211211dxeyyCyCydxxP0))(2(111vyxPyvy降阶法的一阶方程v2.非齐次线性方程通解求法------常数变易法设对应齐次方程通解为2211yCyCy(3)设非齐次方程通解为2211)()(yxcyxcy22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy设0)()(2211yxcyxc22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy(4)得代入方程将),2(,,yyy)())()()(())()()(()()(222211112211xfyxQyxPyxcyxQyxPyxcyxcyxc)()()(2211xfyxcyxc(5)(4),(5)联立方程组)()()(0)()(22112211xfyxcyxcyxcyxc,0)(2121yyyyxw系数行列式,)()()(21xwxfyxc,)()()(12xwxfyxc积分可得,)()()(211dxxwxfyCxc,)()()(122dxxwxfyCxc非齐次方程通解为.)()()()(12212211dxxwxfyydxxwxfyyyCyCy.1111的通解求方程xyxyxxy解,01111xxx对应齐方一特解为,1xey由刘维尔公式dxeeeydxxxxx1221,x对应齐方通解为.21xeCxCY例,)()(21xexcxxcy设原方程的通解为应满足方程组，)()(21xcxc1)()(0)()(2121xxcexcxcexcxxx解得xxexcxc)(1)(2122)(Cexexcxx，11)(Cxxc原方程的通解为.1221xxeCxCyx四、小结主要内容线性方程解的结构；线性相关与线性无关；降阶法与常数变易法；补充内容可观察出一个特解0)()(yxQyxPy,0)()()1(xxQxP若;xy特解,0)()(1)2(xQxP若;xey特解,0)()(1)3(xQxP若.xey特解一、验证21xey及22xxey都是方程0)24(42yxyxy的解,并写出该方程的通解.二、证明下列函数是相应的微分方程的通解:1、),(ln212221是任意常数ccxxcxcy是方程0432yyxyx的通解；2、),(2)(12121是任意常数cceececxyxxx是方程xexyyyx2的通解.练习题三、已知xexy)(1是齐次线性方程02)12()12(yyxyx的一个解,求此方程的通解.四、已知齐次线性方程02yyxyx的通解为xxcxcxYln)(21,求非齐次线性方程xyyxyx2的通解.练习题答案一、2)(21xexCCy.三、)12(21xCeCyx.四、221)(ln21lnxxxxCxCy.