高二数学空间向量解决空间距离问题

立体几何中的向量方法------距离问题一、求点到平面的距离一般方法：利用定义先作出过这个点到平面的垂线段，再计算这个垂线段的长度。还可以用等积法求距离.OdP向量法求点到平面的距离AOdnPsin||APnAPnd||APnn其中为斜向量，为法向量。nAPsindAPsin||APd二、直线到平面的距离AOdnPd||APnn其中为斜向量，为法向量。nAPl三、平面到平面的距离AOdnPd||APnn四、异面直线的距离nabd||APnn?n?AP是与都垂直的向量n,abAP点到平面的距离：直线到平面的距离：平面到平面的距离：异面直线的距离：四种距离的统一向量形式：d||APnnABCD1A1B1C1DExyz(1)求B1到面A1BE的距离；如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：ABCD1A1B1C1DExyz如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：(2)求D1C到面A1BE的距离；ABCD1A1B1C1Dxyz如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：(3)求面A1DB与面D1CB1的距离；ABCD1A1B1C1DExyz如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：(4)求异面直线D1B与A1E的距离.FEB1C1D1DCA练习1：已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，求点A1到平面DBEF的距离。BxyzA1练习2：已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，求平面DA1C1和平面AB1C间的距离。B1C1D1DCABxyzA1练习3:已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，求直线DA1和AC间的距离。B1C1D1DCABxyzA1小结利用法向量来解决上述立体几何题目，最大的优点就是不用象在进行几何推理时那样去确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决问题。但是也有局限性，用代数推理解立体几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系，把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这种方法解题的立体几何模型一般都是如：正（长）方体、直棱柱、正棱锥等。练习4：如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1,∠ACB=900,AA1=,2求B1到平面A1BC的距离。B1A1BC1ACxyz练习5：如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AB=1,AA1=2求B1到平面A1BC的距离。B1A1BC1ACxyzM练习6：已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。GBDACEFxyzSABCNMOxyz练习7：在三棱锥S-ABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC垂直平面ABC，SA=SC=，M、N分别为AB、SB的中点，求：点B到平面CMN的距离.32.)3()2(;)1(的距离到平面求点的大小；求二面角证明：CMNBBCMNSBACABCD1A1B1C1DExyz1111(,,)2AEABnxyzABE=(-1,,0),=(0,21,-1)设为面的法)向量，则110,0,nAEnAB10,20,xyyz2,2,yxzx即11110,1,0,BABEAB选点到面的斜向量为11(1,2,2)xABEn取＝，得平面的一个法向量111123ABnBABEdn得到面的距离为ABCD1A1B1C1DExyzDxyz1解：以D为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，DD所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，1)如图所示111(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,,1)2DBAE则111,,0,2AE11,1,1DB11(,,),nxyzAEDB设是与都垂直的向量，则110,0,nAEnDB10,20,xyxyz2,3,yxzx即11AEBD得与的距离111414DAndn1(1,2,3)xn取＝，得其中一个11111,0,0,AEBDDA选与的两点向量为;伢子在后面掩上院门，快步走到车前从耿正手里接过缰绳和马鞭。耿正紧走两步，上前给娘娘和小青深深施礼，哽咽着说：“娘娘，姐姐，你们可好！”耿直和耿英眼看着乔氏和小青的脸陡然变色了！乔氏颤声问道：“正伢子，你爹呢？”小青结结巴巴地问：“耿，耿正，伯，伯伯呢？这，这，这车怎么……”耿正兄妹三人再也忍不住了，痛失父亲的悲与伤在亲人一般的娘娘和姐姐面前不再需要遮掩什么了。七年半了，他们的眼泪再一次犹如决堤的洪水……一瞬间，乔氏和小青全都明白了……娘儿俩一起颤抖着挪动沉重的双腿，结结巴巴地说：“打，打开篷，篷布，让我们看，看看……”兄妹三人赶快扶娘娘和小青站住。耿英哭着说：“不，不，这不是，爹去了已经七年半了，就在刚离开的那年夏天……”乔氏伸着颤抖的双手说：“那，这，这车怎么……”耿正哽咽着说：“只是为了路途安全，用一口寿棺装了细软……”耿直也哭着说：“我们三人也装扮成了护送早已经去世，并且连尸骨也找不到的爹爹回老家去……”除了小东伢，所有的人都痛哭失声了……忽然听到院子的南边一阵“嗬儿嗬儿”的骡子欢叫声，耿正兄妹三人擦一把眼泪，这才发现院子的南边新盖了一排宽敞的棚房，一挂挺大的平板车停在棚房的一边；在另一边的马厩里，一头枣红色高头大骡子正在朝这边的大白骡友好地打招呼呢！耿正说：“东伢子你也养骡车啦！”东伢子憨憨地擦了把眼泪，说：“哦，去年才养的。菜地扩大了不少，批发送菜的需要个大骡车，为此还新修了院门儿。”说着话，东伢子看看略显疲乏的大白骡，对小青说：“你和姆妈快招呼耿直和耿英进屋里说话吧，我和耿正先卸了车，给白骡喂些草料。看它这样子，是有些疲累了呢。”耿正也对乔氏和小青说：“娘娘和姐姐不要着急，我们回头慢慢细说！”耿直提起软皮箱扶着乔氏，耿英拉着小东伢扶着小青，一起慢慢地进西边的老房子里去了。老房子的过厅里还是老样子。进入西边的屋子里，发现屋子里边的一切摆设也没有一点儿变化。圆桌上已经摆放了两盘子炒菜和四副碗筷，揭开的锅里，冒着热气儿的米饭还没有人动过！想起来临别之前娘娘曾经说过，她要永远住在这个与白幺爹共同生活过的老房子里。再看着眼前的一切，耿英和耿直的心里阵阵作痛……耿直扶乔氏坐在床边上，抱歉地说：“娘娘，我们回来的真不是时候，你们连午饭也没有吃好！”乔氏有气无力地说“傻伢子，你说什么呢，娘娘做梦都希望你们能早点儿回来啊！”小青进屋后，也软软地跌坐在了圆桌边的一把椅子上。耿英擦干眼泪轻轻地说：“娘娘，姐姐，你们也不要太难过了，这都过去这么多年了……”乔氏叹口气无力地说：“唉，这都是天意啊，没有法子的事情。青丫头，起来吧，咱