卡氏定理与超静定

河南理工大学土木工程学院材料力学第12章能量法与超静定问题2019年12月31日材料力学第12章能量法与超静定问题河南理工大学土木工程学院材料力学第12章能量法与超静定问题第十二章能量法§12-1概述§12-2杆件变形能的计算§12-3卡氏定理§12-4能量法解超静定问题河南理工大学土木工程学院材料力学第12章能量法与超静定问题§12-1概述一、能量方法二、基本原理能量法是求位移的普遍方法，可以求结构上任意点沿任意方向的位移。WV河南理工大学土木工程学院材料力学第12章能量法与超静定问题§12-2杆件变形能的计算1、轴向拉压的变形能EAlFV22N2、扭转杆内的变形能p22GIlTV河南理工大学土木工程学院材料力学第12章能量法与超静定问题纯弯曲横力弯曲3、弯曲变形的变形能θMeEIlMEIlMMθMWV221212eeeexxEIxMVld)(2)(2eMeMeMe河南理工大学土木工程学院材料力学第12章能量法与超静定问题4、组合变形的变形能xxEIxMxxGIxTxxEAxFVllld)(2)(d)(2)(d)(2)(2p22N二、变形能的普遍表达式)(21332211δFδFδFV——克拉贝隆原理（只限于线性结构）F--广义力包括力和力偶δ--广义位移包括线位移和角位移河南理工大学土木工程学院材料力学第12章能量法与超静定问题213设弹性结构在支座的约束下无任何刚性位移.作用有外力：F1，F2，，Fi，相应的位移为：1，2，，i，§12-3卡氏定理F1F2F3结构的变形能112233111222VWFδFδFδ河南理工大学土木工程学院材料力学第12章能量法与超静定问题只给Fi一个增量Fi.213F1F2F3原有的所有力完成的功为结构应变能的增量为diiVFFdiiVVFF(a)河南理工大学土木工程学院材料力学第12章能量法与超静定问题12iiiiVdFddFd(b)由式(a)=(b),可得：，而总的变形能应为：如先作用idF，而后作用F1、F2…nF。由于的作用，idF弹性体内所产生的变形能为：在的作用过程中，由不因先前作用了idF而有所改变，同时由于在这一过程中idF始终作用在弹性体上，因此该过程中，弹性体内再次产生的变形能应为：12iiVdFd对弹性体的作用效果并F1、F2…nFF1、F2…nF1dd2iiF河南理工大学土木工程学院材料力学第12章能量法与超静定问题12iiiiiiVVdFVdFddFdF略去二阶微量：12iidFd，求得：iiVP——卡氏定理。河南理工大学土木工程学院材料力学第12章能量法与超静定问题(1)卡氏第二定理只适用于线性弹性体说明(2)Fi为广义力，i为相应的位移一个力一个力偶一对力一对力偶一个线位移一个角位移相对线位移相对角位移iiVδF河南理工大学土木工程学院材料力学第12章能量法与超静定问题(3)卡氏第二定理的应用轴向拉、压扭转2NNN()d()()d2iiiiVFxxFxFxδxFFEAEAF2pp()d()()d2iiiiVTxxTxTxδxFFGIGIF弯曲2()d()()d2iiiiVMxxMxMxδxFFEIEIF河南理工大学土木工程学院材料力学第12章能量法与超静定问题平面桁架NN1njjjijiiFlFVδFEAF组合变形iiVδF]2)d(2)d(2)d([2p22NllliEIxxMGIxxTEAxxFFxFxMEIxMxFxTGIxTxFxFEAxFiiid)()(d)()(d)()(pNN河南理工大学土木工程学院材料力学第12章能量法与超静定问题例12-1图示各杆的直径均为d，材料的弹性常数E、G。试用卡氏第二定理求A端的铅垂位移（不计剪力对位移的影响）。解：AB段的弯矩方程及其对F的偏导数分别为ylCBAFaxxzyOFxxM)(xFxM)(（0≤x≤l），①直接求位移河南理工大学土木工程学院材料力学第12章能量法与超静定问题A端的铅垂位移为222000p11[dd]dallAyΔFxxFyyFayEIGI332p33FaFlFlaEIEIGIFyyM)(yFyM)(，()TyFa()TyaF，BC段的弯矩和扭矩方程及其对F的偏导数分别为ylCBAFax河南理工大学土木工程学院材料力学第12章能量法与超静定问题例题12-2圆截面杆ABC，（ABC=90°）位于水平平面内，已知杆截面直径d及材料的弹性常数E,G.求C截面处的铅垂位移.不计剪力的影响。ABCalq②附加力法求位移河南理工大学土木工程学院材料力学第12章能量法与超静定问题BC：弯曲变形xFxM)(2)(2qxFxxMxABCalqFxAB：弯曲与扭转的组合变形()()MxFqaxxFxM)(2()2qaTxFa()TxaF河南理工大学土木工程学院材料力学第12章能量法与超静定问题0iFVδFlplxFxTGIxTxFxMEIxMxFxMEIxM00]}d)()(d)()([{d)()(22000111()()ddd22allpqxqaxxqaxxxaxEIEIGI433()832pqlqalqalEIEIGIABCalq河南理工大学土木工程学院材料力学第12章能量法与超静定问题例12－3图a所示梁的材料为线弹性体，弯曲刚度为EI。用卡氏第二定理求中间铰B两侧截面的相对转角。不计剪力对位移的影响。B③相对位移的计算河南理工大学土木工程学院材料力学第12章能量法与超静定问题在中间铰B两侧截面处各加一个外力偶矩MB，并求出在一对外力偶MB及q共同作用下梁的支反力（图b）。解：B截面两侧的相对转角，就是与一对外力偶MB相应的相对角位移，即0εBMBBMV河南理工大学土木工程学院材料力学第12章能量法与超静定问题2)(lxMxMB222121)2(qxqlqlxMlxB（0x≤l）)22()(2)(22lqMxlMqlxqxMBB梁的弯矩方程及其对MB的偏导数分别为AB段河南理工大学土木工程学院材料力学第12章能量法与超静定问题中间铰B两侧截面的相对转角为BxlxqxqlqlxEIΔlBd)2()2121(1022EIql2472结果为正，表示广义位移的转向和MB的转向一致。()xlMxMB)(（0≤xl）lxMxMB)(，BC段河南理工大学土木工程学院材料力学第12章能量法与超静定问题例12－4图a所示为一等截面开口圆环，弯曲刚度为EI，材料为线弹性。用卡氏第二定理求圆环开口处的张开量。不计剪力和轴力的影响。河南理工大学土木工程学院材料力学第12章能量法与超静定问题圆环开口处的张量就是和两个F力相对应的相对线位移，即FVΔε（←→）用角表示圆环横截面的位置，并规定使圆环内侧受拉时弯矩为正，则弯矩方程及其对F的偏导数分别为解：)cos1()(FRM，)cos1()(RFM河南理工大学土木工程学院材料力学第12章能量法与超静定问题d)cos1(2π023EIFR结果为正，表示广义位移方向和广义力的指向一致。EIFR3π3（）←→d)]cos1([)]cos1([2π0RRFREIΔ利用对称性，由卡氏第二定理，得河南理工大学土木工程学院材料力学第12章能量法与超静定问题例12-5图示刚架各杆的弯曲刚度均为EI，不计剪力和轴力对位移的影响。试用卡氏第二定理求A截面的铅垂位移Ay。解：由于刚架上A,C截面的外力均为F，求A截面的铅垂位移时，应将A处的力F和C处的力F区别开（图b），在应用卡氏第二定理后，令FA=F。(a)FABll/2l/2FCD(FA=F)(b)xFAABCDFy1y2同名力的处理河南理工大学土木工程学院材料力学第12章能量法与超静定问题FFAAyAFVΔε即AB段（0≤x≤l）M(x)=−FAx,xFxMA)(各段的弯矩方程及其对FA的偏导数分别为lFyMA)(1BC段（0≤y1≤l/2）M(y1)=−FAl,(FA=F)(b)xFAABCDFy1y2河南理工大学土木工程学院材料力学第12章能量法与超静定问题CD段（0≤y2≤l/2）M(y2)=−FAl−Fy2,lFyMA)(2令以上各弯矩方程中的FA=F，由卡氏第二定理得]d)(dd[12/022202/0122lllAyylyFlFylFxFxEIΔEIFl24353（↓）河南理工大学土木工程学院材料力学第12章能量法与超静定问题RB(1)去掉多余约束代之约束反(2)力，得基本静定系RB为多余反力例题12-6如图所示，梁EI为常数，试求支座反力.ABlqAqB(2)变形条件：B点的挠度为0By(a)§12-4用能量法解静不定问题一、解除多余约束法河南理工大学土木工程学院材料力学第12章能量法与超静定问题2B()2qxMxRxB()MxxRB0B324B0()()1()d238llBMxMxyEIRRlqxqlRxxxEIEIEI(4)令yB=0,得B38qlRRBAqBx(3)用卡氏定理求yB河南理工大学土木工程学院材料力学第12章能量法与超静定问题例12-7求图示等截面刚架的支座反力。已知杆的抗弯刚度为EI，且不计剪切和轴力的影响。qABCl河南理工大学土木工程学院材料力学第12章能量法与超静定问题该刚架是一次静不定，将A支座解除掉，并代之以A的支座反力。根据变形比较，A点实际的垂直位移等于零211111()1(),2AyAyMxMxFxqxxF222()1(),2AyAyMxMxFlqllF用卡氏定理计算A点的垂直位移BC段：ABCFAyFCxFCyMC1xAB段：q河南理工大学土木工程学院材料力学第12章能量法与超静定问题22341111200114522dd38AyAyllAyAFxqxFlqlFlqlvxxlxEIEIEIEI0Av1532AyFql求出多余约束后，不难利用刚架的平衡方程得到其他的支座反力。21710,,3232CxCyCFFqlMqlABCFAyFCxFCyMC1xq河南理工大学土木工程学院材料力学第12章能量法与超静定问题二、截断法将结构中的某杆从中间截开，并以其内力代替截开面上的受力，然后利用两个截面的实际相对位移等于零，便可方便的求解静不定问题。例12-8求解图示静不定问题各杆的轴力，各杆抗拉刚度相同，均为EA。l123FFFN3N3l123F(a)(b)(c)河南理工大学土木工程学院材料力学第12章能量法与超静定问题二、截断法l123FFFN3N3l123F(a)(b)(c)将3杆从中间任意位移截开，并代替以3杆的轴力作用在两个截面上（c）图。由和外力F，可写出另外两杆的轴力。列表：河南理工大学土木工程学院材料力学第12章能量法与超静定问题N3N32()1cos2cosFFlFlEA0N3N32()1cos02cosFFlFlEAN332cos1FF则截面间的相对位移变形比较，即所以：其余两轴力可通过平衡方程得到：2N1N23cos2cos1FFF河南理工大学土木工程学院材料力学第12章能量法与超静定问题例12-9刚架各杆的弯曲刚度均为EI，不计剪力和轴力对位移的影响，用卡氏第二定理求支反力。CABqll(a)河南理工大学土木工程学院材料力学第12