数学物理方法-14.4-分离变量法-非齐次方程

分离变量法4非齐次定解问题的求解齐次和非齐次的概念常微分方程中所用的术语，如方程的解、阶、线性与非线性、齐次与非齐次等，均可沿用于偏微分方程中。偏微分方程中非齐次有哪些？方程是非齐次，如强迫振动、有热源的热传导问题、有源扩散问题。边界条件是非齐次，不为0的边界值。初始条件一般不提齐次或非齐次称为：0初始条件，非0初始条件非齐次问题求解以齐次问题的求解方法为基础。•有界弦的强迫振动问题•齐次边界条件与零初始条件的强迫振动问题，即一根弦在两端固定、初始无偏移的情况下，受外力作用所产生的振动0)0,(,0)0,(0),(,0),0()0,0(),(22222xuxutlututlxtxfxuatut方程是非齐次),(txf非齐次方程的求解•根据物理规律，外力只影响振动的振幅，而不改变振动的频率；•因此，我们可以采用类似于线性非齐次常微分方程所用的“参数变易法”的形式，通过齐次方程的解来构造非齐次方程的解；•并保持如下的设想：这个定解问题的解可分解为无穷多个驻波的叠加，而每个驻波的波形（一般为三角函数）仍然是由该振动体的相应的齐次方程的固有函数所决定。非齐次方程的求解•与泛定方程相应的齐次方程的固有函数系为•两端固定的弦的自由振动解为•类似于常数变易法，假设本问题的解具有如下形式：•式中，是t的待定函数。,2,1,sinnlxn1sin)(),(nnlxntutxu)(tun1sinsincosnnnxlntlanbtlana),(sin])()([12txflxntulantunnn0)0()0(nnuu1sin)(),(nnlxntutxu0)0,(,0)0,(0),(,0),0(),(22222xuxutlututxfxuatut1、边界条件自动满足2、要满足初始条件，则3、代入泛定方程，？一个方程，无数个un，如何确定？Fourier级数假设的解非齐次方程的求解•将方程中的自由项也按上述固有函数系展开成傅里叶级数，•式中1sin)(),(nnlxntftxf),2,1(,sin),(2)(0ndxlxntxfltfln时间函数un(t)方程的推导过程)()()(2tftulantunnn0)0,(,0)0,(0),(,0),0(),(22222xuxutlututxfxuatut1sin)(),(nnlxntutxu合并sin的各项系数，令为00)0()0(nnuu),3,2,1(n)()()(2tftulantunnn0)0()0(nnuu1sin)(),(nnlxntftxf关于系数的初始值问题非齐次方程的求解•于是得常微分方程的初值问题：•由对应齐次方程的基础解系为和•，应用常数变易法，假设0)0()0()()()(2nnnnnuutftulantulatnsinlatncoslatntClatntCtunsin)(cos)()(21非齐次方程的求解)()cos()()sin()(0sin)(cos)(2121tflatnlandttdClatnlandttdClatndttdClatndttdCntntndlanfanltCdlanfanltC0201cos)()(sin)()(非齐次方程的求解),3,2,1()(sin)(]cossin)(sincos)([cos)(sinsin)(cossin)(cos)()(000021ndltanfanldlatnlanflatnlanfanldlanfanllatndlanflatnanllatntClatntCtutntnntntnn非齐次方程的求解•原定解问题的解为•这种方法实质上是将方程的自由项及解都按照相应的齐次方程固有函数系展开，因此这种方法也称为固有函数法。•需要注意的是，随着边界的变化，固有函数也会变化。10sin)(sin)(),(ntnlxndltanfanltxuun(t)Xn(x)算例：0)0,(,0)0,(0),(,0),0(sin22222xuxutlutultaxuatut1al几个点的振动x=l/2x=l/3x=l/4几个时间点的弦的位移10s0s2s1s3s立体图txu弦的强迫振动：任意初始条件•带有初始形变的强迫振动问题)(|),()0,(0),(,0),0()0,0(),(022222xtuxxutlututlxtxfxuatut),(sin])()([12txflxntulantunnn?)0(?,)0(nnuu1sin)(),(nnlxntutxu)()0,(),()0,(0),(,0),0(),(22222xxuxxutlututxfxuatut1、边界条件自动满足2、要满足初始条件，则3、代入泛定方程假设的解弦的强迫振动：任意初始条件)()()(?2tftulantunnnnnnnuu)0(,)0(弦的强迫振动：任意初始条件•带有初始形变的强迫振动问题•此时弦的振动是由两部分干扰引起的，其一是外部的强迫力，其二是弦的初始形变所产生的回复力。•由物理规律可知，这种情形的振动可以看作是仅由强迫力引起的振动和仅由初始状态引起的振动的合成。)(|),()0,(0),(,0),0()0,0(),(022222xtuxxutlututlxtxfxuatut弦的强迫振动：任意初始条件•设本问题的解为•式中表示仅由强迫力引起的弦的振动的位移，它满足),(),(),(txwtxvtxu),(txv0|,0)0,(0),(,0),0()0,0(),(022222ttvxvtlvtvtlxtxfxvatv弦的强迫振动：任意初始条件•而则表示仅由初始状态引起的弦振动的位移，它满足•这两个问题v(x,t),w(x,t)在上述讨论中已经解决。),(txw)(|),()0,(0),(,0),0()0,0(022222xtwxxwtlwtwtlxxwatwt)(|),()0,(0),(,0),0(),(022222xtuxxutlututxfxuatut0|,0)0,(0),(,0),0(),(022222ttvxvtlvtvtxfxvatv)(|),()0,(0),(,0),0(022222xtwxxwtlwtwxwatwt=+u=v+w弦的强迫振动：非齐次边界条件•当边界条件是非齐次的时候，无法分离出常微分方程的边值问题，无法求出问题的固有函数。•处理这类问题的基本原则：选取一个辅助函数•使得对于新的未知函数而言，边界条件是齐次的。),(txw),(),(),(txwtxvtxu),(txv非齐次边界条件的齐次化•考察如下形式的定解问题•令)(|),()0,()(),(),(),0()0,0(),(02122222xtuxxuttluttutlxtxfxuatut),(),(),(txwtxvtxu)(),(),(),0(21ttlwttw:),,(0),0(则必需满足要保证tlvtv非齐次边界条件的齐次化•求得)()]()([),(112tttlxtxw)(|),()0,(0),(,0),0(),(101122222xtvxxvtlvtvtxfxvatvt),0()]0()0([)(|)()(),0()]0()0([)()0,()()()()]()([),(),(),(112011121112222221lxxtwxtlxxxwxxtttlxtxftwxwatxftxft)(|),()0,()(),(),(),0(),(02122222xtuxxuttluttutxfxuatut),(),(),(txwtxvtxu新方程中)(|),()0,(0),(,0),0(),(101122222xtvxxvtlvtvtxfxvatvt非齐次边界条件的齐次化)(|),()0,()(),(),(),0(),(02122222xtuxxuttluttutxfxuatut)(|),()0,()(),(),(),0(),(02122222xtuxxuttluttutxfxuatutx)(|),(),0(21txuttulx非齐次边界条件),(),(),(txwtxvtxu)(),(),(),0(21ttlwttwx)()(),(12ttxtxw非齐次边界条件的齐次化)(|),()0,()(),(),(),0(),(02122222xtuxxuttluttutxfxuatut)(|),()0,()(),(),(),0(),(02122222xtuxxuttluttutxfxuatutx)(|),(),(102txuttlux非齐次边界条件),(),(),(txwtxvtxu)(),0(),(),(12ttwttlwx)()()(),(112tlxtttxw非齐次边界条件的齐次化•若边界条件不是第一类的，要把边界条件化成为齐次的，可以采用类似的方法。•就下列几种非齐次边界条件的情况，分别给出相应的的一种表达式。),(txw)()(),(),(|),(),0(1221txttxwtxuttulx)()()(),(),(),(),(|121210tltxttxwttlutxuxxtxltttxwtxutxulxx)(2)()(),(),(|),(|1212210分离变量法：总结分离变量法的基本思想：将定解问题的解分离成关于不同自变量的函数的乘积，代入偏微分方程，分别推导未知函数满足的常微分方程，逐个求解。一般步骤：1.变量分离，分别导出时间函数的初始值问题，以及空间函数的固有值问题；2.先解固有值问题，确定边值问题的固有值λn和固有函数Xn(x)；3.根据固有值λn，求解初始值问题的特解Tn(t)；4.原定解问题的解表示成5.根据偏微分方程的初始条件（或边界条件），确定特解Tn(t)的未知参数。1)()(),(nnntTxXtxu)()(),(tTxXtxu11)()(),(nnnntTxXtxu