北理工数值计算方法试题及答案

数值试题1数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043xx在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（）次。2、迭代格式)2(21kkkxxx局部收敛的充分条件是取值在（）。3、已知31)1()1()1(2110)(233xcxbxaxxxxS是三次样条函数，则a=()，b=（），c=（）。4、)(,),(),(10xlxlxln是以整数点nxxx,,,10为节点的Lagrange插值基函数，则nkkxl0)(()，nkkjkxlx0)(()，当2n时)()3(204xlxxkknkk()。5、设1326)(247xxxxf和节点,,2,1,0,2/kkxk则],,,[10nxxxf和07f。6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。7、0)(kkx是区间]1,0[上权函数xx)(的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0x，则104)(dxxx。8、给定方程组221121bxaxbaxx，a为实数，当a满足，且20时，SOR迭代法收敛。9、解初值问题00(,)()yfxyyxy的改进欧拉法)],(),([2),(]0[111]0[1nnnnnnnnnnyxfyxfhyyyxhfyy是阶方法。10、设11001aaaaA，当a（）时，必有分解式TLLA，数值试题2其中L为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(ilii满足（）条件时，这种分解是唯一的。二、二、选择题（每题2分）1、解方程组bAx的简单迭代格式gBxxkk)()1(收敛的充要条件是（）。（1）1)(A,(2)1)(B,(3)1)(A,(4)1)(B2、在牛顿-柯特斯求积公式：baniinixfCabdxxf0)()()()(中，当系数)(niC是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。（1）8n，（2）7n，（3）10n，（4）6n，3、有下列数表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是（）。（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次4、若用二阶中点公式)),(4,2(1nnnnnnyxfhyhxhfyy求解初值问题1)0(,2yyy，试问为保证该公式绝对稳定，步长h的取值范围为（）。(1)20h,(2)20h,(3)20h,(4)20h三、1、（8分）用最小二乘法求形如2bxay的经验公式拟合以下数据：ix19253038iy19.032.349.073.32、（15分）用8n的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算dxex10时，(1)(1)试用余项估计其误差。（2）用8n的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算出该积分的近似值。四、1、（15分）方程013xx在5.1x附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）31xx对应迭代格式311nnxx；(2)xx11数值试题3对应迭代格式nnxx111；（3）13xx对应迭代格式131nnxx。判断迭代格式在5.10x的收敛性，选一种收敛格式计算5.1x附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。2、（8分）已知方程组fAX，其中4114334A，243024f（1）（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（2）（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR迭代法。五、1、（15分）取步长1.0h，求解初值问题1)0(1yydxdy用改进的欧拉法求)1.0(y的值；用经典的四阶龙格—库塔法求)1.0(y的值。2、（8分）求一次数不高于4次的多项式)(xp使它满足)()(00xfxp,)()(11xfxp,)()(00xfxp,)()(11xfxp,)()(22xfxp六、（下列2题任选一题，4分）1、1、数值积分公式形如10)1()0()1()0()()(fDfCBfAfxSdxxxf（1）（1）试确定参数DCBA,,,使公式代数精度尽量高；（2）设]1,0[)(4Cxf，推导余项公式10)()()(xSdxxxfxR，并估计误差。2、2、用二步法)],()1(),([111101nnnnnnnyxfyxfhyyy求解常微分方程的初值问题00)(),(yxyyxfy时，如何选择参数,,10使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。数值计算方法试题二一、判断题：（共16分，每小题２分）１、若A是nn阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L和上三角阵U，使LUA唯一成立。（）２、当8n时，Newton－cotes型求积公式会产生数值不稳定性。数值试题4（）3、形如)()(1iniibaxfAdxxf的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精确度的次数为12n。（）４、矩阵210111012A的２－范数2A＝９。（）5、设aaaaA000002，则对任意实数0a，方程组bAx都是病态的。（用）（）6、设nnRA，nnRQ，且有IQQT（单位阵），则有22QAA。（）7、区间ba,上关于权函数)(xW的直交多项式是存在的，且唯一。（）8、对矩阵A作如下的Doolittle分解：6001032211012001542774322baA，则ba,的值分别为a2，b2。（）二、填空题：（共20分，每小题2分）1、设102139)(248xxxxf，则均差]2,,2,2[810f__________，]3,,3,3[910f__________。2、设函数)(xf于区间ba,上有足够阶连续导数，bap,为)(xf的一个m重零点，Newton迭代公式)()('1kkkkxfxfmxx的收敛阶至少是__________阶。３、区间ba,上的三次样条插值函数)(xS在ba,上具有直到__________阶的连续导数。4、向量TX)2,1(,矩阵1327A，则1AX__________，)(Acond__________。5、为使两点的数值求积公式：1110)()()(xfxfdxxf具有最高的代数值试题5数精确度，则其求积基点应为1x__________，2x__________。6、设nnRA，AAT，则)(A（谱半径）__________2A。（此处填小于、大于、等于）7、设2141021A，则kkAlim__________。三、简答题：（9分）1、1、方程xx24在区间2,1内有唯一根*x，若用迭代公式：2ln/)4ln(1kkxx),2,1,0(k，则其产生的序列kx是否收敛于*x？说明理由。2、2、使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选主元的技术？3、3、设001.0x，试选择较好的算法计算函数值2cos1)(xxxf。四、（10分）已知数值积分公式为：)]()0([)]()0([2)(''20hffhhffhdxxfh，试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。五、（8分）已知求)0(aa的迭代公式为：2,1,00)(2101kxxaxxkkk证明：对一切axkk,,2,1，且序列kx是单调递减的，从而迭代过程收敛。六、（9分）数值求积公式30)]2()1([23)(ffdxxf是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？七、（9分）设线性代数方程组bAX中系数矩阵A非奇异，X为精确解，0b，若向量~X是bAX的一个近似解，残向量~XAbr，证明估计式：brAcondXXX)(~（假定所用矩阵范数与向量范数相容）。八、(10分)设函数)(xf在区间3,0上具有四阶连续导数，试求满足下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式)(xH，并导出其余项。数值试题6i012ix012)(ixf-113)('ixf3九、(9分)设)(xn是区间],[ba上关于权函数)(xw的直交多项式序列，)1,,,2,1(nnixi为)(1xn的零点，)1,,,2,1)((nnixli是以ix为基点的拉格朗日(Lagrange)插值基函数，11)()()(nkkkbaxfAdxxwxf为高斯型求积公式，证明：（1）（1）当jknjk,,0时，0)()(11ijikniixxA（2）bajkjkdxxwxlxl)(0)()()(（3）112)()()(nkbabakdxxwdxxwxl十、（选做题8分）若)())(()()(101nnxxxxxxxxf，),,1,0(nixi互异，求],,,[10pxxxf的值，其中1np。数值计算方法试题三一、（24分）填空题(1)(1)(2分)改变函数fxxx()1(x1)的形式，使计算结果较精确。(2)(2)(2分)若用二分法求方程0xf在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分次。(3)(3)(2分)设212221xxxxxf，则xf'数值试题7(4)(4)(3分)设21,10,2233xcbxaxxxxxS是3次样条函数，则a=,b=,c=。(5)(5)(3分)若用复化梯形公式计算10dxex，要求误差不超过610，利用余项公式估计，至少用个求积节点。(6)(6)(6分)写出求解方程组24.016.12121xxxx的Gauss-Seidel迭代公式，迭代矩阵为，此迭代法是否收敛。(7)(7)(4分)设A5443,则A，CondA。(8)(8)(2分)若用Euler法求解初值问题10,10'yyy，为保证算法的绝对稳定，则步长h的取值范围为二.(64分)(1)(1)(6分)写出求方程1cos4xx在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。(2)(2)(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。(3)(3)(10分)求xexf在区间[0,1]上的1次最佳平方逼近多项数值试题8式。(4)(4)(10分)用复化Simpson公式计算积分10sindxxxI的近似值，要求误差限为5105.0。(5)(5)(10分)用Gauss列主元消去法解方程组：276234532424321321321xxxxxxxxx(6)(6)(8分)求方程组12511213121xx的最小二乘解。(7)(7)(8分)已知常微分方程的初值问题：2)1(2.11,yxyxdxdy用改进的Euler方法计算y(.)12的近似值，取步长2.0h。三．(12分，在下列5个题中至多选做3个题)(1)(1)(6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足：151p，201'p，