清华大一高数第一学期期末试题1

一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）210)(coslimxxx=________________.（2）曲线xxyln上与直线01yx平行的切线方程为_________________.（3）已知xxxeef)(，且0)1(f,则)(xf_____________.（4）曲线132xxy的斜渐近线方程为______________.（5）微分方程522(1)1yyxx的通解为___________________.二、选择题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）下列积分结果正确的是（）(A)0111dxx(B)21112dxx(C)141dxx(D)11dxx（2）函数)(xf在],[ba内有定义，其导数)('xf的图形如图1-1所示，则（）.(A)21,xx都是极值点.(B))(,,)(,2211xfxxfx都是拐点.(C)1x是极值点.，)(,22xfx是拐点.(D))(,11xfx是拐点，2x是极值点.图1-1（3）函数212eeexxxyCCx满足的一个微分方程是（）.（A）23e.xyyyx（B）23e.xyyy（C）23e.xyyyx（D）23e.xyyy（4）设)(xf在0x处可导，则000limhfxfxhh为（）.(A)0fx.(B)0fx.(C)0.(D)不存在.（5）下列等式中正确的结果是（）.(A)(())().fxdxfx(B)()().dfxfx(C)[()]().dfxdxfx(D)()().fxdxfx算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.1．求极限)ln11(lim1xxxx.2.方程tttytxsincossinln确定y为x的函数，求dxdy与22dxyd.3.3.计算不定积分arctan(1)xdxxx.)(xfyyO1x2xabx4.计算定积分3011dxxx.四、解答题（本题共4小题，共29分）.1．（本题6分）解微分方程256xyyyxe2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R，水的密度为，计算桶的一端面上所受的压力．3.（本题8分）设()fx在[,]ab上有连续的导数，()()0fafb，且2()1bafxdx，试求()()baxfxfxdx.4.（本题8分）过坐标原点作曲线xyln的切线，该切线与曲线xyln及x轴围成平面图形D.(1)(1)求D的面积A;(2)(2)求D绕直线ex旋转一周所得旋转体的体积V.五、证明题（本题共1小题，共7分）.1.证明对于任意的实数x，1xex.一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）210)(coslimxxx=_____e1________.（2）曲线xxyln上与直线01yx平行的切线方程为___1xy______.（3）已知xxxeef)(，且0)1(f,则)(xf______)(xf2)(ln21x_____.（4）曲线132xxy的斜渐近线方程为_________.9131xy（5）微分方程522(1)1yyxx的通解为_________.)1()1(32227xCxy二、选择题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）下列积分结果正确的是（D）(A)0111dxx(B)21112dxx(C)141dxx(D)11dxx（2）函数)(xf在],[ba内有定义，其导数)('xf的图形如图1-1所示，则（D）.(A)21,xx都是极值点.(B))(,,)(,2211xfxxfx都是拐点.(C)1x是极值点.，)(,22xfx是拐点.(D))(,11xfx是拐点，2x是极值点.图1-)(xfyyO1x2xabx（3）函数212eeexxxyCCx满足的一个微分方程是（D）.（A）23e.xyyyx（B）23e.xyyy（C）23e.xyyyx（D）23e.xyyy（4）设)(xf在0x处可导，则000limhfxfxhh为（A）.(A)0fx.(B)0fx.(C)0.(D)不存在.（5）下列等式中正确的结果是（A）.(A)(())().fxdxfx(B)()().dfxfx(C)[()]().dfxdxfx(D)()().fxdxfx三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.1．求极限)ln11(lim1xxxx.解)ln11(lim1xxxx=xxxxxxln)1(1lnlim1-------1分=xxxxxln1lnlim1-------2分=xxxxxxln1lnlim1-------1分=211ln1ln1lim1xxx-------2分2.方程tttytxsincossinln确定y为x的函数，求dxdy与22dxyd.解,sin)()(tttxtydxdy----------------------------（3分）.sintansin)()sin(22tttttxttdxyd---------------------（6分）4.4.计算不定积分arctan(1)xdxxx.2arctanarctan22(1)(1)=2arctanarctan2=arctan2xxdxdxxxxxdxxC解：分分（）分4.计算定积分3011dxxx.解3030)11(11dxxxxdxxx30)11(dxx------------------------（3分）35)1(3233023x--------------------------------------------------------------（6分）（或令tx1）四、解答题（本题共4小题，共29分）.1．（本题6分）解微分方程256xyyyxe.2122312*20101*223212-56012,31.1()111.21(1)121(1).12xxxxxxxrrrreCeyxbxbebbyxxeyeCexxe解：特征方程分特征解.分次方程的通解Y=C分令分代入解得，所以分所以所求通解C分2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R，水的比重为，计算桶的一端面上所受的压力．解：建立坐标系如图22022220322203241213213RRRPgxRxdxgRxdRxgRxgR分（）分[（）]分分3.（本题8分）设()fx在[,]ab上有连续的导数，()()0fafb，且2()1bafxdx，试求()()baxfxfxdx.xy222()()()()21()221=[()]()2211=0222bbaababbaaxfxfxdxxfxdfxxdfxxfxfxdx解：分分分分4.（本题8分）过坐标原点作曲线xyln的切线，该切线与曲线xyln及x轴围成平面图形D.(3)(3)求D的面积A;(4)(4)求D绕直线ex旋转一周所得旋转体的体积V.解：(1)设切点的横坐标为0x，则曲线xyln在点)ln,(00xx处的切线方程是).(1ln000xxxxy----1分由该切线过原点知01ln0x，从而.0ex所以该切线的方程为.1xey----1分平面图形D的面积10.121)(edyeyeAy----2分（2）切线xey1与x轴及直线ex所围成的三角形绕直线ex旋转所得的圆锥体积为.3121eV----2分曲线xyln与x轴及直线ex所围成的图形绕直线ex旋转所得的旋转体体积为dyeeVy2102)(，----1分因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221eedyeeeVVVy----1分五、证明题（本题共1小题，共7分）.1.证明对于任意的实数x，1xex.xyO1e1D解法一：2112xeexxx解法二：设()1.xfxex则(0)0.f------------------------1分因为()1.xfxe------------------------——————1分当0x时，()0.fx()fx单调增加，()(0)0.fxf------------------------2分当0x时，()0.fx()fx单调增加，()(0)0.fxf------------------------2分所以对于任意的实数x，()0.fx即1xex。------------------------1分解法三：由微分中值定理得，01(0)xxeeeexex，其中位于0到x之间。------------------------2分当0x时，1e，1xex。------------------------2分当0x时，1e，1xex。------------------------2分所以对于任意的实数x，1xex。------------------------1分