广东省中山市2013-2014学年高二数学上学期期末统一考试试题-理

中山市高二级2013—2014学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答第I卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。3、不可以使用计算器。4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．“1a且2b”是“3ab”的（）.A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．焦点在y轴上的双曲线，实轴长6，焦距长10，则双曲线的标准方程是（）.A．2216436yxB．2213664yxC．221169yxD．221916yx3．如果函数y=ax2+bx+a的图象与x轴有两个交点，则点（a,b）在aOb平面上的区域为（注：下列各选项的区域均不含边界，也不含y轴）（）.ABCD4．已知1,1xy且11ln,,ln44xy成等比数列，则xy有（）.A．最大值eB．最小值eC．最大值eD．最小值e5．设有一个质点位于A(1，1，–2)处,在力F=(2,2,22)的作用下，该质点由A位移到(3,4,22)B时，力F所作的功（SFW·）的大小为（）.A．16B．14C．12D．106．方程20mxny与221(0)mxnymn在同一坐标系中的大致图象可能是（）.ABCD7．某同学对教材《选修2-2》上所研究函数31()443fxxx的性质进行变式研究，并结合TI-Nspire图形计算器作图进行直观验证（如右图所示），根据你所学的知识，指出下列错误的结论是（）.A．()fx的极大值为28(2)3fB．()fx的极小值为4(2)3fC.()fx的单调递减区间为(2,2)D.()fx在区间[3,3]上的最大值为(3)7f8．P是以12,FF为焦点的椭圆上一点，过焦点2F作12FPF外角平分线的垂线，垂足为M，则点M的轨迹是（）.A．椭圆B．圆C．双曲线D．双曲线的一支第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡相应横线上）9．在等差数列{}na中，若3456790aaaaa，则数列{}na的前9项的和为.10．若命题“0xR，200(1)10xax”是假命题，则实数a的取值范围为.11．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，那么|AB|等于．12．在△ABC中，有等式：①asinA=bsinB；②bsinC=csinB；③acosB=bcosA；④sinsinsinabcABC.其中恒成立的等式序号为________.13．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站km.14．已知下列命题：①若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB+BC+CD+DA=0；②||||||abab是a、b共线的充要条件；③若,,abc是空间三向量，则||||||abaccb；ＡＯＥＣＢ④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若OP=xOA+yOB+zOC（其中x、y、z∈R），则P、A、B、C四点共面.其中不正确的命题的序号是.三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）15．（13分）如图，在树丛中为了测量河对岸A、B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C.并测量得到图中的一些数据，此外，60CDACEB.（1）求ABC的面积；（2）求A、B两点之间的距离.16．（13分）已知等差数列{}na的公差1d，前n项和为nS.（1）若131,,aa成等比数列，求1a；（2）若519Saa，求1a的取值范围.17．（13分）人们生活水平的提高，越来越注重科学饮食.营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，每天需要同时食用食物A和食物B多少kg？最低花费是多少？18.（13分）如图，已知三棱锥OABC的侧棱OAOBOC，，两两垂直，且1OA，2OBOC，E是OC的中点．（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；（2）求直线BE与平面ABC所成角的正弦值.19.（14分）已知直线:2lyx与抛物线21:4Cyx交于(,)AAAxy、(0,0)O两点，过点O与直线l垂直的直线交抛物线C于点(,)BBBxy.如右图所示.（1）求抛物线C的焦点坐标；（2）求经过A、B两点的直线与y轴交点M的坐标；（3）过抛物线22xpy的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点A、B的直线AB是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请说明理由.20．（14分）已知函数2()sincosfxxxxx.（1）求()fx的最小值；（2）若曲线()yfx在点(,())afa)处与直线yb相切，求a与b的值.（3）若曲线()yfx与直线yb有两个不同的交点，求b的取值范围.中山市高二级2013—2014学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）答案一、选择题：ADCBBADB二、填空题：9．162；10．[1,3]；11．8；12．②④；13．5；14．②④.三、解答题：15．解：（1）RtACD中，16tan60163AC.………………………………（2分）RtBCE中，16tan60163BC.………………………………（4分）ABC的面积为1163163sin301922ABCS2()m.………（6分）（2）ABC中，22(163)(163)2163163cos30AB………（9分）=31631122=16323…………………………………（11分）=4231632=24286.……………………………………………………（13分）16．解：（1）因为数列{}na的公差1d，且131,,aa成等比数列，所以2111(2)aa，………………………………（3分）即21120aa，解得11a或12a.……………………………（6分）（2）因为数列{}na的公差1d，且519Saa,所以21115108aaa，………………………………（9分）即2113100aa，解得152a.………………………（13分）17．解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总花费为z元，则目标函数为2821zxy，且,xy满足约束条件0.1050.1050.0750.070.140.060.140.070.060,0xyxyxyxy，…………………………………………………………（3分）整理为775714614760,0xyxyxyxy，……（5分）作出约束条件所表示的可行域，如右图所示.………（7分）将目标函数2821zxy变形为4321zyx.如图，作直线0:28210lxy，当直线0l平移经过可行域，在过点M处时，y轴上截距21z最小，即此时z有最小值.……（9分）解方程组7751476xyxy，得点M的坐标为14,77xy.…………………………………………………………………（11分）∴min282116zxy……………………………………………（12分）∴每天需要同时食用食物A约17kg（或0.143kg），食物B约47kg（或0.571kg），能够满足日常饮食要求，且花费最低16元.………………………………………（13分）18.解：（1）以O为原点,OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.则有(0,0,1)A、(2,0,0)B、(0,2,0)C、(0,1,0).E……………………（2分）(2,0,0)(0,1,0)(2,1,0),(0,2,1)EBAC………（4分）cos,EBAC22,555………………………（6分）所以异面直线BE与AC所成角的余弦为25.……………（7分）（2）设平面ABC的法向量为1(,,),nxyz则由11:20;nABnABxz知由11:20.nACnACyz知……………………………………（9分）取1(1,1,2)n，…………………………………………（10分）cos1,EBn30306512，…………………………………（12分）所以直线BE与平面ABC所成角的正弦值为3030.…………………（13分）19．解：（1）抛物线21:4Cyx的方程化为24xy，所以24p，2p.………（2分）∴抛物线C的焦点坐标为(0,1).………………………………………（4分）（2）联立方程组2142yxyx，解得点A坐标为(8,16).……………………（6分）联立方程组21412yxyx，解得点B坐标为(2,1).……………………（7分）所以直线AB的方程为1611(2)8(2)yx，……………………（8分）令0x，解得4y.∴点M的坐标为(0,4).……………………………………………（9分）（3）结论：过抛物线22xpy的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点的直线AB恒过定点(0,2)p.……………………………（10分）证明如下：设过抛物线22xpy的顶点的一条直线为ykx（0k），则另一条为1yxk联立方程组22xpyykx，解得点A坐标为2(2,2)pkpk.…………………………（11分）联立方程组221xpyyxk，解得点B坐标为222(,)ppkk.……………………………（12分）所以直线AB的方程为2222222()22()ppkppkyxpkkpkk，…………………………（13分）令0x，解得2yp.∴直线AB恒过定点(0,2)p.………………………………………………………（14分）20.解：（1）由2()sincosfxxxxx，得()(2cos)fxxx.…………………（1分）令()0fx，得0x.………………………………………………（2分）()fx与()fx随x的变化情况如下:……………………………………………………（4分）所以函数()fx在区间(,0)上单调递减，在区间(0,)上单调递增，(0)1f是()fx的最小值.………………………………………………………（5分）（2）因为曲线()yfx在点(,())afa处与直线yb相切，所以()(2cos)0faaa，()bfa，……………………………（7分）解得0a，(0)1bf.………………………………………………（9分）（3）当1b时，曲线()yfx与直线yb最多只有一个交点；当1b时，2(2)(2)421fbfbbb421bbb