关于二项分布与超几何分布问题区别举例

1关于“二项分布”与“超几何分布”问题举例一．基本概念1.超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件X=k发生的概率为：P(X=k)=nNknMNkMCCC,k=0,1,2,3,,m；其中，m=minM,n,且nN,MN.n,M,NN为超几何分布；如果一个变量X的分布列为超几何分布列，则称随几变量X服从超几何分布.其中，EX=nMN2.二项分布2在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X,在每次试验中，事件A发生的概率为P,那么在n次独立重复试中，事件A恰好发生k次的概率为：P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k(k=0,1,2,3,,n),此时称随机变量X服从二项分布.记作：XB(n,p),EX=np3.“二项分布”与“超几何分布”的联系与区别(1)“二项分布”所满足的条件每次试验中，事件发生的概率是相同的；是一种放回抽样.各次试验中的事件是相互独立的；每次试验3只有两种结果，事件要么发生，要么不发生；随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.(2)“超几何分布”的本质：在每次试验中某一事件发生的概率不相同，是不放回抽样，“当样本容量很大时，超几何分布近似于二项分布;(3)“二项分布”和“超几何分布”是两种不同的分布，但其期望是相等的.即：把一个分布看成是“二项分布”或“超几何分布”时，它们的期望是相同的.事实上，对于“超几何分布”中,若p=MN,则EX=ninNknMNkMCCCk1=4nMN.“超几何分布”和“二项分布”的这种“巧合”，使得“超几何分布”期望的计算大简化.共同点：每次试验只有两种可能的结果：成功或失败。不同点：1、超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取；2、超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”；联系：当产品的总数很大时，超几何分布近似于二项分布。因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽5样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的．二．典型例题例1：袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：（1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列；（2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均为15，3次取球可以看成3次独立重复试验，则61~35XB，．03031464(0)55125PXC∴；12131448(1)55125PXC；21231412(2)55125PXC；3033141(3)55125PXC．因此，X的分布列为X0123P6412548125121251125（2）．不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为０，1，2，且有：03283107(0)15CCPYC；12283107(1)15CCPYC；21283101(2)15CCPYC．因此，Y的分布列为Y012P7157151157例2.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.(2)记：X表示“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的数量”，求X的分布列并求EX;分析：由题可知：从10件产品中分别任取两次得到“一等品”或“二等品”的概率是不相等的，因此是一种不放回抽样;随机变量X服从超几何分布.解：(1)记A1：取出3件一等品；8A2：取出2件一等品；A3：取出1件一等品，二件三等品.A1、A2、A3互斥，P(A1)=C33C103=1120,P(A2)=C32C71C103=740,P(A3)=C31C72C103=340;所以，P=P(A1)+P(A2)+P(A3)=31120.(2)X=0，1，2，3;X服从超几何分布，所以P(X=0)=P(一件一等品，一件二等品，一件三等品)=310131413CCCC=310;P(X=1)=P（二件一等品，一件二等品）=3101423CCC=110;9P(X=2)=P(三件一等品，一件二等品)=3101433CCC=130;P(X=3)=P（三件一等品，零件二等品）=3100433CCC=1120;EX=nMN=3310=0.9说明：谨防错误地认为随机变量X服从二项分布，即：XB(3,31120).例3.从某高中学校随机抽取16名学生，经校医检查得到每位学生的视力，其中“好视力”4人,以这16人的样本数据来估计整个学校的整体数据，若从该校（人数很多）任选310人，记X表示抽到“好视力”学生的人数，求X的分布列及数学期望.分析：本题就是从“该校（人数很多）任选3人”，由此得到“好视力”人数X，若每次从该校任取一名学生为“好视力”这一事件的概率显然是相等的，因为该校“人数很多”相当于“有放回抽样”，因此，随机变量X服从“二项分布”而不是“超几何分布”.解：由题可知：X=0,1,2,3；由样本估计总体，每次任取一人为“好视力”的概率为：P=416=14，则11XB(3,14);P(X=0)=C30(14)0(1-14)3-0=2764;P(X=1)=C31(14)1(1-14)3-1=2764;P(X=2)=C32(14)2(1-14)3-2=964;P(X=3)=C33(14)3(1-14)3-3=164;EX=3×14=34.说明：假设问题变为：“从16名学生中任取3名，记X表示抽到“好视力”学生的人数，求X的分布列及数学期12望”.那么X服从“超几何分布”，即：P(X=k)=3163124CCCkk，(X=0,1,2,3)，其中,数学期望值不变，即为：EX=3×416=34.13