静定结构的位移计算

第二部分静定结构的位移计算第七章静定结构的位移计算什么叫位移?第一节概述结构在外因作用下变形或位移后，某一横截面产生的相对其初始状态的位置改变。位移是矢量，可分解为三个位移分量，即两个线位移（一般常考虑水平位移和竖向位移），一个转角位移（简称角位移）。位移按位置变化的参考状态（参照物）可分为：（1）绝对位移（2）相对位移指结构上的一个指定截面，位移后的新位置相对其位移前旧位置的改变。绝对位移ucC`CBvccC指结构上的两个指定截面，位移后新的位置关系相对其位移前旧位置关系的改变。相对位移(a)(b)研究结构位移计算的目的(1)验算结构的刚度，使结构的变形（一般由结构上的最大位移控制）限制在允许的范围内。(2)为超静定结构的内力分析打基础。即位移条件的建立和使用。第二节刚体的虚功原理及应用1.虚功的概念力与其在力方向上的位移的乘积。虚功中的力和位移之间没有因果关系，即虚功的力和位移不相关。这是虚功区别于实功的重要特点。力状态位移状态LbaBCBC`C2.刚体的虚功原理及应用刚体的虚功原理该式叫虚功方程。虚位移方程——求内力、约束力；虚力方程——求位移。W外虚=0虚位移方程及应用虚位移方程虚位移方程用于求真实的未知力（内力、约束力、支座反力）。(a)(b)例7-2-1LbaBCB`C`BPCBB(=1)(a)(b)静定结构可利用刚体的虚功原理（虚位移方程）求力分析：(1)去掉B支座链杆(2)按拟求支座反力让机构发生单位虚位移见图(b)(3)写出虚位移方程01PPByFF(4)求解虚位移方程解虚力方程及应用让体系上虚设的平衡力系，在体系真实的刚体位移上，所作的外力总虚功等于零的方程虚力方程虚力方程用以求真实的位移LcdBk`kBk(a)(b)返回在支座移动时的位移计算公式EGCDEGCD3RF1RF2RF(a)(b)虚力方程01332211cFcFcFRRR则所求位移为：31iRicF例7-2-26m6m4m10cm20cmCCF=3/4BxF=1/2By(1)解：（2）按位移计算公式计算位移21)(5.17)]1043()2021[(cmcFiRiCV（3）计算顶铰两侧截面的相对转角位移F=0ByCF=1/4Bx()215.2)1041(radcFiRi相对转角位移第三节结构位移计算公式（1）非线性变形体变形体可分两大类（2）线性弹性体物理线性几何线性结构（变形体）的位移计算一般公式推导如下B`AB(a)B`AB(b)微段变形对结构位移的影响B`BFQMBFN(c)(d))]([31dMdFdFcFdQNiRidMdFdFdQN结构位移计算的一般公式LLLQNdMdFdF)(1LLLQNndMdFdF(7-3-1)iRiLLLQNcFdMdFdF)((7-3-2)1、线弹性变形体位移计算公式iRiQQNNcFdsEIMMdsGAFkFdsEAFF0iBiQQNNcFdsEIMMdsGAFFkdsEAFF0(7-3-3)第四节在荷载作用下静定结构的位移计算dsEIMMdsGAFFkdsEAFFPQPQNPN0在荷载单独作用下，结构的位移计算公式(7-4-1)(1)梁和刚架，主要考虑弯曲变形的影响，位移公式：dsEIMMP(7-4-2)(2)桁架，只考虑轴向变形的影响，位移公式：dsEAFFNPN(7-4-3)(3)组合结构和拱结构，一般将梁式杆和桁架杆分别按各自的主要变形考虑，位移计算公式可写成：dsEAFFdsEIMMNPNP(7-4-4)例7-4-14mC3m4mDBA(a)(1)D结点的竖向位移(2)CD杆的转角位移已知各杆EA相等，并为常数。求：解（1）求D结点的竖向位移DV1）计算NPFCDBA(b)图（kN）NPF2）计算NFCDBA(c)图（kN）NF3）计算DV)(6.53)55.1283.055.1283.030141067.02(1mEAEADV51LEAFFNPNDV（2）求CD杆的转角位移1/3mCDBA1/3mradEAEA25.26)55.1221.0241017.041017.0(1()NF(d)图（1/m）例7-4-1求B结点的水平位移(a)解qLqL/2qL/2xx1xx11(b)(c)（1）（2）两种状态下任意截面的弯矩函数AB杆：2)(2qxqLxxMxxM)(BC杆：xqLxM2)(xxM)(（3）)(83]2)2([4210022EIqLdxxqLxdxqxqLxdxEIMMLLPBH第五节图乘法图乘公式代替积分公式MPyyxxyooAEIEIAyC(a)图乘公式的应用条件(1)结构上各杆均为等截面直杆，即，各杆EI分别或分段为常数；(2)竖标必须取自直线弯矩图形;(3)另一弯矩图的面积A和面积形心易求得。标准二次抛物线(b)例7-5-1L/2L/2qABCBCA5(L/2)/882qLL/2L/212(a)(b)返回简支梁B端截面的角位移和梁中点C处的竖向位移。已知梁的EI值为常数。求解1)求梁B端的角位移(1)作在荷载作用下梁的弯矩图(3)由图乘公式计算位移(2)作虚单位力偶作用下的弯矩图2)求梁中点C的竖向位移CVCAy1M=1BF=1Py2BCA(a)(b)例7-5-2L/2L/2FPBCA(a)解图见图(b)、(c)。作PMMBCA231BCAy3y2y1(a)(b)F=1PL/2BALCy3y2y1F=1PL/2B2ALC31(c)(d)例7-5-3求所示刚架B点的水平位移BHq=5kN/mCBDA(a)10kNmCcDA21.5kNm8kNm8kNm2Bb14322.5kNmPM图(b)10kNmCBDAq=5kN/m8kNm8kNmPM图(c)CBDA(d)图M例7-5-42m2mq=5kN/mDBCA,B两端点的相对竖向位移AB(a)求:12kNmDBC2kNm10kNmPM图(b)DBCM图(c)温度改变时静定结构的位移计算第六节B`AB静定结构受到温度改变的影响时，发生满足约束允许的变形和位移，为零内力状态。设温度沿截面高度h以直线传递，见图（a），则截面上材料的应变沿高度也呈线性变化。因此，杆件由于温度改变变形后平截面假定仍然适用。h2h1htds0dtds2tds1ds(a)h2h1ht0t2tt1o(b)例7-6-1图示静定刚架，各杆截面相同，截面为矩形，截面高度h=60cm。设材料在温度作用下的线膨胀系数为a=0.00001。白天施工时，室内外温度均在10º，夜间室外温度降至-10ºC，室内温度不变。求悬臂端G点的水平位移GH。各杆杆长均为：L=6m。CGDt2BAt2t1t2t2(a)CGDBA解：(b)实际状态下在白天和夜晚刚架外侧的温度变化量：Ct20)10(102第七节线性变形体的互等定理1.功的互等定理（基本定理）静力荷载，既从零到最后值有一个加载过程的荷载。静力荷载在由于自己的原因引起的相应位移上所作的功叫静力功（实功）。对于线弹性变形体，其变形（或位移）与外力是成正比的。所以，在线弹性体上静力荷载所作的静力功可表示为：PPJFW21(7-7-1)(a)(b)(c)三个概念：1)不管两个静力荷载以怎样的方式（次序或增至最后值的过程）加到梁上，当它们达到最后值时，梁的变形也达到最后值。2)线弹性体的变形将使其体内产生相应的弹性应变能。同一线弹性体在不同的外力作用下，若变形相同则弹性应变能相同。3)对于理想保守体系（不考虑能量耗散的线弹性体系），在静力荷载作用下遵守能量守恒定律。W+U=0(a)W=U(b)功的互等定理线弹性体上一组外力（已达最终值）在由另一组外力引起的相应位移上所作的总虚外力功，等于外力（已达最终值）在由外力引起的相应位移上所作的总虚外力功。(a)(b)状态1状态22、位移互等定理21212pF12121pF称为位移影响系数——每单位力引起的位移值。12211221表示由于单位力时，2PF1PF（）（）状态1(a)引起的相应于2PF1PF（）的位移值。为2112位移互等定理叙述为：，等于由1PF212PF12在任一线弹性变形体上，由力引起的沿另一力方向上的位移影响系数方向上的位移影响系数引起的沿2PF1PF。(7-7-2)位移互等定理在任一线弹性变形体上，由单位力11PF引起的沿单位力12PF方向上的位移21等于由12PF引起的沿11PF方向上的位移12状态2(b)3、反力互等定理R21R11R22R12状态1(a)2112rr反力互等定理反力互等定理叙述为:在任一线弹性变形体上，由支座1的位移引起的另一支座2的反力影响系数,等于由支座2的位移引起的另一支座1的反力影响1221r12r系数。(7-7-3)或，在任一线弹性变形体上，由引起的另一支座2的反力等于由支座2的单位位移引起的支座1的反力111221r12r支座1的单位位移r21r11r22r12状态2(b)4、反力位移互等定理21A221A12状态1(a)21A221A12状态2(b)2112r反力位移互等定理(7-7-4)反力位移互等定理叙述为：在任一线弹性变形体上，状态1在力作用下引起的支座2的反力影响系数1PF21r与状态2由支座2的位移2引起的相应1PF处的位移影响系数12数值相等，符号相反。或，在任一线弹性变形体上，状态1在单位力11PF的支座2的反力作用下引起21r支座2的单位位移，与状态2由12引起的相应11PF处的位移12数值相等，符号相反。*位移（反力）影响系数的量纲的量纲取决于另一状态的力12位移1PF。